Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ax^{2} + bx + c = 0$ berdasarkan diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut.$D = b^{2} - 4ac $
1. Jika $D ≥ 0$, maka kedua akarnya real atau nyata.
2. Jika $D > 0$, maka kedua akarnya real dan berbeda $(x_1 ≠ x_2)$
3. Jika $D = 0$, maka kedua akarnya adalah sama atau kembar $(x_1 = x_2)$
4. Jika $D < 0$, maka kedua akarnya tidak real atau tidak nyata atau
khayal atau imajiner.
Note:
$(i).\ D = k^{2}$, maka kedua akarnya rasional
$(ii).\ D ≠ k^{2}$, maka kedua akarnya irrasional
$k\ ∈\ bilangan\ bulat.$
Contoh soal 1.
Tentukanlah jenis akar persamaan kuadrat $x^{2} + 4x + 3 = 0$
$a = 1,\ b= 4,\ c = 3$
$D = b^{2} - 4ac$
$= 4^{2} - 4.1.3$
$= 4 = 2^{2} > 0 $
Karena D > 0 dan berbentuk $k^{2}$, maka akar-akarnya adalah
real, berbeda, dan rasional.
$D = b^{2} - 4ac$
$= 4^{2} - 4.1.3$
$= 4 = 2^{2} > 0 $
Karena D > 0 dan berbentuk $k^{2}$, maka akar-akarnya adalah
real, berbeda, dan rasional.
Contoh soal 2.
Tentukanlah jenis akar persamaan kuadrat
$2x^{2} - 2x + 4 = 0$
$a = 2,\ b = -2,\ c = 4.$
$D = b^{2} - 4ac$
$= (-2)^{2} - 4.2.4$
$= -28 < 0$
Karena D < 0, maka akarnya adalah tidak real.
$D = b^{2} - 4ac$
$= (-2)^{2} - 4.2.4$
$= -28 < 0$
Karena D < 0, maka akarnya adalah tidak real.
Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jika persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, maka:$1.\ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
$2.\ x_1.x_2 = \dfrac{c}{a}$
$3.\ x_1 - x_2 = \dfrac{\sqrt{D}}{a}$
Bentuk Homogen
$1.\ x_1^{2} + x_2^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 2x_1x_2$
$2.\ x_1^{3} + x_2^3 = (x_1 + x_2)^{3} - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$
$3.\ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
$4.\ x_1^{2} - x_2^{2} = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$
$5.\ (x_1 - x_2)^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2$
$6.\ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2}}$
Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat
$1.$ Jika $ x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} + 4x - 1 = 0$, maka $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} =$ . . . .
$A.\ 1$
$B.\ \dfrac{1}{3}$
$C.\ \dfrac{4}{3}$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 1$
$B.\ \dfrac{1}{3}$
$C.\ \dfrac{4}{3}$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$3x^{2} + 4x - 1 = 0$,
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{3}$ .... *
$x_1.x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{3}$ .... **
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}= \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{-\dfrac43}{-\dfrac13} = 4$ → E.
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{3}$ .... *
$x_1.x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{3}$ .... **
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}= \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{-\dfrac43}{-\dfrac13} = 4$ → E.
$2.$ Akar-akar persamaan $(p - 2)x^{2} + 4x + (p + 2) = 0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha\beta^{2} + \beta\alpha^{2} = -20$, maka $p = $. . . .
