Daftar isi
Sebelum kita masuk ke topik utama yaitu Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Lurus, kita akan melakukan review singkat tentang Persamaan Garis Lurus. Bentuk umum dari persamaan garis lurus secara eksplisit adalah $y = px + q$ dan secara implisit adalah $ax + by + c = 0.$ Hal yang paling penting dari sebuah garis lurus adalah gradien (m) dan persamaan garis.
Cara Menentukan Gradien Garis Lurus (m)
I. Gradien garis yang melalui titik $A(x_1, y_1)$ dan titik $B(x_2, y_2)$:$\boxed{m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}$
Contoh soal 1.
Tentukanlah gradien garis yang melalui titik $A(1, 2)$ dan titik $B(3, -1)$ !
Tentukanlah gradien garis yang melalui titik $A(1, 2)$ dan titik $B(3, -1)$ !
Garis melalui titik $A(1, 2)$ dan titik $B(3, -1)$. Jika titik A merupakan indeks 1, maka titik B menjadi indeks 2. Sebaliknya jika titik A merupakan indeks 2, maka titik B menjadi indeks 1. Hasilnya akan sama dan tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan. Kita ambil titik A sebagai indeks 1.
$x_1 = 1,\ y_1 = 2$
$x_2 = 3,\ y_2 = -1$
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{-1 - 2}{3 - 1}$
$= \dfrac{-3}{2}$
$= -\dfrac32$
Kita ambil titik A sebagai indeks 2 dan titik B sebagai indeks 1.
$x_1 = 3,\ y_1 = -1$
$x_2 = 1,\ y_2 = 2$
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{2 - (-1)}{1 - 3}$
$= \dfrac{2 + 1}{1 - 3}$
$= \dfrac{3}{-2}$
$= -\dfrac32$
Terlihat hasilnya sama saja.
$x_1 = 1,\ y_1 = 2$
$x_2 = 3,\ y_2 = -1$
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{-1 - 2}{3 - 1}$
$= \dfrac{-3}{2}$
$= -\dfrac32$
Kita ambil titik A sebagai indeks 2 dan titik B sebagai indeks 1.
$x_1 = 3,\ y_1 = -1$
$x_2 = 1,\ y_2 = 2$
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{2 - (-1)}{1 - 3}$
$= \dfrac{2 + 1}{1 - 3}$
$= \dfrac{3}{-2}$
$= -\dfrac32$
Terlihat hasilnya sama saja.
Contoh soal 2.
Tentukanlah gradien garis pada gambar di bawah !
Tentukanlah gradien garis pada gambar di bawah !
$Pembahasan:$
Garis melalui titik (2, 3) dan titik (6, 5)
$x_1 = 2,\ y_1 = 3$
$x_2 = 6,\ y_2 = 5$
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{5 - 3}{6 - 2}$
$= \dfrac24$
$= \dfrac12$
Garis melalui titik (2, 3) dan titik (6, 5)
$x_1 = 2,\ y_1 = 3$
$x_2 = 6,\ y_2 = 5$
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{5 - 3}{6 - 2}$
$= \dfrac24$
$= \dfrac12$
II. Gradien garis jika persamaan garisnya berbentuk eksplisit $y = px + q$.
$\boxed{Jika\ y = px + q\ maka\ m = p}$
Contoh soal 3.
Gradien garis $2y + 4 = 3x$ adalah . . . .
Gradien garis $2y + 4 = 3x$ adalah . . . .
Ubah ke bentuk $y = px + q\ !$
$2y + 4 = 3x$
$2y = 3x - 4$ → semua dibagi dengan 2.
$y = \dfrac32x - 2$
Karena bentuknya sudah dalam bentuk $y = px + q$, maka $m = \dfrac32$
$2y + 4 = 3x$
$2y = 3x - 4$ → semua dibagi dengan 2.
$y = \dfrac32x - 2$
Karena bentuknya sudah dalam bentuk $y = px + q$, maka $m = \dfrac32$
Contoh soal 4.
Tentukanlah gradien dari garis dengan persamaan $3x + 4y = 5\ !$
Tentukanlah gradien dari garis dengan persamaan $3x + 4y = 5\ !$
Ubah ke bentuk $y = px + q$
$3x + 4y = 5$
$4y = -3x + 5$ → semua dibagi 4.
$y = -\dfrac34x + \dfrac54$
Karena bentuknya sudah dalam bentuk $y = px + q,$ maka $m = -\dfrac34$.
$3x + 4y = 5$
$4y = -3x + 5$ → semua dibagi 4.
$y = -\dfrac34x + \dfrac54$
Karena bentuknya sudah dalam bentuk $y = px + q,$ maka $m = -\dfrac34$.
III. Gradien garis jika persamaan garisnya berbentuk implisit $ax + by + c = 0$
$\boxed{Jika\ ax + by + c = 0,\ maka\ m = \dfrac {-a}{b}}$
Contoh soal 5.
Tentukanlah gradien dari garis dengan persamaan $4x = 5 + 3y$.
Tentukanlah gradien dari garis dengan persamaan $4x = 5 + 3y$.
Ubah ke bentuk $ax + by + c = 0$
$4x = 5 + 3y$
$4x - 3y - 5 = 0$
Karena bentuknya sudah diubah ke dalam bentuk $ax + by + c = 0$, maka nilai dari $a\ dan\ b$ sudah dapat ditentukan.
$a = 4,\ b = -3$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-4}{-3}$
$m = \dfrac43$
$4x = 5 + 3y$
$4x - 3y - 5 = 0$
Karena bentuknya sudah diubah ke dalam bentuk $ax + by + c = 0$, maka nilai dari $a\ dan\ b$ sudah dapat ditentukan.
$a = 4,\ b = -3$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-4}{-3}$
$m = \dfrac43$
Contoh soal 6.
Tentukanlah gradien dari persamaan garis $3 + 2y = 5x\ !$
Tentukanlah gradien dari persamaan garis $3 + 2y = 5x\ !$
Ubah ke dalam bentuk $ax + by + c = 0$
$3 + 2y = 5x$
$-5x + 2y + 3 = 0$
Karena bentuknya sudah diubah ke dalam bentuk $ax + by + c = 0$, maka nilai dari $a\ dan\ b$ sudah dapat ditentukan.
$a = -5,\ b = 2$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-(-5)}{2}$
$m = \dfrac52$
$3 + 2y = 5x$
$-5x + 2y + 3 = 0$
Karena bentuknya sudah diubah ke dalam bentuk $ax + by + c = 0$, maka nilai dari $a\ dan\ b$ sudah dapat ditentukan.
$a = -5,\ b = 2$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-(-5)}{2}$
$m = \dfrac52$
IV. Gradien garis jika kecondongan diketahui.
$\bullet$ Jika garis condong ke kanan dan membentuk sisi miring sebuah segitiga siku-siku, maka gradien garis tersebut adalah $\dfrac{panjang\ sisi\ tegak}{panjang\ sisi\ datar}$
$\bullet$ Jika garis condong ke kiri dan membentuk sisi miring suatu segitiga siku-siku, maka gradien garis tersibut adalah $-\dfrac{panjang\ sisi\ tegak}{panjang\ sisi\ datar}$
Contoh soal 7.
Tentukanlah gradien dari garis pada gambar di bawah !
Tentukanlah gradien dari garis pada gambar di bawah !
Garis condong ke kanan dengan $b = 4\ dan\ a = 9$, sehingga $m = \dfrac ba = \dfrac 49$.
Contoh soal 8.
Tentukanlah gradien garis pada gambar di bawah !
Tentukanlah gradien garis pada gambar di bawah !
Garis condong ke kiri dengan $b = 6\ dan\ a = 11$, sehingga $m = -\dfrac ba = -\dfrac{6}{11}$.
Persamaan Garis Lurus yang Melalui 1 atau 2 Titik
I. Persamaan garis yang melalui titik $A(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$:$\boxed{y - y_1 = m(x - x_1)}$
Contoh soal 9.
