Soal dan pembahasan Relasi dan Fungsi kelas 8

Topik edisi kali ini adalah soal dan pembahasan relasi dan fungsi matematika smp kelas 8. Sebelum kita masuk ke topik utama, seperti biasa kita akan lakukan review singkat. Silahkan baca dan pelajari Relasi dan Fungsi Kelas 10.

Daftar isi

• 1 Pengertian Relasi
• 2 Pengertian Fungsi atau Pemetaan
• 3 Pengertian Korespondensi Satu-Satu
• 4 Contoh Soal dan Pembahasan Relasi dan Fungsi

Pengertian Relasi

$\bullet$ Aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke B disebut relasi dari A ke B. Relasi dari A ke B dinotasikan dengan $R : A \rightarrow B$.
$\bullet$ Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:
1. diagram panah,
2. himpunan pasangan berurutan,
3. grafik Cartesius.

Pengertian Fungsi atau Pemetaan

$\bullet$ Pemetaan (fungsi) adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A (domain) dengan tepat pada satu anggota himpunan B (kodomain).
$\bullet$ Fungsi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:
1. diagram panah,
2. himpunan pasangan berurutan,
3. grafik Cartesius.
$\bullet$ Jika banyak anggota himpunan $A = n(A)$ dan banyak anggota himpunan $B = n(B)$ maka banyak pemetaan dari himpunan $A\ ke\ B = n(B)^{n(A)}$. Banyaknya pemetaan dari himpunan $B\ ke\ A = n(A)^{n(B)}$.

Pengertian Korespondensi Satu - Satu

$\bullet$ Korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakan setiap anggota A (domain) tepat satu pada anggota B (kodomain) dan sebaliknya.
$\bullet$ Korespondensi satu-satu dari A ke B harus memenuhi syarat n(A) = n(B).
$\bullet$ Banyak korespondensi satu-satu dari A ke B atau sebaliknya $= n(A)\ !$
Untuk lebih memahami materi relasi dan fungsi, silahkan simak dan pelajari soal dan pembahasan relasi dan fungsi yang berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan Relasi dan Fungsi

1. Diketahui himpunan A = {Jakarta, Bangkok, Tokyo, Manila} dan himpunan B = {Indonesia, Jepang, Thailand, Filipina, Malaysia}. Relasi dari A ke B dapat dinyatakan dengan . . . .
A. ibu kota dari
B. negara dari
C. asal dari
D. kampung dari

Relasi yang paling tepat adalah "ibu kota dari".
jawab: A.

2. Perhatikan diagram panah di bawah !

Relasi dari A ke B adalah . . . .
A. faktor dari
B. akar dari
C. kuadrat dari
D. lebih dari

Relasi yang paling tepat dari A ke B adalah akar dari.
jawab: B.

3. Diketahui P = {2, 4, 6} dan Q = {2, 3, 4}. Himpunan pasangan berurutan dari P ke Q yang menyatakan "kelipatan dari" adalah . . . .
A. {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 3)}
B. {(2, 2), (2, 3), (4, 2), (6, 2), (6, 3)}
C. {(2, 3), (4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3)}
D. {(2, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3)}

Himpunan pasangan berurutan dari P ke Q yang menyatakan "kelipatan dari" adalah: {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 3)}.
jawab: A.

4. Diketahui K = {2, 3, 4, 5} dan L = {3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}. Jika ditentukan himpunan pasangan berurutan {(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, maka relasi dari himpunan K ke himpunan L adalah . . . .
A. dua kali dari
B. akar dari
C. setengah dari
D. kuadrat dari

Relasi yang paling tepat adalah setengah dari.
jawab: C.

5. Himpunan pasangan berurutan dari grafik Cartesius di bawah adalah . . . .

A. {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (4, 3), (5, 2)}
B. {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4), (5, 2)}
C. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
D. {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 2), (5, 1)}

Himpunan pasangan berurutan dari grafik Cartesius di atas adalah: {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4), (5, 2)}.
jawab: B.

6. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4} maka A x B adalah . . . .
A. {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}
B. {(1, 2), (1, 4), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}
C. {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)}
D. {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 4)}

A x B = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}
jawab: A.

