Daftar isi
Pengertian Himpunan
Soal dan pembahasan operasi himpunan adalah topik yang akan kita bahas pada edisi kali ini. Sebelum kita lanjut pembahasan tentang himpunan, sebaiknya kita tinjau lebih dahulu macam-macam bilangan karena sangat erat kaitannya dengan himpunan, yaitu:A. Bilangan asli.
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka satu. (1, 2, 3, 4, . . .).
B. Bilangan cacah.
Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka nol. (0, 1, 2, 3, 4, . . .).
C. Bilangan prima.
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. (2, 3, 5, 7, 11, . . .).
D. Bilangan rasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$, misalnya 2, 3, -5, 5, . . .
E. Bilangan irrasional.
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ karena pembagiannya tidak bisa berhenti, misalnya $\pi$, $\sqrt{2}$.
F. Bilangan komposit.
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Bilangan komposit yaitu (4, 6, 8, 9 . . .).
G. Bilangan real atau riil.
Bilangan real atau riil adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal, misaalnya 5,1243.
Itulah macam-macam bilangan dengan ilustrasi sederhana. Sekarang kita lanjut ke topik utama, yaitu himpunan. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang didefinisikan secara jelas, sehingga bisa ditentukan apakah suatu objek merupakan anggota himpunan atau tidak.
Contoh:
1. P adalah kumpulan pria tampan berumur 25 tahun. Kumpulan pria tampan berumur 25 tahun bukanlah himpunan, karena tampan atau tidak sifatnya relatif.
2. Q adalah kumpulan hewan berkaki empat. Kumpulan hewan berkaki empat adalah himpunan, karena bisa ditentukan dengan jelas hewan apa saja yang masuk anggota himpunan tersebut. Himpunan diberi nama dengan huruf besar (kapital) dan anggota-anggotanya ditulis diantara pasangan kurung kurawal $\{\ \ \}$.
Contoh:
1. A = {1, 2, 3, 4}
2. P = {bilangan asli kurang dari 12}
3. Q = {x|1 < x < 10, x $\in$ bilangan cacah}
Cara Menyatakan Himpunan
Himpunan dapat dinyatakan dengan beberapa cara, yaitu:A. Deskripsi.
Deskripsi adalah menggunakan kata-kata yang jelas untuk mendefinisikan keanggotaan suatu himpunan dengan cara menyebutkan syarat dan ciri-ciri anggotanya.
Contoh:
1. A = {bilangan prima kurang dari 15}
2. P = {bilangan cacah kurang dari 4}
3. K = {bilangan asli genap kurang kurang dari 8}
B. Notasi pembentuk himpunan.
Contoh:
1. A = {x|x < 15, x $\in$ bilangan prima}
2. P = {y|y < 4, y $\in$ bilangan cacah}
3. K = {m|m < 8, m $\in$ bilangan asli genap}
C. Mendaftarkan anggota-anggota himpunan.
Contoh:
1. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
2. P = {0, 1, 2, 3} 3.
3. K = {2, 4, 6}
Jenis-jenis Himpunan
A. Himpunan Kosong.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong ditulis dengan notasi {$\:$} atau $\varnothing$
Contoh:
1. Himpunan bilangan prima antara 7 dan 11.
2. P = {x|x < 1, x $\in$ bilangan asli}
B. Himpunan Semesta.
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan, sehingga himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan.
Contoh:
1. A = {2, 3, 5, 7, 11}
himpunan semesta dari A bisa berupa:
(i). S = bilangan prima,
(ii). S = bilangan asli,
(iii). S = bilangan cacah,
dan lain-lain.
2. P = {kambing, sapi, kerbau}
Himpunan semesta dari P bisa berupa:
(i). S = {hewan berkaki empat}
(ii). S = {hewan menyusui}
(iii). S = {hewan pemakan rumput}
dan lain-lain.
Himpunan semesta dilambangkan dengan $S$. Himpunan semesta digambarkan berupa persegi panjang pada diagram venn.
C. Himpunan Tak Berhingga.
Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang anggotanya tidak terbatas banyaknya, sehingga banyak anggotanya tidak dapat dihitung.
Contoh:
1. Q = {bilangan asli lebih dari 5}
2. K = {1, 3, 5, 7, . . .}
D. Himpunan Berhingga.
Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas.