$A.\ -3\ atau\ -\dfrac{6}{5}$
$B.\ 3\ atau\ -\dfrac{6}{5}$
$C.\ -3\ atau\ \dfrac{5}{6}$
$D.\ 3\ atau\ \dfrac{5}{6}$
$E.\ 3\ atau\ \dfrac{6}{5}$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -3\ atau\ -\dfrac{6}{5}$
$B.\ 3\ atau\ -\dfrac{6}{5}$
$C.\ -3\ atau\ \dfrac{5}{6}$
$D.\ 3\ atau\ \dfrac{5}{6}$
$E.\ 3\ atau\ \dfrac{6}{5}$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$(p - 2)x^{2} + 4x + (p + 2) = 0$
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{-4}{p - 2}$
$\alpha.\beta = \dfrac{p + 2}{p - 2}$
$\alpha\beta^{2} + \beta\alpha^{2} = -20$
$\alpha\beta(\alpha + \beta) = -20$
$\dfrac{(p + 2)}{(p - 2)}.\dfrac{-4}{(p - 2)} = -20$
$\dfrac{p + 2}{(p - 2)^{2}} = 5$
$p + 2 = 5.(p^{2} - 4p + 4)$
$5p^{2} - 21p + 18 = 0$
$\dfrac{(5p -15)(5p - 6)}{5} = 0$
$(p - 3)(5p - 6) = 0$
$p = 3\ atau\ p = \dfrac{6}{5}$ → E.
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{-4}{p - 2}$
$\alpha.\beta = \dfrac{p + 2}{p - 2}$
$\alpha\beta^{2} + \beta\alpha^{2} = -20$
$\alpha\beta(\alpha + \beta) = -20$
$\dfrac{(p + 2)}{(p - 2)}.\dfrac{-4}{(p - 2)} = -20$
$\dfrac{p + 2}{(p - 2)^{2}} = 5$
$p + 2 = 5.(p^{2} - 4p + 4)$
$5p^{2} - 21p + 18 = 0$
$\dfrac{(5p -15)(5p - 6)}{5} = 0$
$(p - 3)(5p - 6) = 0$
$p = 3\ atau\ p = \dfrac{6}{5}$ → E.
$3.$ Jika persamaan kuadrat $(p + 1)x^{2} -2(p + 3)x + 3p = 0$ mempunyai dua akar yang sama, maka konstanta $p =$ . . . .
$A.\ -3\ atau\ \dfrac{3}{2}$
$B.\ -\dfrac{3}{2}\ atau\ 3$
$C.\ 1\ atau\ 3$
$D.\ 2\ atau\ -3$
$E.\ 3\ atau\ -9$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -3\ atau\ \dfrac{3}{2}$
$B.\ -\dfrac{3}{2}\ atau\ 3$
$C.\ 1\ atau\ 3$
$D.\ 2\ atau\ -3$
$E.\ 3\ atau\ -9$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$(p + 1)x^{2} -2(p + 3)x + 3p = 0$
$Akar\ sama\ (kembar) → D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(-2(p + 3))^{2} - 4(p + 1).3p = 0$
$4(p^{2} + 6p + 9) - 12p^{2} - 12p = 0$
$-8p^{2} + 12p + 36 = 0$
$2p^{2} - 3p - 9 = 0$
$\dfrac{(2p - 6)(2p + 3)}{2} = 0$
$(p - 3)(2p + 3) = 0$
$p = 3\ atau\ p = -\dfrac{3}{2}$ → B.
$Akar\ sama\ (kembar) → D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(-2(p + 3))^{2} - 4(p + 1).3p = 0$
$4(p^{2} + 6p + 9) - 12p^{2} - 12p = 0$
$-8p^{2} + 12p + 36 = 0$
$2p^{2} - 3p - 9 = 0$
$\dfrac{(2p - 6)(2p + 3)}{2} = 0$
$(p - 3)(2p + 3) = 0$
$p = 3\ atau\ p = -\dfrac{3}{2}$ → B.
$4.$ Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar dari persamaan $x^{2} + kx + k = 0$, dan $x_1^{2} + x_2^{2} = 15$, maka $k$ sama dengan . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -5$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} + kx + k = 0$
$x_1 + x_2 = -k\ dan\ x_1.x_2 = k$
$x_1^{2} + x_2^{2} = 15$
Ingat !
$x_1^{2} + x_2^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 2x_1x_2$
$(x_1 + x_2)^{2} - 2x_1x_2 = 15$
$(-k)^{2} - 2k - 15 = 0$
$k^{2} - 2k - 15 = 0$
$(k + 3)(k - 5) = 0$
$k = -3\ atau\ k = 5$ → E.