7. Jika n(A) = 6 dan n(A x B) = 18, maka n(B) = . . . .
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

n(A x B) = n(A) x n(B)
18 = 6 x n(B)
n(B) = 3.
jawab: A.

8. Jika P = {x | 10 < x < 20, x ∈ bilangan prima} dan n(P x Q) = 20, maka n(Q) sama dengan . . . .
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

P = {11, 13, 17, 19} → n(P) = 4
n(P x Q) = n(P) x n(Q)
20 = 4 x n(Q)
n(Q) = 5.
jawab: C.

9. Gambar dibawah menunjukkan pemetaan f : A → B. Domain dan range f masing-masing adalah . . . .

A. {1, 2, 3} dan {a, b, c, d}
B. {a, b, c, d} dan {1, 2, 3}
C. {1, 2, 3} dan {b, c}
D. {b, c} dan {1, 2, 3}

Domain adalah daerah asal. Dalam hal ini daerah asal adalah himpunan A = {1, 2, 3}. Range adalah daerah hasil yaitu {b, c}. Sedangkan daerah kawan (kodomain) adalah himpunan B = {a, b, c, d}.
jawab: C.

10. Fungsi $f : A \rightarrow B$ dinyatakan dengan diagram panah di bawah.

(i). domain $f = \{a, b, c, d \}$
(ii). kodomain $f = \{1, 3, 5, 7, 9\}$
(iii). range $f = \{3, 5, 7\}$
(iv). Himpunan pasangan berurutan $f = \{(a, 7), (b, 3), (c, 5), (d, 7)\}$
Pernyataan yang benar adalah . . . .
A. (i) dan (ii)
B. (i) dan (iii)
C. (i), (ii), dan (iii)
D. (i), (ii), (iii), dan (iv).

Domain atau daerah asal adalah {a, b, c, d}. Kodomain atau daerah kawan adalah {1, 3, 5, 7, 9}. Range atau daerah hasil adalah {3, 5, 7}. Himpunan pasangan berurutan adalah {(a, 7), (b, 3), (c, 5), (d, 7)}. Semua pernyataan benar.
jawab: D.

11. Diketahui daerah asal fungsi $f : x \rightarrow 3x - 1$ adalah $\{x\ |\ x < 5, x \in bilangan\ asli\}$. Daerah hasil fungsi $f$ adalah . . . .
$A.\ \{1, 2, 3, 4\}$
$B.\ \{2, 5, 8, 11 \}$
$C.\ \{1, 3, 5, 7 \}$
$D.\ \{0, 3, 6, 9 \}$

Domain atau daerah asal adalah $x = {1, 2, 3, 4}$
$f : x \rightarrow 3x - 1$
$y = 3x - 1$
$x = 1 → y = 3.1 - 1 = 2$
$x = 2 → y = 3.2 - 1 = 5$
$x = 3 → y = 3.3 - 1 = 8$
$x = 4 → y = 3.4 - 1 = 11$
Range adalah $\{2, 5, 8, 11\}$
jawab: B.

12. Fungsi f didefinisikan sebagai berikut:
$f : x \rightarrow x + 2,\ x ∈$ bilangan ganjil.
$f : x \rightarrow x^2 - 1,\ x ∈$ bilangan genap.
Diberikan pernyataan sebagai berikut:
(i). bayangan x = 3 adalah 5
(ii). bayangan x = 4 adalah 15
(iii). nilai dari f(1) = 3
(iv). nilai dari f(0) = 0
Pernyataan yang benar adalah . . . .
A. (i), (ii), dan (iii)
B. (ii), (iii), dan (iv)
C. (i), (iii), dan (iv)
D. semua benar

Jika $x\ ganjil \rightarrow y = f(x) = x + 2$
$f(1) = 1 + 2 = 3$
$f(3) = 3 + 2 = 5$
Dengan demikian $f(1) = 3$ dan bayangan dari $x = 3\ dalah\ 5$.
Jika $x\ genap \rightarrow y = f(x) = x^2 - 1$
$f(0) = 0^2 - 1 = -1$
$f(4) = 4^2 - 1 = 15$
Dengan demikian $f(0) = -1$ dan bayangan dari $x = 4\ adalah\ 15$.
Pernyataan yang benar adalah (i), (ii), dan (iii).
jawab: A.