Contoh:
1. A = {bilangan prima kurang dari 15}
2. P = {6, 7, 9}
E. Himpunan Bagian.
Himpunan P merupakan himpunan bagian dari Q jika setiap anggota P adalah anggota Q. P himpunan bagian dari Q dituliskan dengan notasi $P \subset Q$.
contoh:
1. P = {3, 7, 11}, Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
Karena setiap anggota P adalah anggota Q, dengan kata lain semua anggota P termuat di dalam Q, maka himpunan P adalah himpunan bagian dari himpunan Q, ditulis $P \subset Q$
2. A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6}
Tidak semua anggota B merupakan anggota himpunan A, sehingga himpunan B bukanlah himpunan bagian dari himpunan A.
Setiap himpunan kosong ($\varnothing$) selalu menjadi himpunan bagian dari suatu himpunan. Jika banyak anggota himpunan A adalah n, maka banyak himpunan bagian dari A adalah: $\boxed{2^n}$.
Banyaknya himpunan bagian dari A yang banyak anggotanya m adalah:
$\boxed{C_{m}^{n} = \dfrac{n!}{(n-m)!.m!}}$
$n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3).(...).2.1.$
Contoh soal 1.
Jika A = {5, 9, 11}, maka banyak himpunan bagian dari A adalah . . . .
Pembahasan:
Banyak anggota dari himpunan A adalah 3. Berarti n = 3. Himpunan bagian dari A adalah:
{ } → beranggotakan nol anggota (himpunan kosong)
{5}, {9}, {11} → beranggotakan satu anggota.
{5, 9}, {5, 11}, {9, 11} → beranggotakan dua anggota.
{5, 9, 11} → beranggotakan tiga anggota.
Banyaknya himpunan bagian dari A adalah 8.
Banyaknya himpunan bagian dengan nol anggota = 1.
Banyaknya himpunan bagian dengan satu anggota = 3.
Banyaknya himpunan bagian dengan dua anggota = 3.
Banyaknya himpunan bagian dengan tiga anggota = 1.
Contoh soal 2.
Jika P = {a, b, c, d, e, f}, tentukanlah banyak himpunan bagian dari P dan banyaknya himpunan bagian dari P dengan3 anggota.
Pembahasan:
Banyaknya anggota dari himpunan P adalah 6, jadi n = 6.
$\bullet$ Banyaknya himpunan bagian $= 2^n$
$= 2^6$
$= 64$.
$\bullet$ Banyaknya himpunan bagian dengan 3 anggota
$= C_{m}^{n} = \dfrac{n!}{(n-m)!.m!}$
$= \dfrac{6!}{(6-3)!.3!}$
$= \dfrac{6!}{3!.3!}$
$= \dfrac{6.5.4.3.2.1}{3.2.1.3.2.1}$
$= 20$
Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika kedua himpunan tersebut memiliki banyak anggota yang sama.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4} → n(A) = 4.
B = {a, b, c, d} → n(B) = 4
n(A) = n(B) sehingga himpunan A ekuivalen dengan himpunan B, dinotasikan dengan $A \sim B$.
B. Himpunan Sama.
Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4}
Karena anggota himpunan A tepat sama dengan anggota himpunan B, maka himpunan A sama dengan himpunan B, dinotasikan dengan A = B.
C. Himpunan Saling Lepas.
Dua himpunan dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tidak memiliki anggota persekutuan.
Contoh:
P = {2, 3, 4}
Q = {6, 7, 8, 9}
Himpunan P dan Himpunan Q tidak memiliki anggota yang sama atau anggota persekutuan, sehingga himpunan P dan himpunan Q adalah saling lepas.
D. Himpunan Tidak Saling Lepas.
Dua himpunan dikatakan tidak saling lepas jika kedua himpunan memiliki anggota persekutuan, tetapi tidak menjadi himpunan bagian.
Contoh:
K = {3, 4, 5, 6}
L = {1, 2, 3, 4, 7, 9}
Himpunan K dan himpunan L memiliki anggota persekutuan yaitu {3, 4}, tetapi K bukanlah himpunan bagian dari L dan L bukan himpunan bagian dari K.
Irisan himpunan A dan himpunan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A sekaligus anggota himpunan B, atau Himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota persekutuan dari himpunan A dan himpunan B.
$A \cap B = \{x|x \in A \; dan \; x \in B\}$
Contoh:
P = {2, 3, 4, 5, 6}
Q = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
$P \cap Q = \{5, 6\}$
Note:
$Jika\ P \subset Q \;maka\; P \cap Q = P$
$Jika\ P = Q \;maka\; P \cap Q = P\; atau\; P \cap Q = Q$
B. Gabungan Himpunan.
Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau anggota himpunan B.