Sebuah garis melalui titik $A(1, -2)$ dengan gradien $\dfrac23$. Tentukanlah persamaan garis tersebut !
Sebuah garis melalui titik $A(1, -2)$ dengan gradien $\dfrac23$. Tentukanlah persamaan garis tersebut !
$m = \dfrac23,\ x_1 = 1,\ y_1 = -2$
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-2) = \dfrac23(x - 1)$
$y + 2 = \dfrac23x - \dfrac23$
$y = \dfrac23x - \dfrac23 - 2$
$y = \dfrac23x - \dfrac83$ ← bentuk eksplisit.
Untuk membuat ke bentuk implisit, semua kali 3 !
$3y = 3.\dfrac23x - 3.\dfrac83$
$3y = 2x - 8$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-2x + 3y + 8 = 0$ → semua dikali negatif.
$2x - 3y - 8 = 0$ ← bentuk implisit.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-2) = \dfrac23(x - 1)$
$y + 2 = \dfrac23x - \dfrac23$
$y = \dfrac23x - \dfrac23 - 2$
$y = \dfrac23x - \dfrac83$ ← bentuk eksplisit.
Untuk membuat ke bentuk implisit, semua kali 3 !
$3y = 3.\dfrac23x - 3.\dfrac83$
$3y = 2x - 8$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-2x + 3y + 8 = 0$ → semua dikali negatif.
$2x - 3y - 8 = 0$ ← bentuk implisit.
Contoh soal 10.
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik $P(-3, 5)$ dengan gradien $-\dfrac34$ !
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik $P(-3, 5)$ dengan gradien $-\dfrac34$ !
$m = -\dfrac34,\ x_1 = -3,\ y_1 = 5$
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 5 = -\dfrac34(x - (-3))$
$y - 5 = -\dfrac34(x + 3)$
$y - 5 = -\dfrac34x - \dfrac94$
$y = -\dfrac34x - \dfrac94 + 5$
$y = -\dfrac34x + \dfrac{11}{4}$ ← bentuk eksplisit.
Untuk membuat ke bentuk implisit, kalikan semua dengan 4 !
$4y = -4.\dfrac34x + 4.\dfrac{11}{4}$
$4y = -3x + 11$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan,
$3x + 4y - 11 = 0$ ← bentuk implisit.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 5 = -\dfrac34(x - (-3))$
$y - 5 = -\dfrac34(x + 3)$
$y - 5 = -\dfrac34x - \dfrac94$
$y = -\dfrac34x - \dfrac94 + 5$
$y = -\dfrac34x + \dfrac{11}{4}$ ← bentuk eksplisit.
Untuk membuat ke bentuk implisit, kalikan semua dengan 4 !
$4y = -4.\dfrac34x + 4.\dfrac{11}{4}$
$4y = -3x + 11$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan,
$3x + 4y - 11 = 0$ ← bentuk implisit.
II. Persamaan garis yang melalui titik $A(x_1, y_1)\ dan\ B(x_2, y_2)$:
$\boxed{\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}}$
Contoh soal 11.
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik $A(1, 3)\ dan\ titik\ B(-2, 4)$ !
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik $A(1, 3)\ dan\ titik\ B(-2, 4)$ !
Jika titik A ditetapkan sebagai indeks 1, maka titik B sebagai indeks 2. Sebaliknya jika titik B ditetapkan sebagai indeks 1, maka titik A haruslah indeks 2. Hasilnya tidak akan berbeda. Kita tetapkan titik A sebagai indeks 1 dan titik B sebagai indeks 2.
$x_1 = 1,\ y_1 = 3$
$x_2 = -2,\ y_2 = 4$
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 3}{4 - 3} = \dfrac{x - 1}{-2 - 1}$
$\dfrac{y - 3}{1} = \dfrac{x - 1}{-3}$
Lakukan kali silang !
$-3.(y - 3) = 1.(x - 1)$
$-3y + 9 = x - 1$
Persamaan garis bisa kita buat ke dalam bentuk eksplisit atau bentuk implisit.
Buat ke bentuk eksplisit:
$-3y = x - 1 - 9$
$-3y = x - 10$ → kalikan semua dengan negatif !
$3y = -x + 10$ → bagi tiga semua !
$y = -\dfrac13x + \dfrac{10}{3}$ ← bentuk eksplisit.
Buat ke bentuk implisit:
$-3y + 9 = x - 1$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-x - 3y + 9 + 1 = 0$
$-x - 3y + 10 = 0$ → kalikan semua dengan negatif.
$x + 3y - 10 = 0$ ← bentuk implisit.
$x_1 = 1,\ y_1 = 3$
$x_2 = -2,\ y_2 = 4$
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 3}{4 - 3} = \dfrac{x - 1}{-2 - 1}$
$\dfrac{y - 3}{1} = \dfrac{x - 1}{-3}$
Lakukan kali silang !
$-3.(y - 3) = 1.(x - 1)$
$-3y + 9 = x - 1$
Persamaan garis bisa kita buat ke dalam bentuk eksplisit atau bentuk implisit.
Buat ke bentuk eksplisit:
$-3y = x - 1 - 9$
$-3y = x - 10$ → kalikan semua dengan negatif !
$3y = -x + 10$ → bagi tiga semua !
$y = -\dfrac13x + \dfrac{10}{3}$ ← bentuk eksplisit.
Buat ke bentuk implisit:
$-3y + 9 = x - 1$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-x - 3y + 9 + 1 = 0$
$-x - 3y + 10 = 0$ → kalikan semua dengan negatif.
$x + 3y - 10 = 0$ ← bentuk implisit.
Contoh soal 12.
Tentukan persamaan garis garis yang melalui titik $P(-3, 2)$ dan titik $Q(1, -4)$ !
Tentukan persamaan garis garis yang melalui titik $P(-3, 2)$ dan titik $Q(1, -4)$ !
Kita tetapkan titik Q sebagai indeks 1 dan titik P sebagai indeks 2.
$x_1 = 1,\ y_1 = -4$
$x_2 = -3,\ y_2 = 2$
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - (-4)}{2 - (-4)} = \dfrac{x - 1}{-3 - 1}$
$\dfrac{y + 4}{2 + 4} = \dfrac{x - 1}{-3 - 1}$
$\dfrac{y + 4}{6} = \dfrac{x - 1}{-4}$
Lakukan kali silang !
$-4(y + 4) = 6.(x - 1)$
$-4y - 16 = 6x - 6$
Persamaan garis bisa dibuat ke dalam bentuk eksplisit atau bentuk implisit.
Buat ke bentuk eksplisit !
$-4y = 6x - 6 + 16$
$-4y = 6x + 10$ → kalikan semua dengan negatif.
$4y = -6x - 10$ → bagi semua dengan 4.
$y = -\dfrac32x - \dfrac52$ ← bentuk eksplisit.
Buat ke bentuk implisit !
$-4y - 16 = 6x - 6$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-6x - 4y -16 + 6 = 0$
$-6x - 4y - 10 = 0$ → kalikan semua dengan negatif.
$6x + 4y + 10 = 0$ → bagi semua dengan 2.
$3x + 2y + 5 = 0$ ← bentuk implisit.
$x_1 = 1,\ y_1 = -4$
$x_2 = -3,\ y_2 = 2$
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - (-4)}{2 - (-4)} = \dfrac{x - 1}{-3 - 1}$
$\dfrac{y + 4}{2 + 4} = \dfrac{x - 1}{-3 - 1}$
$\dfrac{y + 4}{6} = \dfrac{x - 1}{-4}$
Lakukan kali silang !
$-4(y + 4) = 6.(x - 1)$
$-4y - 16 = 6x - 6$
Persamaan garis bisa dibuat ke dalam bentuk eksplisit atau bentuk implisit.
Buat ke bentuk eksplisit !