13. Diketahui fungsi $f : x \rightarrow ax - 5$. Jika $f(-2) = 3$ maka nilai dari $a$ adalah . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -4$
$C.\ -3$
$D.\ -2$

$f : x \rightarrow ax - 5$
$y = f(x) = ax - 5$
$f(-2) = a(-2) - 5 = 3$
$-2a - 5 = 3$
$-2a = 8$
$a = \dfrac{8}{-2}$
$a = -4$
jawab: B.

14. Pada pemetaan $f : x \rightarrow x^2 + 2x - 2$, bayangan dari 2 adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 4$
$C.\ 6$
$D.\ 8$

$f : x \rightarrow x^2 + 2x - 2$
$y = f(x) = x^2 + 2x - 2$
Bayangan dari 2 adalah $f(2) = 2^2 + 2.2 - 2 = 6$
jawab: C.

15. Diketahui fungsi $f : x \rightarrow 2x(x - 3)$. Nilai dari $f(5)$ adalah . . . .
$A.\ 10$
$B.\ 15$
$C.\ 20$
$D.\ 25$

$f : x \rightarrow 2x(x - 3)$
$y = f(x) = 2x(x - 3)$
$f(5) = 2.5(5 - 3)$
$f(5) = 10.2$
$f(5) = 20$
jawab: C.

16. Diketahui fungsi $f(x) = 2x - 3$. Jika peta dari $p$ adalah 5, maka nilai dari $p$ adalah . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 4$
$C.\ 5$
$D.\ 6$

$f(x) = 2x - 3$
Peta dari $p$ adalah 5, berarti:
$f(p) = 2p - 3 = 5$
$2p = 5 + 3$
$2p = 8$
$p = \dfrac 82$
$p = 4$
jawab: B.

17. Sebuah fungsi $f(x) = mx - 3$ memetakan 2 ke 1. Peta dari 4 adalah . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 4$
$C.\ 5$
$D.\ 6$

$f(x) = mx - 3$
Memetakan 2 ke 1 artinya adalah $f(2) = 1$
$f(2) = m.2 - 3 = 1$
$2m = 1 + 3$
$2m = 4$
$m = \dfrac42$
$m = 2$
dengan demikian:
$f(x) = 2x - 3$
Peta dari 4 adalah f(4).
$f(4) = 2.4 - 3$
$f(4) = 8 - 3 = 5$
jawab: C.

18. Pada pemetaan $f : x - 2 \rightarrow 3x + 2$, nilai dari $f(-2)$ adalah . . . .
$A.\ 0$
$B.\ 1$
$C.\ 2$
$D.\ 3$

$f : x - 2 \rightarrow 3x + 2$, artinya:
$f(x - 2) = 3x + 2$
misalkan: $x - 2 = a → x = a + 2$
dengan demikian $f(a) = 3(a + 2) + 2$
$f(a) = 3a + 6 + 2$
$f(a) = 3a + 8$
misalkan a = x, dengan demikian:
$f(x) = 3x + 8$
$f(-2) = 3.(-2) + 8$
$f(-2) = -6 + 8$
$f(-2) = 2$
jawab: C.

19. Pada pemetaan $f : x → ax + b,$ jika $f(2) = 3\ dan\ f(3) = 5,$ maka nilai dari $f(1)\ dan\ a - b =$ . . . .
$A.\ 1\ dan\ 2$
$B.\ 1\ dan\ 3$
$C.\ -1\ dan\ 2$
$D.\ -1\ dan\ 3$

$y = f(x) = ax + b$
$f(2) = 2a + b = 3$ . . . . *
$f(3) = 3a + b = 5$ . . . . **
eliminasi persamaan * dan persamaan **
$2a + b = 3$
$3a + b = 5$
------------------ ---
$-a = -2$
$a = 2$
Masukkan nilai $a = 2$ ke dalam persamaan *
$2.2 + b = 3$
$4 + b = 3$
$b = 3 - 4$
$b = -1$
dengan demikian $f(x) = 2x - 1$
$f(1) = 2.1 - 1 = 1$
$a - b = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$
jawab: B.