$A \cup B = \{x|x\in A \; atau \; x\in B\}$
Contoh:
A = {2, 5, 7, 9}
B = {3, 4, 5, 7, 11, 12}
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12\}$
Banyak anggota dari gabungan dua himpunan:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B$
C. Selisih Himpunan.
Selisih himpunan $A\ dan\ B$ atau $A - B$ adalah himpunan semua anggota A yang tidak menjadi anggota B.
$A - B = \{x|x \in A \; dan\; x \notin B\}$
Contoh:
A = {2, 3, 5, 6, 7}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
$A - B = \{2, 6\}$
D. Jumlah Himpunan.
Jumlah himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan gabungan dari himpunan A dan himpunan B, tetapi bukan irisan A dan B.
Contoh:
A = {2, 3, 5, 6, 7}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
$A + B = \{1, 2, 6, 9, 11\}$
E. Komplemen Himpunan.
Komplemen Himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $S$ yang bukan A. Komplemen dari himpunan A dinotasikan dengan $A'$ atau $A^c$.
$A'\ atau\ A^c = \{x|x \notin A \;dan\; x \in S\}$
$\bullet$ $A \cap B = B \cap A$
$\bullet$ $A \cup B = B \cup A$
B. Sifat Assosiatif.
$\bullet$ $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$\bullet$ $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
C. Sifat Distributif.
$\bullet$ $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$\bullet$ $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
D. Dalil De' Morgan.
$\bullet$ $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
$\bullet$ $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
Misalkan banyak pembaca yang menyukai politik $= x$, maka banyak pembaca yang menyukai olah raga $= 2x$. Pembaca yang suka membaca majalah politik saja $= x - 5$. Pembaca yang suka membaca majalah olah raga saja $= 2x - 5$. Karena jumlah pembaca seluruhnya adalah 40 orang atau n(S) = 40, maka:
$x - 5 + 5 + 2x - 5 + 9 = 40$
$3x + 4 = 40$
$3x = 40 - 4$
$3x = 36$
$x = 12$
Banyak pembaca yang menyukai majalah politik $= x = 12$ → C.
Demikianlah Soal dan Pembahasan Operasi Himpunan. Selamat belajar !
SHARE THIS POST
www.maretong.com
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong ditulis dengan notasi {$\:$} atau $\varnothing$
Contoh:
1. Himpunan bilangan prima antara 7 dan 11.
2. P = {x|x < 1, x $\in$ bilangan asli}
B. Himpunan Semesta.
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan, sehingga himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan.
Contoh:
1. A = {2, 3, 5, 7, 11}
himpunan semesta dari A bisa berupa:
(i). S = bilangan prima,
(ii). S = bilangan asli,
(iii). S = bilangan cacah,
dan lain-lain.
2. P = {kambing, sapi, kerbau}
Himpunan semesta dari P bisa berupa:
(i). S = {hewan berkaki empat}
(ii). S = {hewan menyusui}
(iii). S = {hewan pemakan rumput}
dan lain-lain.
Himpunan semesta dilambangkan dengan $S$. Himpunan semesta digambarkan berupa persegi panjang pada diagram venn.
C. Himpunan Tak Berhingga.
Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang anggotanya tidak terbatas banyaknya, sehingga banyak anggotanya tidak dapat dihitung.
Contoh:
1. Q = {bilangan asli lebih dari 5}
2. K = {1, 3, 5, 7, . . .}
D. Himpunan Berhingga.
Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas.
Contoh:
1. A = {bilangan prima kurang dari 15}
2. P = {6, 7, 9}
E. Himpunan Bagian.
Himpunan P merupakan himpunan bagian dari Q jika setiap anggota P adalah anggota Q. P himpunan bagian dari Q dituliskan dengan notasi $P \subset Q$.
contoh:
1. P = {3, 7, 11}, Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
Karena setiap anggota P adalah anggota Q, dengan kata lain semua anggota P termuat di dalam Q, maka himpunan P adalah himpunan bagian dari himpunan Q, ditulis $P \subset Q$
2. A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6}
Tidak semua anggota B merupakan anggota himpunan A, sehingga himpunan B bukanlah himpunan bagian dari himpunan A.
Setiap himpunan kosong ($\varnothing$) selalu menjadi himpunan bagian dari suatu himpunan. Jika banyak anggota himpunan A adalah n, maka banyak himpunan bagian dari A adalah: $\boxed{2^n}$.