$-4y = 6x - 6 + 16$
$-4y = 6x + 10$ → kalikan semua dengan negatif.
$4y = -6x - 10$ → bagi semua dengan 4.
$y = -\dfrac32x - \dfrac52$ ← bentuk eksplisit.
Buat ke bentuk implisit !
$-4y - 16 = 6x - 6$
Pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-6x - 4y -16 + 6 = 0$
$-6x - 4y - 10 = 0$ → kalikan semua dengan negatif.
$6x + 4y + 10 = 0$ → bagi semua dengan 2.
$3x + 2y + 5 = 0$ ← bentuk implisit.
Hubungan Antara Dua Garis Lurus
Dua buah garis lurus kemungkinan akan saling sejajar berimpit, sejajar dan tidak berimpit, dan saling berpotongan secara tidak tegak lurus atau secara tegak lurus. Misalkan garis 1 dengan persamaan $ax + by + c = 0$ dan garis 2 dengan persamaan $px + qy = r$, maka:I. Jika $\dfrac ap = \dfrac bq = \dfrac cr$ maka garis 1 berimpit dengan garis 2.
II. Jika $m_1 = m_2$ maka garis 1 sejajar (//) dengan garis 2.
III. Jika $m_1 \times m_2 = -1$ maka garis 1 tegak lurus $(\perp)$ garis 2.
Contoh soal 13.
Diketahui persamaan garis berikut:
$(i).\ 2x + 3y - 4 = 0$
$(ii).\ 4x + 6y - 8 = 0$
$(iii).\ 3x - 2y + 5 = 0$
$(iv).\ 6x - 4y + 3 = 0$
Tentukanlah pasangan garis yang berimpit, sejajar, dan saling tegak lurus !
Diketahui persamaan garis berikut:
$(i).\ 2x + 3y - 4 = 0$
$(ii).\ 4x + 6y - 8 = 0$
$(iii).\ 3x - 2y + 5 = 0$
$(iv).\ 6x - 4y + 3 = 0$
Tentukanlah pasangan garis yang berimpit, sejajar, dan saling tegak lurus !
Lihat (i) dan (ii) !
$\dfrac24 = \dfrac36 = \dfrac{-4}{-8}$, berarti (i) dan (ii) berimpit.
$(i).\ 2x + 3y - 4 = 0 → m_i = -\dfrac ab = -\dfrac23$
$(ii).\ 4x + 6y - 8 = 0 → m_{ii} = -\dfrac ab = -\dfrac23$
$(iii).\ 3x - 2y + 5 = 0 → m_{iii} = -\dfrac ab = \dfrac32$
$(iv).\ 6x - 4y + 3 = 0 → m_{iv} = -\dfrac ab = \dfrac32$
$m_{iii} = m_{iv} = \dfrac 32$, berarti (iii) dan (iv) sejajar.
$m_{i}.m_{iii} = -1$, berarti (i) dan (iii) saling tegak lurus.
$m_i.m_{iv} = -1$, berarti (i) dan (iv) saling tegak lurus.
Dengan cara yang sama, kita bisa tahu bahwa (ii) tegak lurus dengan (iii) dan (iv).
$\dfrac24 = \dfrac36 = \dfrac{-4}{-8}$, berarti (i) dan (ii) berimpit.
$(i).\ 2x + 3y - 4 = 0 → m_i = -\dfrac ab = -\dfrac23$
$(ii).\ 4x + 6y - 8 = 0 → m_{ii} = -\dfrac ab = -\dfrac23$
$(iii).\ 3x - 2y + 5 = 0 → m_{iii} = -\dfrac ab = \dfrac32$
$(iv).\ 6x - 4y + 3 = 0 → m_{iv} = -\dfrac ab = \dfrac32$
$m_{iii} = m_{iv} = \dfrac 32$, berarti (iii) dan (iv) sejajar.
$m_{i}.m_{iii} = -1$, berarti (i) dan (iii) saling tegak lurus.
$m_i.m_{iv} = -1$, berarti (i) dan (iv) saling tegak lurus.
Dengan cara yang sama, kita bisa tahu bahwa (ii) tegak lurus dengan (iii) dan (iv).
Contoh soal 14.
Persamaan garis yang melalui titik $A(5, 3)$ dan sejajar dengan garis dengan persamaan $y = 2x - 1$ adalah . . . .
Persamaan garis yang melalui titik $A(5, 3)$ dan sejajar dengan garis dengan persamaan $y = 2x - 1$ adalah . . . .
Karena kedua garis saling sejajar, maka kedua garis memiliki gradien yang sama.
$y = 2x - 1 → m = 2$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 3 = 2(x - 5)$
$y - 3 = 2x - 10$
$y = 2x - 10 + 3$
$y = 2x - 7$ ← bentuk eksplisit. Silahkan buatkan ke dalam bentuk implisit.
$y = 2x - 1 → m = 2$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 3 = 2(x - 5)$
$y - 3 = 2x - 10$
$y = 2x - 10 + 3$
$y = 2x - 7$ ← bentuk eksplisit. Silahkan buatkan ke dalam bentuk implisit.
Contoh soal 15.
Persamaan garis yang melalui titik $(-3, 2)$ dan tegak lurus dengan garis yang melalui titik $(5, -3)\ dan\ (1, -1)$ adalah . . . .
Persamaan garis yang melalui titik $(-3, 2)$ dan tegak lurus dengan garis yang melalui titik $(5, -3)\ dan\ (1, -1)$ adalah . . . .
Kita cari terlebih dahulu gradien garis yang melalui titik $(5, -3)\ dan\ (1, -1)$. Kita misalkan sebagai $m_1.$
$m_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m_1 = \dfrac{-1 - (-3)}{1 - 5}$
$m_1 = \dfrac{-1 + 3}{1 - 5}$
$m_1 = \dfrac{2}{-4}$
$m_1 = -\dfrac12$
Misalkan gradien garis yang melalui titik $(-3, 2)$ adalah $m_2$. Karena kedua garis saling tegak lurus maka:
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac12.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{-\dfrac12}$
$m_2 = (-1).\left(-\dfrac21\right)$
$m_2 = 2$
Persamaan garis yang melalui titik $(-3, 2)$ dengan gradien 2:
$y - 2 = 2(x - (-3))$
$y - 2 = 2(x + 3)$
$y - 2 = 2x + 6$ → pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-2x + y - 2 - 6 = 0$
$-2x + y - 8 = 0$ → kalikan semua dengan negatif.
$2x - y + 8 = 0$ ← bentuk implisit. Silahkan buatkan ke dalam bentuk eksplisit.
$m_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m_1 = \dfrac{-1 - (-3)}{1 - 5}$
$m_1 = \dfrac{-1 + 3}{1 - 5}$
$m_1 = \dfrac{2}{-4}$
$m_1 = -\dfrac12$
Misalkan gradien garis yang melalui titik $(-3, 2)$ adalah $m_2$. Karena kedua garis saling tegak lurus maka:
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac12.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{-\dfrac12}$
$m_2 = (-1).\left(-\dfrac21\right)$
$m_2 = 2$
Persamaan garis yang melalui titik $(-3, 2)$ dengan gradien 2:
$y - 2 = 2(x - (-3))$
$y - 2 = 2(x + 3)$
$y - 2 = 2x + 6$ → pindahkan semua ke sebelah kiri tanda sama dengan.
$-2x + y - 2 - 6 = 0$
$-2x + y - 8 = 0$ → kalikan semua dengan negatif.
$2x - y + 8 = 0$ ← bentuk implisit. Silahkan buatkan ke dalam bentuk eksplisit.
Cara Menggambar Grafik Garis Lurus
Untuk menggambar garis lurus, kita harus menentukan titik potong terhadap sumbu X dan titik potong terhadap sumbu Y terlebih dahulu. Kemudian hubungkan kedua titik potong tersebut.$\bullet\ Titik\ potong\ sb\ x → y = 0$
$\bullet\ Titik\ potong\ sb\ y → x = 0$
Contoh soal 16.