20. Fungsi $f : x → 3x + 5$ Jika $f(a) = -1$ maka $a =$ . . . .
$A.\ 0$
$B.\ -1$
$C.\ -2$
$D.\ -3$

$f : x → 3x + 5$
$f(x) = 3x + 5$
$f(a) = 3a + 5 = -1$
$3a = -1 - 5$
$3a = -6$
$a = -\dfrac63$
$a = -2$
jawab: C.

21. Fungsi $h$ dirumuskan dengan $h(x) = mx + n$. Jika $h(2) = 1\ dan\ h(4) = 5$, maka nilai dari $h(3)$ adalah . . . .
$A.\ 3$
$B.\ -3$
$C.\ \dfrac13$
$D.\ -\dfrac13$

$h(x) = mx + n$
$h(2) = 2.m + n = 1$
$2m + n = 1$ . . . . *
$h(4) = m.4 + n = 5$
4m + n = 5 . . . . **
eliminasi persamaan * dan **
$2m + n = 1$
$4m + n = 5$
------------- ---
$-2m = -4$
$m = 2$
masukkan $m = 2$ ke dalam persamaan *
$2.2 + n = 1$
$4 + n = 1$
$n = 1 - 4$
$n = -3$
dengan dmikian $h(x) = 2x + (-3)$
$h(x) = 2x - 3$
$h(3) = 2.3 - 3 = 3$
jawab: A.

22. fungsi $f$ dirumuskan dengan $f(2x - 3) = 4x - 5$. Nilai dari $f(1)$ adalah . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 4$
$C.\ 3$
$D.\ 2$

$f(2x - 3) = 4x - 5$
misalkan $2x - 3 = a$
$2x = a + 3$
$x = \dfrac{a + 3}{2}$
dengan demikian:
$f(a) = 4.\dfrac{(a + 3)}{2} - 5$
$f(a) = 2(a + 3) - 5$
$f(a) = 2a + 6 - 5$
$f(a) = 2a + 1$
$ganti\ a\ dengan\ x$
$f(x) = 2x + 1$
$f(1) = 2.1 + 1 = 3$
jawab: C.

23. Diketahui fungsi $f(x) = x^2 - 3x + a$ dan $g(x) = 2x + b$ mempunyai peta yang sama untuk $x = 1$. Dengan demikian, nilai dari $a - b =$ . . . .
$A.\ 0$
$B.\ 1$
$C.\ 4$
$D.\ 5$

$f(x) = x^2 - 3x + a$
$f(1) = 1^2 - 3.1 + a$
$f(1) = 1 - 3 + a$
$f(1) = -2 + a$

$g(x) = 2x + b$
$g(1) = 2.1 + b$
$g(1) = 2 + b$

$f(1) = g(1)$
$-2 + a = 2 + b$
$a - b = 2 + 2$
$a - b = 4$
jawab: C.

24. Diagram berikut yang merupakan pemetaan adalah . . . .

Opsi atau pilihan A bukanlah fungsi, karena ada anggota domain yang tidak berpasangan. Syarat suatu relasi merupakan fungsi jika seluruh anggota domain memiliki pasangan tetapi tidak boleh memiliki pasangan lebih dari satu.
Opsi atau pilihan B merupakan fungsi, karena seluruh anggota domain memiliki pasangan dan masing-masing hanya berpasangan sekali.
Opsi C bukan fungsi karena ada anggota domain yang berpasangan lebih dari satu kali.
Opsi D bukan fungsi karena ada anggota domain yang tidak berpasangan.
jawab: B.

25. Relasi-relasi di bawah ini yang merupakan pemetaan adalah . . . .
$A.\ \{(1, 3),(2, 4),(2, 5),(3, 6)\}$
$B.\ \{(-1, 2),(0, 4),(-1, 3),(1, 5)\}$
$C.\ \{(1, 2),(2, 3),(3, 4),(4, 5)\}$
$D.\ \{(-1, 2),(-1, 3),(2, 4),(3, 5)\}$

Opsi A.
$Domain = \{1, 2, 3\}$
$Kodomain = \{3, 4, 5, 6\}$
Ada anggota domain yang berpasangan dua kali yaitu $(2, 4)\ dan\ (2, 5)$. Dengan demikian opsi A bukanlah fungsi.
Opsi B.
$Domain = \{0, -1, 1\}$
$Kodomain = \{2, 3, 4, 5 \}$
Ada anggota domain yang berpasangan dua kali yaitu $(-1, 2)\ dan\ (-1, 3)$ Dengan demikian opsi B bukanlah fungsi.
Opsi C.
$Domain = \{1, 2, 3, 4\}$
$Kodomain = \{2, 3, 4, 5\}$
Semua anggota domain berpasangan dan hanya berpasangan satu kali. Dengan demikian opsi C adalah fungsi.
Opsi D bukan fungsi, coba pikirkan alasannya.
jawab: C.