Banyaknya himpunan bagian dari A yang banyak anggotanya m adalah:
$\boxed{C_{m}^{n} = \dfrac{n!}{(n-m)!.m!}}$
$n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3).(...).2.1.$
Contoh soal 1.
Jika A = {5, 9, 11}, maka banyak himpunan bagian dari A adalah . . . .
Pembahasan:
Banyak anggota dari himpunan A adalah 3. Berarti n = 3. Himpunan bagian dari A adalah:
{ } → beranggotakan nol anggota (himpunan kosong)
{5}, {9}, {11} → beranggotakan satu anggota.
{5, 9}, {5, 11}, {9, 11} → beranggotakan dua anggota.
{5, 9, 11} → beranggotakan tiga anggota.
Banyaknya himpunan bagian dari A adalah 8.
Banyaknya himpunan bagian dengan nol anggota = 1.
Banyaknya himpunan bagian dengan satu anggota = 3.
Banyaknya himpunan bagian dengan dua anggota = 3.
Banyaknya himpunan bagian dengan tiga anggota = 1.
Contoh soal 2.
Jika P = {a, b, c, d, e, f}, tentukanlah banyak himpunan bagian dari P dan banyaknya himpunan bagian dari P dengan3 anggota.
Pembahasan:
Banyaknya anggota dari himpunan P adalah 6, jadi n = 6.
$\bullet$ Banyaknya himpunan bagian $= 2^n$
$= 2^6$
$= 64$.
$\bullet$ Banyaknya himpunan bagian dengan 3 anggota
$= C_{m}^{n} = \dfrac{n!}{(n-m)!.m!}$
$= \dfrac{6!}{(6-3)!.3!}$
$= \dfrac{6!}{3!.3!}$
$= \dfrac{6.5.4.3.2.1}{3.2.1.3.2.1}$
$= 20$
Hubungan Antar Himpunan
A. Himpunan Ekuivalen.Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika kedua himpunan tersebut memiliki banyak anggota yang sama.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4} → n(A) = 4.
B = {a, b, c, d} → n(B) = 4
n(A) = n(B) sehingga himpunan A ekuivalen dengan himpunan B, dinotasikan dengan $A \sim B$.
B. Himpunan Sama.
Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4}
Karena anggota himpunan A tepat sama dengan anggota himpunan B, maka himpunan A sama dengan himpunan B, dinotasikan dengan A = B.
C. Himpunan Saling Lepas.
Dua himpunan dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tidak memiliki anggota persekutuan.
Contoh:
P = {2, 3, 4}
Q = {6, 7, 8, 9}
Himpunan P dan Himpunan Q tidak memiliki anggota yang sama atau anggota persekutuan, sehingga himpunan P dan himpunan Q adalah saling lepas.
D. Himpunan Tidak Saling Lepas.
Dua himpunan dikatakan tidak saling lepas jika kedua himpunan memiliki anggota persekutuan, tetapi tidak menjadi himpunan bagian.
Contoh:
K = {3, 4, 5, 6}
L = {1, 2, 3, 4, 7, 9}
Himpunan K dan himpunan L memiliki anggota persekutuan yaitu {3, 4}, tetapi K bukanlah himpunan bagian dari L dan L bukan himpunan bagian dari K.
Jenis-jenis Operasi Himpunan
A. Irisan Himpunan.Irisan himpunan A dan himpunan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A sekaligus anggota himpunan B, atau Himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota persekutuan dari himpunan A dan himpunan B.
$A \cap B = \{x|x \in A \; dan \; x \in B\}$
Contoh:
P = {2, 3, 4, 5, 6}
Q = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
$P \cap Q = \{5, 6\}$
Note:
$Jika\ P \subset Q \;maka\; P \cap Q = P$
$Jika\ P = Q \;maka\; P \cap Q = P\; atau\; P \cap Q = Q$
B. Gabungan Himpunan.
Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau anggota himpunan B.
$A \cup B = \{x|x\in A \; atau \; x\in B\}$
Contoh:
A = {2, 5, 7, 9}
B = {3, 4, 5, 7, 11, 12}
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12\}$
Banyak anggota dari gabungan dua himpunan:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B$
C. Selisih Himpunan.
Selisih himpunan $A\ dan\ B$ atau $A - B$ adalah himpunan semua anggota A yang tidak menjadi anggota B.
$A - B = \{x|x \in A \; dan\; x \notin B\}$
Contoh:
A = {2, 3, 5, 6, 7}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
$A - B = \{2, 6\}$
D. Jumlah Himpunan.
Jumlah himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan gabungan dari himpunan A dan himpunan B, tetapi bukan irisan A dan B.