Gambarkan grafik dari $2x - y = 4$ pada bidang Cartesius !
Gambarkan grafik dari $2x - y = 4$ pada bidang Cartesius !
Titik potong sumbu $x → y = 0$
$2x - y = 4$
$2x - 0 = 4$
$2x = 4$
$x = \dfrac42$
$x = 2$
Dengan demikian titik potong sumbu $x = (2, 0)$
Titik potong sumbu $y → x = 0$
$2x - y = 4$
$2.0 - y = 4$
$0 - y = 4$
$-y = 4$
$y = -4$
Dengan demikian titik potong sumbu $y = (0, -4)$
Hubungkan titik $(2, 0)\ dan\ (0, -4)$
Perhatikan gambar di bawah !
$2x - y = 4$
$2x - 0 = 4$
$2x = 4$
$x = \dfrac42$
$x = 2$
Dengan demikian titik potong sumbu $x = (2, 0)$
Titik potong sumbu $y → x = 0$
$2x - y = 4$
$2.0 - y = 4$
$0 - y = 4$
$-y = 4$
$y = -4$
Dengan demikian titik potong sumbu $y = (0, -4)$
Hubungkan titik $(2, 0)\ dan\ (0, -4)$
Perhatikan gambar di bawah !
Contoh soal 17.
Gambarkan grafik dari $3x + y = 0$ pada bidang Cartesius !
Gambarkan grafik dari $3x + y = 0$ pada bidang Cartesius !
Titik potong sumbu $x → y = 0$
$3x + y = 0$
$3x + 0 = 0$
$3x = 0$
$x = 0$
Dengan demikian garis melalui titik O(0, 0). Jika garis melalui titik O(0, 0), berarti garis tersebut memotong sumbu X dan sumbu Y di titik yang sama. Artinya titik potong sumbu X dan sumbu Y adalah berimpit di satu titik yaitu titik O(0, 0). Sementara kita butuh dua titik untuk dihubungkan supaya terbentuk sebuah garis. Untuk mengatasi hal seperti ini, ambil x = -1 dan kemudian masukkan ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan y.
Kita misaalkan $x = -1$
$3x + y = 0$
$3.(-1) + y = 0$
$-3 + y = 0$
$y = 3$
Berarti garis melalui titik $(-1, 3)$ dan titik $(0, 0)$. Hubungkan kedua titik seperti gambar !
$3x + y = 0$
$3x + 0 = 0$
$3x = 0$
$x = 0$
Dengan demikian garis melalui titik O(0, 0). Jika garis melalui titik O(0, 0), berarti garis tersebut memotong sumbu X dan sumbu Y di titik yang sama. Artinya titik potong sumbu X dan sumbu Y adalah berimpit di satu titik yaitu titik O(0, 0). Sementara kita butuh dua titik untuk dihubungkan supaya terbentuk sebuah garis. Untuk mengatasi hal seperti ini, ambil x = -1 dan kemudian masukkan ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan y.
Kita misaalkan $x = -1$
$3x + y = 0$
$3.(-1) + y = 0$
$-3 + y = 0$
$y = 3$
Berarti garis melalui titik $(-1, 3)$ dan titik $(0, 0)$. Hubungkan kedua titik seperti gambar !
Nilai $x$ bisa diambil berapa saja.
Begitulah review singkat tentang persamaan garis lurus. Untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan mengerjakan soal, silahkan simak dan pelajari soal dan pembahasan persamaan garis lurus yang berikut.
Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Lurus
1. Jika titik $(-2, a)$ terletak pada garis $2x - y + 3 = 0$ maka nilai $a =$ . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 0$
$C.\ -1$
$D.\ -2$
$A.\ 1$
$B.\ 0$
$C.\ -1$
$D.\ -2$
Karena titik $(-2, a)$ terletak pada garis $2x - y + 3 = 0$, berarti boleh dilakukan substitusi. Masukkan titik $(-2, a)$ ke dalam persamaan garis !
$2x - y + 3 = 0$
$2.(-2) - y + 3 = 0$
$-4 - y + 3 = 0$
$-4 + 3 = y$
$-1 = y$
jawab: C.
$2x - y + 3 = 0$
$2.(-2) - y + 3 = 0$
$-4 - y + 3 = 0$
$-4 + 3 = y$
$-1 = y$
jawab: C.
2. Garis berikut yang melalui titik $(-2, 3)$ adalah . . . .
$A.\ 3x - 2y + 5 = 0$
$B.\ 3x - 5y + 2 = 0$
$C.\ 2x + 3y - 5 = 0$
$D.\ 2x + 3y + 5 = 0$
$A.\ 3x - 2y + 5 = 0$
$B.\ 3x - 5y + 2 = 0$
$C.\ 2x + 3y - 5 = 0$
$D.\ 2x + 3y + 5 = 0$
Apabila sebuah garis melalui suatu titik, maka substitusi titik ke dalam persamaan garis akan bernilai benar. Kita harus periksa satu persatu.
$A.\ 3.(-2) - 2.3 + 5 = 0$
$-6 - 6 + 5 = 0$
$-7 = 0 → salah.$
$B.\ 3.(-2) - 5.3 + 2 = 0$
$-6 - 15 + 2 = 0$
$-19 = 0 → salah.$
$C.\ 2.(-2) + 3.3 - 5 = 0$
$-4 + 9 - 5 = 0$
$0 = 0 → benar.$
$D.\ 2.(-2) + 3.3 + 5 = 0$
$-4 + 9 + 5 = 0$
$10 = 0 → salah.$
jawab: C.
$A.\ 3.(-2) - 2.3 + 5 = 0$
$-6 - 6 + 5 = 0$
$-7 = 0 → salah.$
$B.\ 3.(-2) - 5.3 + 2 = 0$
$-6 - 15 + 2 = 0$
$-19 = 0 → salah.$
$C.\ 2.(-2) + 3.3 - 5 = 0$
$-4 + 9 - 5 = 0$
$0 = 0 → benar.$
$D.\ 2.(-2) + 3.3 + 5 = 0$
$-4 + 9 + 5 = 0$
$10 = 0 → salah.$
jawab: C.
3. Gradien dari garis $4 - 3y = 4x$ adalah . . . .
$A.\ -\dfrac43$
$B.\ -\dfrac34$
$C.\ \dfrac43$
$D.\ \dfrac34$
$A.\ -\dfrac43$
$B.\ -\dfrac34$
$C.\ \dfrac43$
$D.\ \dfrac34$
Buatkan persamaan garis bentuk eksplisit atau bentuk implisit. Saya akan mengubah ke bentuk eksplisit, silahkan adik-adik ubah ke dalam bentuk implisit.
Bentuk Eksplisit:
$4 - 3y = 4x$
$-3y = 4x - 4$ → semua kali negatif.
$3y = -4x + 4$ → semua bagi 3.
$y = -\dfrac43x + \dfrac43$
$gradien\ (m) = -\dfrac43$
jawab: C.
Bentuk Eksplisit:
$4 - 3y = 4x$
$-3y = 4x - 4$ → semua kali negatif.
$3y = -4x + 4$ → semua bagi 3.
$y = -\dfrac43x + \dfrac43$
$gradien\ (m) = -\dfrac43$
jawab: C.
4. Gradien garis $3y - 4x + 5 = 0$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac34$
$B.\ \dfrac35$
$C.\ \dfrac45$
$D.\ \dfrac43$
$A.\ \dfrac34$
$B.\ \dfrac35$
$C.\ \dfrac45$
$D.\ \dfrac43$
Persamaan garis sudah dalam bentuk implisit.
$a = -4,\ b = 3$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-(-4)}{3}$
$m = \dfrac43$
jawab: E.
$a = -4,\ b = 3$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-(-4)}{3}$
$m = \dfrac43$
jawab: E.