$x_1 + x_2 = -k\ dan\ x_1.x_2 = k$
$x_1^{2} + x_2^{2} = 15$
Ingat !
$x_1^{2} + x_2^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 2x_1x_2$
$(x_1 + x_2)^{2} - 2x_1x_2 = 15$
$(-k)^{2} - 2k - 15 = 0$
$k^{2} - 2k - 15 = 0$
$(k + 3)(k - 5) = 0$
$k = -3\ atau\ k = 5$ → E.
$5.\ \alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + 4x + a - 4 = 0$. Jika $\alpha = 3\beta$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 3$
$C.\ 4$
$D.\ 7$
$E.\ 6$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 1$
$B.\ 3$
$C.\ 4$
$D.\ 7$
$E.\ 6$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} + 4x + a - 4 = 0$ → $\alpha = 3\beta$ .... *
$\alpha + \beta = -4$
$3\beta + \beta = -4$
$4\beta = -4$
$\beta = -1$ .... **
$\alpha = 3\beta = 3.(-1) = -3$ .... ***
$\alpha.\beta = a - 4$
$(-3).(-1) = a - 4$
$a = 7$ → D.
$\alpha + \beta = -4$
$3\beta + \beta = -4$
$4\beta = -4$
$\beta = -1$ .... **
$\alpha = 3\beta = 3.(-1) = -3$ .... ***
$\alpha.\beta = a - 4$
$(-3).(-1) = a - 4$
$a = 7$ → D.
$6.$ Akar-akar persamaan $2x^{2} - 13x - 7 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_2 > x_1$ maka nilai maka nilai $2x_1 + 3x_2 =$ . . . .
$A.\ -12,5$
$B.\ -7,5$
$C.\ 12,5$
$D.\ 20$
$E.\ 22$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -12,5$
$B.\ -7,5$
$C.\ 12,5$
$D.\ 20$
$E.\ 22$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$2x^{2} - 13x - 7 = 0$
$\dfrac{(2x + 1)(2x - 14)}{2} = 0$
$(x - 7)(2x + 1) = 0$
$x_2 > x_1$
$x_1 = -\dfrac{1}{2}\ dan\ x_2 = 7$
$2x_1 + 3x_2 = 2.\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 3.7 = 20$ → D.
$\dfrac{(2x + 1)(2x - 14)}{2} = 0$
$(x - 7)(2x + 1) = 0$
$x_2 > x_1$
$x_1 = -\dfrac{1}{2}\ dan\ x_2 = 7$
$2x_1 + 3x_2 = 2.\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 3.7 = 20$ → D.
$7.$ Akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2} + mx + 16 = 0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. jika $\alpha = 2\beta$ dan $\alpha$, $\beta$ positif, maka nilai $m$ adalah . . . .
$A.\ -12$
$B.\ -6$
$C.\ 6$
$D.\ 8$
$E.\ 12$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -12$
$B.\ -6$
$C.\ 6$
$D.\ 8$
$E.\ 12$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$2x^{2} + mx + 16 = 0 → \alpha = 2\beta$ .... *
$\alpha.\beta = 8$
$2\beta^{2} = 8$
$\beta^{2} = 4$
$\beta^{2} - 4 = 0$
$(\beta + 2)(\beta - 2) = 0$
$\beta = 2 → \beta$ positif .... *
$\alpha = 2\beta = 2.2 = 4$ .... **
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$
$4 + 2 = -\dfrac{m}{2}$
$6 = -\dfrac{m}{2}$
$m = -12$. → A.
$\alpha.\beta = 8$
$2\beta^{2} = 8$
$\beta^{2} = 4$
$\beta^{2} - 4 = 0$
$(\beta + 2)(\beta - 2) = 0$
$\beta = 2 → \beta$ positif .... *
$\alpha = 2\beta = 2.2 = 4$ .... **
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$
$4 + 2 = -\dfrac{m}{2}$
$6 = -\dfrac{m}{2}$
$m = -12$. → A.