26. Perhatikan gfrafik di bawah !

Dari grafik di atas yang merupakan fungsi atau pemetaan adalah . . . .
$A.\ (i),\ (ii),\ dan (iii)$
$B.\ (i)\ dan\ (iii)$
$C.\ (ii)\ dan\ (iv)$
$D.\ (iv)$

Untuk mengetahui sebuah grafik merupakan fungsi atau tidak, tarik garis sembarang sejajar sumbu y dan memotong grafik. Jika garis memotong grafik lebih dari sekali, maka grafik tersebut bukanlah fungsi. Perhatikan gambar di bawah !

Garis warna merah sejajar sumbu y dan memotong grafik. Lihat gambar (iv), garis memotong grafik dua kali di titik A dan titik B. Berarti grafik (iv) bukanlah fungsi. Grafik yang merupakan fungsi adalah (i), (ii), dan (iii).
jawab: A.

27. Diagram Cartesius di bawah merupakan pemetaan dengan notasi . . . .

$A.\ x - 1$
$B.\ \dfrac12x - 1$
$C.\ 2x - 1$
$D.\ 2x + 1$

$x = 0, y = -1 → -1 = \dfrac12.0 - 1$
$x = 2, y = 0 → 0 = \dfrac12.2 - 1$
$x = 4, y = 1 → 1 = \dfrac12.4 - 1$
$x = 6, y = 2 → 2 = \dfrac12.6 - 1$
$y = \dfrac12x - 1$
jawab: B.

28. Diketahui A = {bilangan prima kurang dari 10} dan B = {y | 0 < y < 15, y kelipatan 4}. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah . . . .
$A.\ 27$
$B.\ 64$
$C.\ 81$
$D.\ 256$

$A = \{2, 3, 5, 7\} → n(A) = 4$
$B = \{4, 8, 12\} → n(B) = 3$
Banyak pemetaan dari $A\ ke\ B = n(B)^{n(A)}$ $= 3^4 = 81$
jawab: C.

29. Himpunan pasangan berurutan yang merupakan korespondensi satu-satu adalah . . . .
$A.\ \{(1, a),(2, a),(3, b) \}$
$B.\ \{(1, a),(2, b),(2, c) \}$
$C.\ \{(1, a),(2, b),(3, b) \}$
$D.\ \{(1, a),(2, b),(3, c) \}$

Korespondensi satu-satu adalah relasi dimana domain dan kodomain masing-masing memiliki pasangan dan hanya berpasangan satu kali. Hal ini bisa terjadi jika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain.
Opsi A:
domain = {1, 2, 3}
kodomain = {a, b}
Dari jumlah anggotanya yang tidak sama kelihatan bahwa opsi A bukan korespondensi satu-satu.
Opsi B:
domain = {1, 2}
kodomain = {a, b, c}
Opsi B bukan korespondensi satu-satu.
Opsi C:
domain = {1, 2, 3}
kodomain = {a, b}
Opsi C bukan korespondensi satu-satu.
OPsi D:
domain = {1, 2, 3}
kodomain = {a, b, c}
Jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain dan masing-masing berpasangan sebanyak satu kali. Dengan demikian opsi D adalah korespondensi satu-satu.
jawab: D.

30. Diketahui n(A) = 4 dan n(B) = 4. Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari A ke B adalah . . . .
$A.\ 16$
$B.\ 24$
$C.\ 36$
$D.\ 64$

Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B $= n(A)\ !$
$4\ ! = 4.3.2.1 = 24$
jawab: B.

note:
$n\ ! = n.(n - 1)(n - 2)(n - 3). . . (1)$
Contoh:
$5\ ! = 5.4.3.2.1 = 120$.

Demikianlah soal dan pembahasan relasi dan fungsi. Selamat belajar !

SHARE THIS POST

www.maretong.com

Share :