5. Jika gradien garis $3x - (p - 2)y = 5$ adalah 4, maka nilai $p =$ . . . .
$A.\ \dfrac{9}{2}$
$B.\ 3$
$C.\ \dfrac{11}{4}$
$D.\ -\dfrac32$
$A.\ \dfrac{9}{2}$
$B.\ 3$
$C.\ \dfrac{11}{4}$
$D.\ -\dfrac32$
$3x - (p - 2) - 5 = 0$
$m = 4,\ a = 3,\ b = -(p - 2)$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$4 = \dfrac{-3}{-(p - 2)}$ → tanda minus bisa dicoret.
$4 = \dfrac{3}{p - 2}$ → kali silang.
$4(p - 2) = 3$
$4p - 8 = 3$
$4p = 3 + 8$
$4p = 11$
$p = \dfrac{11}{4}$
jawab: C.
$m = 4,\ a = 3,\ b = -(p - 2)$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$4 = \dfrac{-3}{-(p - 2)}$ → tanda minus bisa dicoret.
$4 = \dfrac{3}{p - 2}$ → kali silang.
$4(p - 2) = 3$
$4p - 8 = 3$
$4p = 3 + 8$
$4p = 11$
$p = \dfrac{11}{4}$
jawab: C.
6. Gradien garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik (3, 5) adalah . . . .
$A.\ \dfrac35$
$B.\ \dfrac53$
$C.\ -\dfrac35$
$D.\ -\dfrac53$
$A.\ \dfrac35$
$B.\ \dfrac53$
$C.\ -\dfrac35$
$D.\ -\dfrac53$
Gradien garis yang melalui dua titik:
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \dfrac{5 - 0}{3 - 0}$
$m = \dfrac53$
jawab: B.
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \dfrac{5 - 0}{3 - 0}$
$m = \dfrac53$
jawab: B.
7. Gradien dari garis yang memiliki persamaan $4(3 - 2x) - 3(y + 2) - 5 = 0$ adalah . . . .
$A.\ -\dfrac53$
$B.\ -\dfrac73$
$C.\ -\dfrac83$
$D.\ -\dfrac{10}{3}$
$A.\ -\dfrac53$
$B.\ -\dfrac73$
$C.\ -\dfrac83$
$D.\ -\dfrac{10}{3}$
$4(3 - 2x) - 3(y + 2) - 5 = 0$
$12 - 8x - 3y - 6 - 5 = 0$
$-8x - 3y + 1 = 0$
$8x + 3y - 1 = 0$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-8}{3}$
$m = -\dfrac83$
jawab: C.
$12 - 8x - 3y - 6 - 5 = 0$
$-8x - 3y + 1 = 0$
$8x + 3y - 1 = 0$
$m = \dfrac{-a}{b}$
$m = \dfrac{-8}{3}$
$m = -\dfrac83$
jawab: C.
8. Persamaan garis berikut yang memiliki gradien $\dfrac23$ adalah . . . .
$A.\ 2x + 3y - 5 = 0$
$B.\ 2x - 3y + 5 = 0$
$C.\ 3x + 2y - 5 = 0$
$D.\ 3x - 2y + 5 = 0$
$A.\ 2x + 3y - 5 = 0$
$B.\ 2x - 3y + 5 = 0$
$C.\ 3x + 2y - 5 = 0$
$D.\ 3x - 2y + 5 = 0$
Periksa satu per satu !
$A.\ m = \dfrac{-2}{3} = -\dfrac23 → salah$
$B.\ m = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac23 → benar$
$C.\ m = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac32 → salah$
$D.\ m = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac32 → salah$
jawab: B.
$A.\ m = \dfrac{-2}{3} = -\dfrac23 → salah$
$B.\ m = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac23 → benar$
$C.\ m = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac32 → salah$
$D.\ m = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac32 → salah$
jawab: B.
9. Diketahui garis $k$ sejajar dengan garis $l$. Jika persamaan garis $k$ adalah $3x - 5 = 2y$ maka gradien garis $l$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac32$
$B.\ -\dfrac52$
$C.\ \dfrac23$
$D.\ \dfrac25$
$A.\ \dfrac32$
$B.\ -\dfrac52$
$C.\ \dfrac23$
$D.\ \dfrac25$
Karena garis $k$ sejajar dengan garis $l$ maka gradien kedua garis adalah sama. Kita cari gradien garis $k$.
$3x - 5 = 2y$ lakukan pertukaran ruas, ruas kiri pindah ke kanan dan ruas kanan pindah ke kiri.
$2y = 3x - 5$ bagi semua dengan 2.
$y = \dfrac32x - \dfrac52$
$m_k = \dfrac32$
$m_l = m_k = \dfrac32$
jawab: A.
$3x - 5 = 2y$ lakukan pertukaran ruas, ruas kiri pindah ke kanan dan ruas kanan pindah ke kiri.
$2y = 3x - 5$ bagi semua dengan 2.
$y = \dfrac32x - \dfrac52$
$m_k = \dfrac32$
$m_l = m_k = \dfrac32$
jawab: A.
10. Diketahui garis $m$ memiliki persamaan $y = 3x - 7$. Jika garis $m$ tegak lurus dengan garis $n$, maka gradien garis $n$ adalah . . . .
$A.\ -\dfrac13$
$B.\ -\dfrac37$
$C.\ -\dfrac73$
$D.\ -3$
$A.\ -\dfrac13$
$B.\ -\dfrac37$
$C.\ -\dfrac73$
$D.\ -3$
Garis $m$ tegak lurus dengan garis $n$, berarti hasil kali gradien kedua garis adalah $-1$. Kita cari gradien garis $m$.
$y = 3x - 7$ → sudah dalam bentuk eksplisit.
$m_m = 3$
$m_m.m_n = -1$
$3.m_n = -1$
$m_n = -\dfrac13$
jawab: A.
$y = 3x - 7$ → sudah dalam bentuk eksplisit.
$m_m = 3$
$m_m.m_n = -1$
$3.m_n = -1$
$m_n = -\dfrac13$
jawab: A.
11. Gradien garis yang melalui titik $(3, -2)$ dan $(-1, 4)$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac23$
$B.\ \dfrac32$
$C.\ -\dfrac23$
$D.\ -\dfrac32$
$A.\ \dfrac23$
$B.\ \dfrac32$
$C.\ -\dfrac23$
$D.\ -\dfrac32$
Gradien garis yang melalui dua titik:
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \dfrac{4 - (-2)}{-1 - 3}$
$m = \dfrac{4 + 2}{-1 - 3}$
$m = \dfrac{6}{-4}$
$m = -\dfrac64$
$m = -\dfrac32$
jawab: D.
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \dfrac{4 - (-2)}{-1 - 3}$
$m = \dfrac{4 + 2}{-1 - 3}$
$m = \dfrac{6}{-4}$
$m = -\dfrac64$
$m = -\dfrac32$
jawab: D.
12. Gradien dari garis pada gambar di bawah adalah . . . .
$A.\ -\dfrac12$
$B.\ -\dfrac23$
$C.\ -\dfrac34$
$D.\ -\dfrac32$
$A.\ -\dfrac12$
$B.\ -\dfrac23$
$C.\ -\dfrac34$
$D.\ -\dfrac32$
Garis melalui titik $(2, 0)$ dan titik $(0, 3)$.
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \dfrac{3 - 0}{0 - 2}$
$m = \dfrac{3}{-2}$
$m = -\dfrac32$
jawab: D.
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \dfrac{3 - 0}{0 - 2}$
$m = \dfrac{3}{-2}$
$m = -\dfrac32$
jawab: D.
13. Perhatikan gambar berikut !
$(i).\ gradien\ garis\ p = \dfrac23$
$(ii).\ gradien\ garis\ q = -1$
$(iii).\ gradien\ garis\ r = \dfrac34$
Pernyataan di atas yang benar adalah . . . .