$8.$ Akar-akar persamaan $3x^{2} + x - 2 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $9(x_1 + x_2)^{2} - 6x_1x_2 =$ . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -4$
$C.\ -1$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -5$
$B.\ -4$
$C.\ -1$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$3x^{2} + x - 2 = 0$
$x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{3}$
$x_1.x_2 = -\dfrac{2}{3}$
$9(x_1 + x_2)^{2} - 6x_1x_2 = 9.\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2} - 6.\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
$= 9.\dfrac{1}{9} + 4$
$= 5$ → E.
$x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{3}$
$x_1.x_2 = -\dfrac{2}{3}$
$9(x_1 + x_2)^{2} - 6x_1x_2 = 9.\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2} - 6.\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
$= 9.\dfrac{1}{9} + 4$
$= 5$ → E.
$9.$ Akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - 12x + 2 = 0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ($\alpha + 2$) dan ($\beta + 2$) adalah . . . .
$A.\ 3x^{2} - 24x + 38 = 0$
$B.\ 3x^{2} + 24x + 38 = 0$
$C.\ 3x^{2} - 24x - 38 = 0$
$D.\ 3x^{2} - 24x + 24 = 0$
$E.\ 3x^{2} - 24x - 24 = 0$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 3x^{2} - 24x + 38 = 0$
$B.\ 3x^{2} + 24x + 38 = 0$
$C.\ 3x^{2} - 24x - 38 = 0$
$D.\ 3x^{2} - 24x + 24 = 0$
$E.\ 3x^{2} - 24x - 24 = 0$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$3x^{2} - 12x + 2 = 0$
$\alpha + \beta = 4\ dan\ \alpha.\beta = \dfrac{2}{3}$
Persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya adalah
$x_1\ dan\ x_2$, dimana:
$x_1 = \alpha + 2\ dan\ x_2 = \beta + 2$
$x_1 + x_2 = \alpha + 2 + \beta + 2$
$= \alpha + \beta + 4$
$= 4 + 4$
$= 8$
$x_1.x_2 = (\alpha + 2)(\beta + 2)$
$= \alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 4$
$= \dfrac{2}{3} + 2.4 + 4$
$= 12\dfrac{2}{3}$
$= \dfrac{38}{3}$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ adalah:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1.x_2 = 0$
$x^{2} - (8)x + \dfrac{38}{3} = 0$
$3x^{2} - 24x + 38 = 0$ → A.
$\alpha + \beta = 4\ dan\ \alpha.\beta = \dfrac{2}{3}$
Persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya adalah
$x_1\ dan\ x_2$, dimana:
$x_1 = \alpha + 2\ dan\ x_2 = \beta + 2$
$x_1 + x_2 = \alpha + 2 + \beta + 2$
$= \alpha + \beta + 4$
$= 4 + 4$
$= 8$
$x_1.x_2 = (\alpha + 2)(\beta + 2)$
$= \alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 4$
$= \dfrac{2}{3} + 2.4 + 4$
$= 12\dfrac{2}{3}$
$= \dfrac{38}{3}$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ adalah:
$x^{2} - (x_1 + x_2)x + x_1.x_2 = 0$
$x^{2} - (8)x + \dfrac{38}{3} = 0$
$3x^{2} - 24x + 38 = 0$ → A.
$10.$ Jika $p\ dan\ q$ adalah akar-akar persamaan $x^{2} - 5x - 1 = 0$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah . . . .
$A.\ x^{2} + 10x + 11 = 0$
$B.\ x^{2} - 10x + 7 = 0$
$C.\ x^{2} - 12x - 7 = 0$
$D.\ x^{2} - 12x + 7 = 0$
$E.\ x^{2} - 10x + 11 = 0$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ x^{2} + 10x + 11 = 0$
$B.\ x^{2} - 10x + 7 = 0$
$C.\ x^{2} - 12x - 7 = 0$
$D.\ x^{2} - 12x + 7 = 0$
$E.\ x^{2} - 10x + 11 = 0$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} - 5x - 1 = 0$
$p + q = 5\ dan\ pq = -1$
Persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya adalah
$\alpha$ dan $\beta$, dimana:
$\alpha = 2p + 1\ dan\ \beta = 2q + 1$
$\alpha + \beta = 2p + 1 + 2q + 1$
$= 2(p + q) + 2$
$= 2.5 + 2$
$= 12$
$\alpha.\beta = (2p + 1)(2q + 1)$
$= 4pq + 2(p + q) + 1$
$= 4.(-1) + 2.5 + 1$
$= 7$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$ adalah:
$x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha.\beta = 0$
$x^{2} - 12x + 7 = 0$ → D.
$p + q = 5\ dan\ pq = -1$
Persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya adalah
$\alpha$ dan $\beta$, dimana:
$\alpha = 2p + 1\ dan\ \beta = 2q + 1$
$\alpha + \beta = 2p + 1 + 2q + 1$
$= 2(p + q) + 2$
$= 2.5 + 2$
$= 12$
$\alpha.\beta = (2p + 1)(2q + 1)$
$= 4pq + 2(p + q) + 1$
$= 4.(-1) + 2.5 + 1$
$= 7$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$ adalah:
$x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha.\beta = 0$
$x^{2} - 12x + 7 = 0$ → D.
$11.$ Akar-akar persamaan $x^{2} + (2a - 3)x + 18 = 0$ adalah $p\ dan\ q$. Jika $p = 2q$ untuk $p > 0\ dan\ q > 0$. Nilai $a - 1 =$ . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -4$
$C.\ 2$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -5$
$B.\ -4$
$C.\ 2$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} + (2a - 3)x + 18 = 0$ → $p = 2q$ .... *
$pq = 18$
$2q^{2} = 18$
$q^{2} = 9$
$q = ±3$
Karena p > 0 dan q > 0, maka q = 3.
$p = 2q = 2.3 = 6$
$p + q = -(2a - 3)$ ← dari persamaan kuadrat.
$6 + 3 = -2a + 3$
$2a = -6$
$a = -3$
$a - 1 = -3 - 1 = -4$ → B.
$pq = 18$
$2q^{2} = 18$
$q^{2} = 9$
$q = ±3$
Karena p > 0 dan q > 0, maka q = 3.
$p = 2q = 2.3 = 6$
$p + q = -(2a - 3)$ ← dari persamaan kuadrat.
$6 + 3 = -2a + 3$
$2a = -6$
$a = -3$
$a - 1 = -3 - 1 = -4$ → B.
$12.$ Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan $x^{2} - (2m + 4)x + 8m = 0$ adalah 52, maka salah satu nilai $m =$ . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 3$
$C.\ 4$
$D.\ 6$
$E.\ 9$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 2$
$B.\ 3$
$C.\ 4$
$D.\ 6$
$E.\ 9$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} - (2m + 4)x + 8m = 0$
$x_1^{2} + x_{2}^{2} = 52$
$(x_1 + x_2)^{2} - 2x_1x_2 = 52$
$(2m + 4)^{2} - 2.8m = 52$
$4m^{2} + 16m + 16 - 16m = 52$
$4m^{2} - 36 = 0$
$m^{2} - 9 = 0$
$(m + 3)(m - 3) = 0$
$m = -3\ atau\ m = 3$ → B.
$x_1^{2} + x_{2}^{2} = 52$
$(x_1 + x_2)^{2} - 2x_1x_2 = 52$
$(2m + 4)^{2} - 2.8m = 52$
$4m^{2} + 16m + 16 - 16m = 52$
$4m^{2} - 36 = 0$
$m^{2} - 9 = 0$
$(m + 3)(m - 3) = 0$
$m = -3\ atau\ m = 3$ → B.
$13.$ Jika selisih akar-akar persamaan $x^{2} - nx + 24 = 0$ sama dengan 5, maka jumlah akar-akar persamaannya adalah . . . .
