Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks adalah suatu topik penting yang wajib dikuasai. Karena soal-soal tentang matriks biasanya merupakan soal-soal kombinasi berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian, kesamaan matriks dan lain-lain. Sebelum mempelajari tentang penjumlahan dan pengurangan matriks, sebaiknya lihat dan pelajari terlebih dahulu topik tentang Pengertian Matriks.. Jika adik-adik sudah lihat dan pelajari, kita akan lanjut pelajaran kita tentang Penjumlahan dan Pengurangan Matriks. Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama. Jika dua buah matriks misalkan matriks $A = (a_{ij})$ dan matriks $B = (b_{ij})$ dijumlahkan atau dikurangkan, maka hasilnya adalah sebuah matriks baru $C = (c_{ij})$ yang memiliki ordo yang sama dengan matriks A dan matriks B. Elemen-elemen dari matriks C adalah penjumlahan atau pengurangan dari elemen-elemen matriks A dan matriks B yang terletak pada posisi yang sama (seletak). Misalnya pada penjumlahan:
$C_{11} = A_{11} + B_{11}$, $C_{21} = A_{21} + B_{21}$, $C_{12} = A_{12} + B_{12}$ dan seterusnya.

Contoh:
$1.\ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ = \begin{pmatrix}a + p & b + q \\ c + r & d + s\end{pmatrix}$
$2.\ \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5 & 6\\ 7 & 8\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ = \begin{pmatrix}1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ = \begin{pmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{pmatrix}$
$3.\ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ = \begin{pmatrix}a - p & b - q \\ c - r & d - s\end{pmatrix}$
$4.\ \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 5 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 0\\ 6 & 3\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ = \begin{pmatrix}1 - 2 & 3 - 0 \\ 5 - 6 & 4 - 3\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$
$5.\ \begin{pmatrix}5 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -1 & 5\\ 2 & 7\end{pmatrix} =$ tidak terdefinisi dan tidak bisa dijumlah
karena ordo tidak sama.
$6.\ \begin{pmatrix}5 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & 1 & -2 \\ -1 & 4 & -3\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}9 & 3 & 1 \\ 0 & 8 & -3\end{pmatrix}$
$7.\ \begin{pmatrix}5 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 & 1 & -2 \\ -1 & 4 & -3\end{pmatrix}$
$\ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}1 & 1 & 5 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix}$

Sifat-sifat penjumlahan matriks:
Jika $A$, $B$, dan $C$ merupakan matriks yang mempunyai ordo yang sama, maka berlaku sifat-sifat:
1. Sifat identitas
A + O = A dengan O adalah matriks nol. Matriks nol adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan angka nol.
Contoh matriks nol:
$O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
2. Sifat komutatif
A + B = B + A
3. Sifat assosiatif
(A + B) + C = A + (B + C)
$\bullet$ Jika diketahui sebuah matriks $A$, maka negatif dari matriks $A = -A$
Contoh:
$A = \begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ maka $-A = \begin{pmatrix}-1 & -5 \\ -2 & -4\end{pmatrix}$
Elemen dari $-A$ adalah negatif dari elemen $A$.
$\bullet$ Jumlah dari matriks A dengan negatif dari matriks A adalah matriks nol.
$A + (-A) = O$
$\bullet$ Selisih dari dua matriks misalnya matriks A dan matriks B adalah jumlah dari matriks A dengan negatif dari matriks B.
$A - B = A + (-B)$
$A - B \neq B - A$

Contoh Soal dan Pembahasan
1. Jika $A = \begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 5 & 3\end{pmatrix}$ maka $A - B =$ . . . .

Pembahasan:

$A - B = \begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 5 & 3\end{pmatrix}$
$ = \begin{pmatrix}1 - 3 & 5 - 2 \\ 2 - 5 & 4 - 3\end{pmatrix} $
$= \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ -3 & 1\end{pmatrix}$

2. Jika $A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ -2 & -1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 & -3 \\ 5 & 1\end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ maka
$A - B + C =$ . . . .

Pembahasan:

$A - B + C = \begin{pmatrix}3 - 1 + 2 & 1 -(-3) + 4 \\ -2 - 5 + 0 & -1 - 1 + 1\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}4 & 8 \\ -7 & -1\end{pmatrix}$

3. Jika $a,\ b,\ c,\ dan\ d$ memenuhi persamaan
$\begin{pmatrix}a & b \\ 2c & d\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2d & c \\ b & 2a\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = 0$,
maka $a + b + c =$ . . . .

Pembahasan:

$\begin{pmatrix}a - 2d & b - c \\ 2c - b & d - 2a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$
$a - 2d = -1$ . . . . *
$-2a + d = -1$ . . . . **
Eliminasi * dan **
$2a - 4d = -2$
$-2a + d = -1$
----------------------- +
$-3d = -3$
$d = 1$
Substitusikan nilai d ke dalam persamaan *
$a - 2d = -1$
$a - 2.1 = -1$
$a = 1$

$b - c = 1$ . . . . *
$-b + 2c = 1$ . . . . **
Eliminasi * dan **
$b - c = 1$ . . . . *
$-b + 2c = 1$ . . . . **
--------------------------- +
$c = 2$
Substitusikan c = 2 ke dalam persamaan *
$b - c = 1$
$b - 2 = 1$
$b = 3$
$a + b + c + d = 1 + 3 + 2 + 1 = 7$

4. Jika $P = \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 3 & 7\end{pmatrix}$, maka $P - P^t =$ . . . .

Pembahasan:

$P^t = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 5 & 7\end{pmatrix}$
$P - P^t = \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 3 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 5 & 7\end{pmatrix}$
$ = \begin{pmatrix}2 - 2 & 5 - 3 \\ 3 - 5 & 7 - 7\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -2 & 0\end{pmatrix}$

5. Diketahui $A = \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ -2 & 1\end{pmatrix}$, maka $(A - B)^t + C =$ . . . .

Pembahasan:

$A - B = \begin{pmatrix}5 - 4 & 1 - 2 \\ 2 - 3 & 3 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$
$(A - B)^t = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$
$(A - B)^t + C = \begin{pmatrix}1 + (-1) & -1 + 2\\ -1 + (-2) & 2 + 1\end{pmatrix}$
$ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -3 & 3\end{pmatrix}$

Sekian ulasan singkat tentang penjumlahan dan pengurangan matriks, semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST

MARETONG

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Post a Comment for "Penjumlahan dan Pengurangan Matriks"