$A.\ (i)\ dan\ (ii)$
$B.\ (i)\ dan\ (iii)$
$C.\ (ii)\ dan (iii)$
$D.\ (i)\ (ii)\ dan\ (iii)$
$(i).\ gradien\ garis\ p = \dfrac23$
$(ii).\ gradien\ garis\ q = -1$
$(iii).\ gradien\ garis\ r = \dfrac34$
Pernyataan di atas yang benar adalah . . . .
$A.\ (i)\ dan\ (ii)$
$B.\ (i)\ dan\ (iii)$
$C.\ (ii)\ dan (iii)$
$D.\ (i)\ (ii)\ dan\ (iii)$
Perhatikan garis p dengan segitiga siku-siku ! Garis p condong ke kanan, dengan demikian gradiennya bernilai positif. Bentuk sebuah segitiga siku-siku dengan sisi miring merupakan bagian dari garis p.
$panjang\ sisi\ tegak = 2$
$panjang\ sisi\ datar = 3$
$m = \dfrac{panjang\ sisi\ tegak}{panjang\ sisi\ datar}$
$m = \dfrac23$
Perhatikan garis q dengan segitiga siku-siku ! Garis q condong ke kiri, dengan demikian gradiennya bernilai negatif. Dengan melukis sebuah segitiga siku-siku, dimana sisi miring merupakan bagian dari garis q, maka kita bisa mendapatkan gradien.
$panjang\ sisi\ tegak = 4$
$panjang\ sisi\ datar = 4$
$m = -\dfrac{panjang\ sisi\ tegak}{panjang\ sisi\ datar}$
$m = -\dfrac44$
$m = -1$
Perhatikan garis r dengan segitiga siku-siku ! Garis r condong ke kanan, dengan demikian gradiennya bernilai positif.
$m = \dfrac35$
Pernyataan yang benar adalah pernyataan (i) dan (ii).
jawab: A.
14. Diketahui garis $px + 3y = 2$ sejajar dengan garis $y = \dfrac{(3 - p)}{2}x$, maka nilai $p =$ . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 7$
$C.\ 9$
$D.\ 11$
$A.\ 5$
$B.\ 7$
$C.\ 9$
$D.\ 11$
Kedua garis sejajar, berarti kedua garis memiliki gradien yang sama.
$px + 3y = 2 → m = \dfrac{-p}{3}$
$y = \dfrac{(3 - p)}{2}x → m = \dfrac{(3 - p)}{2}$
karena gradiennya sama, maka:
$\dfrac{-p}{3} = \dfrac{(3 - p)}{2}$ → lakukan kali silang !
$-2p = 3(3 - p)$
$-2p = 9 - 3p$
$-2p + 3p = 9$
$p = 9$
jawab: C.
$px + 3y = 2 → m = \dfrac{-p}{3}$
$y = \dfrac{(3 - p)}{2}x → m = \dfrac{(3 - p)}{2}$
karena gradiennya sama, maka:
$\dfrac{-p}{3} = \dfrac{(3 - p)}{2}$ → lakukan kali silang !
$-2p = 3(3 - p)$
$-2p = 9 - 3p$
$-2p + 3p = 9$
$p = 9$
jawab: C.
15. Jika garis $2x + py = 4$ dan $py = 8x + 3$ saling tegak lurus, maka nilai $p =$ . . . .
$A.\ \pm 2$
$B.\ \pm 3$
$C.\ \pm 4$
$D.\ \pm 5$
$A.\ \pm 2$
$B.\ \pm 3$
$C.\ \pm 4$
$D.\ \pm 5$
Karena kedua garis saling tegak lurus, maka hasil kali gradien kedua garis $= -1$. Kita cari gradien dari masing-masing garis.
$2x + py = 4$
$2x + py - 4 = 0 → m = \dfrac{-2}{p}$
$py = 8x + 3$
$y = \dfrac 8px + \dfrac 3p → m = \dfrac 8p$
Kalikan kedua gradien !
$\dfrac{-2}{p}.\dfrac 8p = -1$
$\dfrac{-16}{p^2} = -1$ → lakukan kali silang.
$-16 = -p^2$
$p^2 = 16$
$p = \pm 4$
jawab: C.
$2x + py = 4$
$2x + py - 4 = 0 → m = \dfrac{-2}{p}$
$py = 8x + 3$
$y = \dfrac 8px + \dfrac 3p → m = \dfrac 8p$
Kalikan kedua gradien !
$\dfrac{-2}{p}.\dfrac 8p = -1$
$\dfrac{-16}{p^2} = -1$ → lakukan kali silang.
$-16 = -p^2$
$p^2 = 16$
$p = \pm 4$
jawab: C.
16. Persamaan garis yang melalui titik $(2, 3)$ dan $(-1, 0)$ adalah . . . .
$A.\ x - y + 1 = 0$
$B.\ x - y - 3 = 0$
$C.\ 2x - y - 1 = 0$
$D.\ x + y - 1 = 0$
$A.\ x - y + 1 = 0$
$B.\ x - y - 3 = 0$
$C.\ 2x - y - 1 = 0$
$D.\ x + y - 1 = 0$
Persamaan garis yang melalui dua titik:
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 3}{0 - 3} = \dfrac{x - 2}{-1 - 2}$
$\dfrac{y -3}{-3} = \dfrac{x - 2}{-3}$
Karena penyebut diruas kiri dan ruas kanan sama, bisa dicoret !
$y - 3 = x - 2$
$-x + y - 3 + 2 = 0$
$-x + y - 1 = 0$
$x - y + 1 = 0$
jawab: A.
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 3}{0 - 3} = \dfrac{x - 2}{-1 - 2}$
$\dfrac{y -3}{-3} = \dfrac{x - 2}{-3}$
Karena penyebut diruas kiri dan ruas kanan sama, bisa dicoret !
$y - 3 = x - 2$
$-x + y - 3 + 2 = 0$
$-x + y - 1 = 0$
$x - y + 1 = 0$
jawab: A.
17. Persamaan garis pada gambar di bawah adalah . . . .
$A.\ x - 3y - 3 = 0$
$B.\ x + 3y + 3 = 0$
$C.\ x - 3y + 3 = 0$
$D.\ x + 3y - 3 = 0$
$A.\ x - 3y - 3 = 0$
$B.\ x + 3y + 3 = 0$
$C.\ x - 3y + 3 = 0$
$D.\ x + 3y - 3 = 0$
Garis melalui titik $(-3, 0)$ dan titik $(0, 1)$
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 0}{1 - 0} = \dfrac{x - (-3)}{0 - (-3)}$
$\dfrac{y}{1} = \dfrac{x + 3}{3}$
$3y = x + 3$
$-x + 3y - 3 = 0$
$x - 3y + 3 = 0$
jawab: C.
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 0}{1 - 0} = \dfrac{x - (-3)}{0 - (-3)}$
$\dfrac{y}{1} = \dfrac{x + 3}{3}$
$3y = x + 3$
$-x + 3y - 3 = 0$
$x - 3y + 3 = 0$
jawab: C.
18. Persamaan garis yang memiliki gradien $\dfrac25$ dan melalui titik $(-3, -4)$ adalah . . . .
$A.\ 2x - 5y - 14 = 0$
$B.\ 2x + 5y - 14 = 0$
$C.\ 5x - 2y - 14 = 0$
$D.\ 5x + 2y - 14 = 0$
$A.\ 2x - 5y - 14 = 0$
$B.\ 2x + 5y - 14 = 0$
$C.\ 5x - 2y - 14 = 0$
$D.\ 5x + 2y - 14 = 0$
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-4) = \dfrac25(x - (-3))$
$y + 4 = \dfrac25(x + 3)$ → semua dikali 5.