$A.\ 11\ atau\ -11$
$B.\ 7\ atau\ -7$
$C.\ 9\ atau\ -9$
$D.\ 6\ atau\ -6$
$E.\ 8\ atau\ -8$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 11\ atau\ -11$
$B.\ 7\ atau\ -7$
$C.\ 9\ atau\ -9$
$D.\ 6\ atau\ -6$
$E.\ 8\ atau\ -8$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} - nx + 24 = 0$
$x_1 - x_2 = 5$
$\dfrac{\sqrt{D}}{a} = 5$
$\dfrac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{a} = 5$
$\dfrac{\sqrt{(-n)^{2} - 4.1.24}}{1} = 5$
$n^{2} - 96 = 25$
$n^{2} - 121 = 0$
$(n + 11)(n - 11) = 0$
$n = -11\ atau\ n = 11$ → A.
$x_1 - x_2 = 5$
$\dfrac{\sqrt{D}}{a} = 5$
$\dfrac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{a} = 5$
$\dfrac{\sqrt{(-n)^{2} - 4.1.24}}{1} = 5$
$n^{2} - 96 = 25$
$n^{2} - 121 = 0$
$(n + 11)(n - 11) = 0$
$n = -11\ atau\ n = 11$ → A.
$14.$ Jika salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2} - 3x - 2p = 0$ adalah tiga lebih besar dari salah satu akar $x^{2} - 3x + p = 0$, maka bilangan asli $p$ sama dengan . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} - 3x + p = 0$ ← misalkan akarnya adalah $m$
$m^{2} - 3m + p = 0$ .... *
$x^{2} - 3x -2p = 0$ ← akarnya menjadi $m + 3$
$(m + 3)^{2} - 3(m + 3) -2p = 0$
$m^{2} + 6m + 9 - 3m - 9 - 2p = 0$
$m^{2} + 3m - 2p = 0$ .... **
Eliminasi pers * dan pers **
$m^{2} - 3m + p = 0$
$m^{2} + 3m - 2p = 0$
-------------------------- $-$
$-6m + 3p = 0$
$3p = 6m$ → $m = \dfrac{1}{2}p$
Substitusi $m = \dfrac{1}{2}p$ ke persamaan *
$\left(\dfrac{1}{2}p\right)^{2} - 3.\left(\dfrac{1}{2}\right)p + p = 0$
$\dfrac{1}{4}p^{2} - \dfrac{1}{2}p = 0$
$p^{2} - p = 0$
$p(p - 2) = 0$
$p = 0\ atau\ p = 2$ → B.
$m^{2} - 3m + p = 0$ .... *
$x^{2} - 3x -2p = 0$ ← akarnya menjadi $m + 3$
$(m + 3)^{2} - 3(m + 3) -2p = 0$
$m^{2} + 6m + 9 - 3m - 9 - 2p = 0$
$m^{2} + 3m - 2p = 0$ .... **
Eliminasi pers * dan pers **
$m^{2} - 3m + p = 0$
$m^{2} + 3m - 2p = 0$
-------------------------- $-$
$-6m + 3p = 0$
$3p = 6m$ → $m = \dfrac{1}{2}p$
Substitusi $m = \dfrac{1}{2}p$ ke persamaan *
$\left(\dfrac{1}{2}p\right)^{2} - 3.\left(\dfrac{1}{2}\right)p + p = 0$
$\dfrac{1}{4}p^{2} - \dfrac{1}{2}p = 0$
$p^{2} - p = 0$
$p(p - 2) = 0$
$p = 0\ atau\ p = 2$ → B.
$15.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + bx + c = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya $x_1$ + $x_2$ dan $x_1.x_2$ adalah . . . .