Contoh:
A = {2, 3, 5, 6, 7}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
$A + B = \{1, 2, 6, 9, 11\}$
E. Komplemen Himpunan.
Komplemen Himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $S$ yang bukan A. Komplemen dari himpunan A dinotasikan dengan $A'$ atau $A^c$.
$A'\ atau\ A^c = \{x|x \notin A \;dan\; x \in S\}$
Sifat-sifat Operasi Himpunan
A. Sifat Komutatif.$\bullet$ $A \cap B = B \cap A$
$\bullet$ $A \cup B = B \cup A$
B. Sifat Assosiatif.
$\bullet$ $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$\bullet$ $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
C. Sifat Distributif.
$\bullet$ $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$\bullet$ $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
D. Dalil De' Morgan.
$\bullet$ $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
$\bullet$ $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Himpunan
1. Di antara kumpulan-kumpulan berikut, yang merupakan himpunan adalah. . . .
A. Kumpulan anak-anak yang rajin
B. Kumpulan hewan yang bertubuh besar
C. Kumpulan guru-guru yang sabar
D. Kumpulan hewan berbulu.
A. Kumpulan anak-anak yang rajin
B. Kumpulan hewan yang bertubuh besar
C. Kumpulan guru-guru yang sabar
D. Kumpulan hewan berbulu.
Kumpulan yang merupakan himpunan adalah kumpulan hewan berbulu, karena definisinya jelas dan bisa didata anggota himpunannya. Rajin, besar, dan sabar sifatnya relatif dan tidak jelas kategorinya.
jawab: D.
jawab: D.
2. Himpunan bilangan prima ganjil yang kurang dari 15 adalah . . . .
A. {2, 3, 5 , 7, 11, 13}
B. {3, 5, 7, 9, 11, 13}
C. {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
D. {3, 5, 7, 11, 13}
A. {2, 3, 5 , 7, 11, 13}
B. {3, 5, 7, 9, 11, 13}
C. {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
D. {3, 5, 7, 11, 13}
Bilangan prima ganjil yang kurang dari 15 adalah: {3, 5, 7, 11, 13} → D.
3. {4, 5, 6, 7} jika dinyatakan dengan kata-kata adalah . . . .
A. Himpunan bilangan asli antara 4 dan 7
B. Himpunan bilangan asli antara 3 dan 8
C. Himpunan bilangan asli dari 3 sampai 8
D. Himpunan bilangan asli dari 4 sampai 8
A. Himpunan bilangan asli antara 4 dan 7
B. Himpunan bilangan asli antara 3 dan 8
C. Himpunan bilangan asli dari 3 sampai 8
D. Himpunan bilangan asli dari 4 sampai 8
Himpunan bilangan asli antara 4 dan 7 adalah {5, 6}.
Himpunan bilangan asli antara 3 dan 8 adalah {4, 5, 6, 7}.
Himpunan bilangan asli dari 3 sampai 8 adalah {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Himpunan bilangan asli dari 4 sampai 8 adalah {4, 5, 6, 7, 8}.
Jawab: B.
Himpunan bilangan asli antara 3 dan 8 adalah {4, 5, 6, 7}.
Himpunan bilangan asli dari 3 sampai 8 adalah {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Himpunan bilangan asli dari 4 sampai 8 adalah {4, 5, 6, 7, 8}.
Jawab: B.
4. {3, 5, 7, 9, 11} jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan adalah . . . .
A. {x|x bilangan bulat}
B. {x|x bilangan asli}
C. {x|3 ≤ x ≤ 11, x $\in$ bilangan bulat}
D. {x|3 ≤ x ≤ 11, x $\in$ bilangan ganjil}
A. {x|x bilangan bulat}
B. {x|x bilangan asli}
C. {x|3 ≤ x ≤ 11, x $\in$ bilangan bulat}
D. {x|3 ≤ x ≤ 11, x $\in$ bilangan ganjil}
{3, 5, 7, 9, 11} adalah bilangan ganjil dari 3 sampai 11. Jika dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan menjadi: {x|3 ≤ x ≤ 11, x $\in$ bilangan ganjil} → D.
5. Diketahui A = {y|2 < y ≤ 6, y $\in$ bilangan cacah}. Jika dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggota dari A adalah . . . .