$5y + 5.4 = 5.\dfrac25(x + 3)$
$5y + 20 = 2(x + 3)$
$5y + 20 = 2x + 6$
$-2x + 5y + 20 - 6 = 0$
$-2x + 5y + 14 = 0$
$2x - 5y - 14 = 0$
jawab: A.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-4) = \dfrac25(x - (-3))$
$y + 4 = \dfrac25(x + 3)$ → semua dikali 5.
$5y + 5.4 = 5.\dfrac25(x + 3)$
$5y + 20 = 2(x + 3)$
$5y + 20 = 2x + 6$
$-2x + 5y + 20 - 6 = 0$
$-2x + 5y + 14 = 0$
$2x - 5y - 14 = 0$
jawab: A.
19. Persamaan garis yang melalui titik $(3, 4)$ dan titik $-2, -1$ akan memotong sumbu Y di titik . . . .
$A.\ (1, 0)$
$B.\ (0, 1)$
$C.\ (-1, 1)$
$D.\ (1, -1)$
$A.\ (1, 0)$
$B.\ (0, 1)$
$C.\ (-1, 1)$
$D.\ (1, -1)$
Kita cari persamaan garis terlebih dahulu.
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 4}{-1 - 4} = \dfrac{x - 3}{-2 - 3}$
$\dfrac{y - 4}{-5} = \dfrac{x - 3}{-5}$
Penyebut diruas kiri sama dengan penyebut di ruas kanan, sehingga bisa dicoret.
$y - 4 = x - 3$
$y = x - 3 + 4$
$y = x + 1$
$Titik\ potong\ sb-Y → x = 0$
$y = 0 + 1$
$y = 1$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $(0, 1)$.
jawab: B.
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
$\dfrac{y - 4}{-1 - 4} = \dfrac{x - 3}{-2 - 3}$
$\dfrac{y - 4}{-5} = \dfrac{x - 3}{-5}$
Penyebut diruas kiri sama dengan penyebut di ruas kanan, sehingga bisa dicoret.
$y - 4 = x - 3$
$y = x - 3 + 4$
$y = x + 1$
$Titik\ potong\ sb-Y → x = 0$
$y = 0 + 1$
$y = 1$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $(0, 1)$.
jawab: B.
20. Persamaan garis yang melalui titik $(-5, 3)$ dan sejajar dengan garis $y = 2x - 3$ adalah . . . .
$A.\ y = 2x + 5$
$B.\ y = 2x + 8$
$C.\ y = 2x + 13$
$D.\ y = 2x + 15$
$A.\ y = 2x + 5$
$B.\ y = 2x + 8$
$C.\ y = 2x + 13$
$D.\ y = 2x + 15$
Karena kedua garis saling sejajar, berarti gradien kedua garis adalah sama.
$y = 2x - 3 → m = 2$
Persamaan garis yang melalui titik $(-5, 3)$ dengan gradien $2$:
$y - 3 = 2(x - (-5))$
$y - 3 = 2(x + 5)$
$y - 3 = 2x + 10$
$y = 2x + 10 + 3$
$y = 2x + 13$
jawab: C.
Cara Cepat:
Karena kedua garis saling sejajar, maka persamaan kedua garis adalah mirip, hanya berbeda pada konstantanya saja. Persamaan garisnya adalah:
$y = 2x + q$ → substitusikan titik yang dilaui yaitu titik $(-5, 3)$ untuk mendapatkan nilai q.
$3 = 2.(-5) + q$
$3 = -10 + q$
$q = 13$ → masukkan nilai q ke dalam persamaan garis.
$y = 2x + 13$
$y = 2x - 3 → m = 2$
Persamaan garis yang melalui titik $(-5, 3)$ dengan gradien $2$:
$y - 3 = 2(x - (-5))$
$y - 3 = 2(x + 5)$
$y - 3 = 2x + 10$
$y = 2x + 10 + 3$
$y = 2x + 13$
jawab: C.
Cara Cepat:
Karena kedua garis saling sejajar, maka persamaan kedua garis adalah mirip, hanya berbeda pada konstantanya saja. Persamaan garisnya adalah:
$y = 2x + q$ → substitusikan titik yang dilaui yaitu titik $(-5, 3)$ untuk mendapatkan nilai q.
$3 = 2.(-5) + q$
$3 = -10 + q$
$q = 13$ → masukkan nilai q ke dalam persamaan garis.
$y = 2x + 13$
21. Persamaan garis yang melalui titik $(0, 5)$ dan tegak lurus dengan garis $y = -\dfrac23x + 3$ adalah . . . .
$A.\ y = \dfrac32x + 3$
$B.\ y = \dfrac32x + 5$
$C.\ y = \dfrac32x + 7$
$D.\ y = \dfrac32x + 9$
$A.\ y = \dfrac32x + 3$
$B.\ y = \dfrac32x + 5$
$C.\ y = \dfrac32x + 7$
$D.\ y = \dfrac32x + 9$
Kedua garis saling tegak lurus, berarti hasil kali gradien kedua garis $= -1$. Misalkan gradien garis $y = -\dfrac23x + 3\ adalah\ m_1$ dan gradien garis yang melalui titik $(0, 5)$ kita misalkan sebagai $m_2$.
$y = -\dfrac23x + 3 → m_1 = -\dfrac23$
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac23.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{-\dfrac23 = \dfrac32}$
Persamaan garis yang melalui titik $(0, 5)$ dengan gradien $\dfrac32$:
$y - 5 = \dfrac32(x - 0)$
$y - 5 = \dfrac32x$
$y = \dfrac32x + 5$
jawab: B.
Cara Cepat:
Persamaan garis saling tegak lurus jika hasil kali gradien $= 1$. Persamaan garis yang lain pastilah dalam bentuK:
$y = \dfrac32x + q$
Substitusikan titik yang dilalui garis untuk mendapatkan nilai q.
$5 = \dfrac.0 + q$
$q = 5$
Masukkan nilai q ke dalam persamaan garis.
$y = \dfrac32x + 5$
$y = -\dfrac23x + 3 → m_1 = -\dfrac23$
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac23.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{-\dfrac23 = \dfrac32}$
Persamaan garis yang melalui titik $(0, 5)$ dengan gradien $\dfrac32$:
$y - 5 = \dfrac32(x - 0)$
$y - 5 = \dfrac32x$
$y = \dfrac32x + 5$
jawab: B.
Cara Cepat:
Persamaan garis saling tegak lurus jika hasil kali gradien $= 1$. Persamaan garis yang lain pastilah dalam bentuK:
$y = \dfrac32x + q$
Substitusikan titik yang dilalui garis untuk mendapatkan nilai q.
$5 = \dfrac.0 + q$
$q = 5$
Masukkan nilai q ke dalam persamaan garis.
$y = \dfrac32x + 5$
22. Garis $g$ melalui titik $(-1, 4)$ dan sejajar garis $3x - 2y + 6 = 0$. Persamaan garis $g$ adalah . . . .
$A.\ 3x - 2y + 11 = 0$
$B.\ 3x + 2y + 11 = 0$
$C.\ 3x - 2y - 11 = 0$
$D.\ 3x + 2y - 11 = 0$
$A.\ 3x - 2y + 11 = 0$
$B.\ 3x + 2y + 11 = 0$
$C.\ 3x - 2y - 11 = 0$
$D.\ 3x + 2y - 11 = 0$
$3x - 2y + 6 = 0 → m = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac32$
Karena kedua garis saling sejajar, berarti gradien kedua garis adalah sama, sehingga persamaan garis yang melalui titik $(-1, 4)$ bisa kita cari.
$y - 4 = \dfrac32(x - (-1))$
$y - 4 = \dfrac32(x + 1)$ → semua dikali 2.
$2.y - 2.4 = 2.\dfrac32(x + 1)$
$2y - 8 = 3(x + 1)$
$2y - 8 = 3x + 3$
$-3x + 2y - 11 = 0$
$3x - 2y + 11 = 0$
jawab: A.