A. {2, 3, 4, 5, 6}
B. {3, 4, 5}
C. {3, 4, 5, 6}
D. {2, 3, 4, 5}
A. {2, 3, 4, 5, 6}
B. {3, 4, 5}
C. {3, 4, 5, 6}
D. {2, 3, 4, 5}
2 $\notin$ A, tetapi 6 adalah anggota A, sehingga anggota A adalah {3, 4, 5, 6} → C.
6. Diketahui P = {x|x < 8, x $\in$ bilangan asli}, maka banyak anggota himpunan P atan n(P) adalah . . . .
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, banyak anggotanya adalah 7. Jadi n(P) = 7 → A.
7. Di antara himpunan-himpunan berikut, yang merupakan himpunan kosong adalah . . . .
A. {bilangan prima antara 7 dan 11}
B. {bilangan genap habis dibagi 3}
C. {bilangan kelipatan 2 dan 5}
D. {bilangan cacah kurang dari 2}
A. {bilangan prima antara 7 dan 11}
B. {bilangan genap habis dibagi 3}
C. {bilangan kelipatan 2 dan 5}
D. {bilangan cacah kurang dari 2}
Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 11. Jadi bilangan prima antara 7 dan 11 adalah himpunan kosong. → A.
8. Diketahui A = {4, 6, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 6},
C = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Pernyataan yang benar adalah . . . .
$A.\; A \subset B$
$B.\; A \subset C$
$C.\; B \subset C$
$D.\; C \subset B$
C = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Pernyataan yang benar adalah . . . .
$A.\; A \subset B$
$B.\; A \subset C$
$C.\; B \subset C$
$D.\; C \subset B$
Setiap anggota A adalah anggota C, maka $A \subset C$ → B.
9. Diketahui P = {a, b, c, d, e, f, g}, banyak himpunan bagian dari P yang mempunyai tiga anggota adalah . . . .
A. 10
B. 15
C. 30
D. 35
A. 10
B. 15
C. 30
D. 35
$n = 7, m = 3$
$C_{3}^{7} = \dfrac{7!}{(7 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{7!}{4!.3!}$
$= \dfrac{7.6.5.4.3.2.1}{ 4.3.2.1.3.2.1}$
$= 35$
Jadi banyak himpunan bagian dari P yang mempunyai tiga anggota adalah 35 buah. → D.
$C_{3}^{7} = \dfrac{7!}{(7 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{7!}{4!.3!}$
$= \dfrac{7.6.5.4.3.2.1}{ 4.3.2.1.3.2.1}$
$= 35$
Jadi banyak himpunan bagian dari P yang mempunyai tiga anggota adalah 35 buah. → D.
10. Diketahui A = {x|2 ≤ x < 6} dan B = {x|4 ≤ x ≤ 8}. Maka $A \cap B$ adalah . . . .
A. {3, 4}
B. {3, 4, 5}
C. {4, 5}
D. {4, 5, 6}
A. {3, 4}
B. {3, 4, 5}
C. {4, 5}
D. {4, 5, 6}
A = {2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
$A \cap B = \{4, 5\}$ → C.
B = {4, 5, 6, 7, 8}
$A \cap B = \{4, 5\}$ → C.
11. Diketahui P = {faktor dari 18} dan Q = {faktor dari 12}. Maka $P \cup Q$ adalah . . . .
A. {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B. {1, 2, 3, 4, 9, 12, 18}
C. {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}
D. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 18}
A. {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B. {1, 2, 3, 4, 9, 12, 18}
C. {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}
D. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 18}
Faktor dari 18:
1 x 18
2 x 9
3 x 6
Faktor dari 18 adalah {1, 2, 3, 6, 9, 18}
P = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor dari 12:
1 x 12
2 x 6
3 x 4
Faktor dari 12 adalah {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
$P \cup Q$ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} → C.
1 x 18
2 x 9
3 x 6
Faktor dari 18 adalah {1, 2, 3, 6, 9, 18}
P = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor dari 12:
1 x 12
2 x 6
3 x 4
Faktor dari 12 adalah {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
$P \cup Q$ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} → C.
12. Diketahui $n(A) = 20$, $n(B) = 23$, dan $n(A \cap B) = 15$, maka n($A \cup B$) = . . . .
A. 27
B. 28
C. 30
D. 32
A. 27
B. 28
C. 30
D. 32
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 20 + 23 - 15$
$n(A \cup B) = 28$ → B.
$n(A \cup B) = 20 + 23 - 15$
$n(A \cup B) = 28$ → B.