Cara cepat:
Karena kedua garis saling sejajar maka gradien sama, sehingga persamaan garisnya mirip dan hanya berbeda pada konstantanya saja. Persamaan garis yang melalui titik $(-1, 4)$ adalah:
$3x - 2y + c = 0$
Substitusikan titik $(-1, 4)$ kedalam persamaan garis untuk mendapatkan nilai c.
$3.(-1) - 2.4 + c = 0$
$-3 - 8 + c = 0$
$c = 11$
Masukkan nilai c ke dalam persamaan garis.
$3x - 2y + 11 = 0$.
Karena kedua garis saling sejajar, berarti gradien kedua garis adalah sama, sehingga persamaan garis yang melalui titik $(-1, 4)$ bisa kita cari.
$y - 4 = \dfrac32(x - (-1))$
$y - 4 = \dfrac32(x + 1)$ → semua dikali 2.
$2.y - 2.4 = 2.\dfrac32(x + 1)$
$2y - 8 = 3(x + 1)$
$2y - 8 = 3x + 3$
$-3x + 2y - 11 = 0$
$3x - 2y + 11 = 0$
jawab: A.
Cara cepat:
Karena kedua garis saling sejajar maka gradien sama, sehingga persamaan garisnya mirip dan hanya berbeda pada konstantanya saja. Persamaan garis yang melalui titik $(-1, 4)$ adalah:
$3x - 2y + c = 0$
Substitusikan titik $(-1, 4)$ kedalam persamaan garis untuk mendapatkan nilai c.
$3.(-1) - 2.4 + c = 0$
$-3 - 8 + c = 0$
$c = 11$
Masukkan nilai c ke dalam persamaan garis.
$3x - 2y + 11 = 0$.
23. Persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan tegak lurus garis $4x - 3y + 8 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 3x - 4y - 34 = 0$
$B.\ 3x + 4y + 22 = 0$
$C.\ 4x - 3y + 34 = 0$
$D.\ 4x + 3y - 22 = 0$
$A.\ 3x - 4y - 34 = 0$
$B.\ 3x + 4y + 22 = 0$
$C.\ 4x - 3y + 34 = 0$
$D.\ 4x + 3y - 22 = 0$
Kita misalkan gradien garis $4x - 3y + 8 = 0\ adalah\ m_1$ dan gradien garis yang melalui titik $(2, -7)\ adalah\ m_2$.
$4x - 3y + 8 = 0 → m_1 = \dfrac{-4}{-3} = \dfrac43$
$m_1.m_2 = -1$
$\dfrac43.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{\dfrac43}$
$m_2 = -1.\dfrac34$
$m_2 = -\dfrac34$
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dengan gradien $-\dfrac34$
$y - (-7) = -\dfrac34(x - 2)$
$y + 7 = -\dfrac34(x - 2)$ → semua dikali 4.
$4.y + 4.7 = -4.\dfrac34(x - 2)$
$4y + 28 = -3(x - 2)$
$4y + 28 = -3x + 6$
$3x + 4y + 28 - 6 = 0$
$3x + 4y + 22 = 0$
jawab: B.
Cara Cepat:
Karena kedua garis saling tegak lurus, maka persamaan garis yang melalui $(2, -7)$ pastilah:
$3x + 4y + c = 0$
Substitusikan titik $(2, -7)$ ke dalam persamaan garis.
$3.2 + 4.(-7) + c = 0$
$6 - 28 + c = 0$
$c = 22$
Masukkan nilai c ke dalam persamaan garis.
$3x + 4y + 22 = 0$.
$4x - 3y + 8 = 0 → m_1 = \dfrac{-4}{-3} = \dfrac43$
$m_1.m_2 = -1$
$\dfrac43.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{\dfrac43}$
$m_2 = -1.\dfrac34$
$m_2 = -\dfrac34$
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dengan gradien $-\dfrac34$
$y - (-7) = -\dfrac34(x - 2)$
$y + 7 = -\dfrac34(x - 2)$ → semua dikali 4.
$4.y + 4.7 = -4.\dfrac34(x - 2)$
$4y + 28 = -3(x - 2)$
$4y + 28 = -3x + 6$
$3x + 4y + 28 - 6 = 0$
$3x + 4y + 22 = 0$
jawab: B.
Cara Cepat:
Karena kedua garis saling tegak lurus, maka persamaan garis yang melalui $(2, -7)$ pastilah:
$3x + 4y + c = 0$
Substitusikan titik $(2, -7)$ ke dalam persamaan garis.
$3.2 + 4.(-7) + c = 0$
$6 - 28 + c = 0$
$c = 22$
Masukkan nilai c ke dalam persamaan garis.
$3x + 4y + 22 = 0$.
24. Diantara garis berikut yang sejajar dengan garis $\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{2} = 3$ adalah . . . .
$A.\ y = \dfrac23x - 4$
$B.\ y = \dfrac32x - 3$
$C.\ y = \dfrac34x + 2$
$D.\ y = \dfrac35x + 1$
$A.\ y = \dfrac23x - 4$
$B.\ y = \dfrac32x - 3$
$C.\ y = \dfrac34x + 2$
$D.\ y = \dfrac35x + 1$
$\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{2} = 3$
$\dfrac13x - \dfrac12y - 3 = 0$
$m = \dfrac{-\dfrac13}{-\dfrac12}$
$m = \dfrac13.\dfrac21$
$m = \dfrac23$
Dua garis sejajar jika gradiennya sama. Cari persamaan garis dengan gradien $\dfrac23$ yang ada pada opsi (pilihan). Terlihat bahwa persamaan garis dengan gradien $\dfrac23$ adalah opsi A.
jawab: A.
$\dfrac13x - \dfrac12y - 3 = 0$
$m = \dfrac{-\dfrac13}{-\dfrac12}$
$m = \dfrac13.\dfrac21$
$m = \dfrac23$
Dua garis sejajar jika gradiennya sama. Cari persamaan garis dengan gradien $\dfrac23$ yang ada pada opsi (pilihan). Terlihat bahwa persamaan garis dengan gradien $\dfrac23$ adalah opsi A.
jawab: A.
25. Diantara garis berikut yang tegak lurus dengan garis $\dfrac53x - 3y = 7$ adalah . . . .
$A.\ 5x + 9y - 3 = 0$
$B.\ 5x - 9y - 3 = 0$
$C.\ 9x - 5y - 3 = 0$
$D.\ 9x + 5y - 3 = 0$
$A.\ 5x + 9y - 3 = 0$
$B.\ 5x - 9y - 3 = 0$
$C.\ 9x - 5y - 3 = 0$
$D.\ 9x + 5y - 3 = 0$
$\dfrac53x - 3y - 7 = 0 → m_1 = \dfrac{-\dfrac53}{-3} = \dfrac59$
Misalkan gradien garis yang ditanya adalah $m_2$, dengan demikian:
$m_1.m_2 = -1$
$\dfrac59.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{\dfrac59}$
$m_2 = -1.\dfrac95$
$m_2 = -\dfrac95$
Lihat opsi (pilihan) yang memiliki persamaan garis dengan gradien $-\dfrac95$. Terlihat bahwa opsi D merupakan opsi yang tepat.
jawab: D.
Misalkan gradien garis yang ditanya adalah $m_2$, dengan demikian:
$m_1.m_2 = -1$
$\dfrac59.m_2 = -1$
$m_2 = \dfrac{-1}{\dfrac59}$
$m_2 = -1.\dfrac95$
$m_2 = -\dfrac95$
Lihat opsi (pilihan) yang memiliki persamaan garis dengan gradien $-\dfrac95$. Terlihat bahwa opsi D merupakan opsi yang tepat.
jawab: D.
Sekian review singkat serta soal dan pembahasan persamaan garis lurus. Mudah-mudahan apa yang disajikan di sini bisa membantu adik-adik untuk memahami materi persamaan garis lurus.
Selamat Berjuang !
www.maretong.com
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Lurus"
Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.