13. Diketahui himpunan K = {1 < x ≤ 11, x bilangan ganjil}. Banyaknya himpunan bagian dari himpunan K yang mempunyai 3 anggota adalah . . . .
A. 4
B. 10
C. 20
D. 35
[Soal UN 2018]
A. 4
B. 10
C. 20
D. 35
[Soal UN 2018]
K = {3, 5, 7, 9, 11}
n = 5, m = 3
$C_{3}^{5} = \dfrac{5!}{(5 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{5!}{(5 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{5!}{2!.3!}$
$= \dfrac{5.4.3.2.1}{2.1.3.2.1}$
$= 10$ → B.
n = 5, m = 3
$C_{3}^{5} = \dfrac{5!}{(5 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{5!}{(5 - 3)!.3!}$
$= \dfrac{5!}{2!.3!}$
$= \dfrac{5.4.3.2.1}{2.1.3.2.1}$
$= 10$ → B.
14. Diketahui himpunan semesta S adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 20. A adalah himpunan bilangan prima antara 3 dan 20. B adalah himpunan bilangan asli antara 2 dan 15. Komplemen dari $A \cap B$ adalah . . . .
A. {0, 1, 2, 5, 7, 11, 13, 15, 16, 18}
B. {3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 17, 19}
C. {3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 19}
D. {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
[Soal UN 2018]
A. {0, 1, 2, 5, 7, 11, 13, 15, 16, 18}
B. {3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 17, 19}
C. {3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 19}
D. {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
[Soal UN 2018]
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
A = {5, 7, 11, 13, 17, 19}
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
$(A \cap B) = {5, 7, 11, 13}$
$(A \cap B)'$ adalah himpunan S yang bukan $(A \cap B)$.
Jadi:
$(A \cap B)'$ = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19} → E.
A = {5, 7, 11, 13, 17, 19}
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
$(A \cap B) = {5, 7, 11, 13}$
$(A \cap B)'$ adalah himpunan S yang bukan $(A \cap B)$.
Jadi:
$(A \cap B)'$ = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19} → E.
15. Wawancara dari 40 orang pembaca majalah diketahui 5 orang suka membaca majalah tentang politik dan olah raga, 9 orang yang tidak menyukai keduanya. Banyak pembaca yang menyukai majalah olah raga sama dengan dua kali banyak pembaca yang menyukai majalah politik. Banyak pembaca yang menyukai majalah politik adalah . . . .
A. 8 orang
B. 10 orang
C. 12 orang
D. 14 orang
[Soal UN 2018]
A. 8 orang
B. 10 orang
C. 12 orang
D. 14 orang
[Soal UN 2018]
Misalkan banyak pembaca yang menyukai politik $= x$, maka banyak pembaca yang menyukai olah raga $= 2x$. Pembaca yang suka membaca majalah politik saja $= x - 5$. Pembaca yang suka membaca majalah olah raga saja $= 2x - 5$. Karena jumlah pembaca seluruhnya adalah 40 orang atau n(S) = 40, maka:
$x - 5 + 5 + 2x - 5 + 9 = 40$
$3x + 4 = 40$
$3x = 40 - 4$
$3x = 36$
$x = 12$
Banyak pembaca yang menyukai majalah politik $= x = 12$ → C.
16. Jika A = {semua faktor dari 6}, maka banyak himpunan bagian dari A adalah . . . .
A. 4
B. 8
C. 9
D. 16
[Soal UN]
A. 4
B. 8
C. 9
D. 16
[Soal UN]
Faktor dari 6:
1 x 6
2 x 3
Jadi, faktor dari 6 adalah {1, 2, 3, 6}
A = {1, 2, 3, 6}
n(A) = 4
Banyak himpunan bagian dari $A = 2^4 = 16$ → D.
1 x 6
2 x 3
Jadi, faktor dari 6 adalah {1, 2, 3, 6}
A = {1, 2, 3, 6}
n(A) = 4
Banyak himpunan bagian dari $A = 2^4 = 16$ → D.
17. Diketahui A = {x|x < 8, x $\in$ C} dan B = {x|3 < x ≤ 9, x $\in$ B}, $A \cap B$ adalah . . . .
A. {4, 5, 6, 7}
B. {4, 5, 6, 7, 8}
C. {3, 4, 5, 6, 7}
D. {3, 4, 5, 6, 7, 8}
[Soal UN]
A. {4, 5, 6, 7}
B. {4, 5, 6, 7, 8}
C. {3, 4, 5, 6, 7}
D. {3, 4, 5, 6, 7, 8}
[Soal UN]
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
$A \cap B = \{4, 5, 6, 7\}$ → A.
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
$A \cap B = \{4, 5, 6, 7\}$ → A.
18. Dari 40 orang anggota karang taruna, 21 orang gemar tenis meja, 27 orang gemar bulutangkis, dan 15 orang gemar tenis meja dan bulu tangkis. Banyak anggota karang taruna yang tidak gemar tenis meja dan bulutangkis adalah . . . .
A. 6 orang
B. 7 orang
C. 12 orang
D. 15 orang
[Soal UN]
A. 6 orang
B. 7 orang
C. 12 orang
D. 15 orang
[Soal UN]
Perhatikan gambar !
Yang gemar tenis meja saja = 21 - 15 = 6 orang.
Yang gemar bulutangkis saja = 27 - 15 = 12 orang.
Yang gemar tenis meja dan bulutangkis = 15 orang.
Yang tidak gemar tenis meja dan bulutangkis = n orang.
Karena jumlah seluruh siswa = 40 orang atau n(S) = 40,
maka:
$6 + 15 + 12 + n = 40$
$33 + n = 40$
$n = 40 - 33$
$n = 7\ orang$ → B.
Yang gemar tenis meja saja = 21 - 15 = 6 orang.
Yang gemar bulutangkis saja = 27 - 15 = 12 orang.
Yang gemar tenis meja dan bulutangkis = 15 orang.
Yang tidak gemar tenis meja dan bulutangkis = n orang.
Karena jumlah seluruh siswa = 40 orang atau n(S) = 40,
maka:
$6 + 15 + 12 + n = 40$
$33 + n = 40$
$n = 40 - 33$
$n = 7\ orang$ → B.
19. Dalam sebuah kelas tercatat 21 siswa gemar olah raga basket, 19 siswa gemar sepak bola, 8 siswa gemar basket dan sepak bola, serta 14 siswa tidak gemar olah raga. Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah . . . .
A. 46 siswa
B. 54 siswa
C. 62 siswa
D. 78 siswa
[Soal UN]
A. 46 siswa
B. 54 siswa
C. 62 siswa
D. 78 siswa
[Soal UN]
Lihat gambar !
Yang gemar basket saja = 21 - 8 = 13 orang.
Yang gemar sepak bola saja = 19 - 8 = 11 orang.
Yang gemar basket dan sepak bola = 8 orang.
Yang tidak gemar olah raga = 14 orang.
$n(S) = 13 + 11 + 8 + 14$
$n(S) = 46\ orang$ → A.
Yang gemar basket saja = 21 - 8 = 13 orang.
Yang gemar sepak bola saja = 19 - 8 = 11 orang.
Yang gemar basket dan sepak bola = 8 orang.
Yang tidak gemar olah raga = 14 orang.
$n(S) = 13 + 11 + 8 + 14$
$n(S) = 46\ orang$ → A.
20. Dari 80 orang siswa yang disurvei tentang kegemaran menonton acara olah raga di televisi, diperoleh 48 orang gemar menonton volley, 42 orang gemar menonton basket, dan 10 orang tidak gemar acara tersebut. Banyak siswa yang hanya gemar menonton basket adalah . . . .
A. 22 orang
B. 28 orang
C. 32 orang
D. 36 orang
[Soal UN]
A. 22 orang
B. 28 orang
C. 32 orang
D. 36 orang
[Soal UN]
Lihat gambar !
n(S) = 80
Misalkan yang gemar menonton volley dan basket = n, maka:
yang gemar menonton volley saja = 48 - n.
yang gemar menonton basket saja = 42 - n.
yang tidak gemar menonton volley dan basket = 10.
$n(S) = 48 - n + n + 42 - n + 10$
$80 = 100 - n$
$n = 100 - 80$
$n = 20$
yang gemar menonton basket saja $= 42 - 20 = 22\ orang$ → A.
n(S) = 80
Misalkan yang gemar menonton volley dan basket = n, maka:
yang gemar menonton volley saja = 48 - n.
yang gemar menonton basket saja = 42 - n.
yang tidak gemar menonton volley dan basket = 10.
$n(S) = 48 - n + n + 42 - n + 10$
$80 = 100 - n$
$n = 100 - 80$
$n = 20$
yang gemar menonton basket saja $= 42 - 20 = 22\ orang$ → A.
Demikianlah Soal dan Pembahasan Operasi Himpunan. Selamat belajar !
www.maretong.com
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Operasi Himpunan"
Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.