$A.\ x^{2} + bx + b - c = 0$
$B.\ x^{2} - bx - b + c = 0$
$C.\ x^{2} + (b - c)x + bc = 0$
$D.\ x^{2} + (b - c)x - bc = 0$
$E.\ x^{2} - (b - c)x + bc = 0$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ x^{2} + bx + b - c = 0$
$B.\ x^{2} - bx - b + c = 0$
$C.\ x^{2} + (b - c)x + bc = 0$
$D.\ x^{2} + (b - c)x - bc = 0$
$E.\ x^{2} - (b - c)x + bc = 0$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} + bx + c = 0$
$\alpha = x_1 + x_2\ dan\ \beta = x_1.x_2$
$\alpha + \beta = x_1 + x_2 + x_1x_2 = -b + c$
$\alpha.\beta = (x_1 + x_2)(x_1x_2) = -b.c$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$
adalah: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha.\beta = 0$
$x^{2} - (-b + c)x + (-bc) = 0$
$x^{2} + (b - c)x - bc = 0$ → D.
$\alpha = x_1 + x_2\ dan\ \beta = x_1.x_2$
$\alpha + \beta = x_1 + x_2 + x_1x_2 = -b + c$
$\alpha.\beta = (x_1 + x_2)(x_1x_2) = -b.c$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha$ dan $\beta$
adalah: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha.\beta = 0$
$x^{2} - (-b + c)x + (-bc) = 0$
$x^{2} + (b - c)x - bc = 0$ → D.
$16.$ Diketahui $2x^{2} + 3x - n + 1 = 0$ dengan akar-akar $p\ dan\ q.$ Jika $p^{2} - q^{2} = -\dfrac{27}{4}$ maka $n =$ . . . .
$A.\ 8$
$B.\ 9$
$C.\ 10$
$D.\ 11$
$E.\ 12$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 8$
$B.\ 9$
$C.\ 10$
$D.\ 11$
$E.\ 12$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$2x^{2} + 3x - n + 1 = 0$
$p^{2} - q{2} = -\dfrac{27}{4}$
$(p + q)(p - q) = -\dfrac{27}{4}$
$-\dfrac{b}{a}.\dfrac{\sqrt{D}}{a} = -\dfrac{27}{4}$
$-\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{9 - 8(-n + 1)}}{2} = -\dfrac{27}{4}$
$-3\sqrt{1 + 8n} = -27$
$\sqrt{1 + 8n} = 9$
$1 + 8n = 81$
$8n = 80$
$n = 10$ → C.
$p^{2} - q{2} = -\dfrac{27}{4}$
$(p + q)(p - q) = -\dfrac{27}{4}$
$-\dfrac{b}{a}.\dfrac{\sqrt{D}}{a} = -\dfrac{27}{4}$
$-\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{9 - 8(-n + 1)}}{2} = -\dfrac{27}{4}$
$-3\sqrt{1 + 8n} = -27$
$\sqrt{1 + 8n} = 9$
$1 + 8n = 81$
$8n = 80$
$n = 10$ → C.
$17.$ Diketahui persamaan kuadrat $2x^{2} - (a + 1)x + (a + 3) = 0$ dengan $a$ konstanta. Jika selisih kedua akarnya sama dengan $1$, maka kuadrat akar-akarnya adalah . . . .
$A.\ 1\ atau\ 25$
$B.\ 1\ atau\ 5$
$C.\ 3\ atau\ 9$
$D.\ 9\ atau\ 81$
$E.\ 5\ atau\ 25$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 1\ atau\ 25$
$B.\ 1\ atau\ 5$
$C.\ 3\ atau\ 9$
$D.\ 9\ atau\ 81$
$E.\ 5\ atau\ 25$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$2x^{2} - (a + 1)x + (a + 3) = 0$
$x_1 - x_2 = 1$
$(x_1 - x_2)^{2} = 1$
$\dfrac{D}{a^{2}} = 1$
$\dfrac{(-(a + 1))^{2} - 4.2.(a + 3)}{2^{2}} = 1$
$a^{2} + 2a + 1 - 8a -24 = 4$
$a^{2} - 6a - 27 = 0$
$(a + 3)(a - 9) = 0$
$a = -3\ atau\ a = 9$ → D.
$x_1 - x_2 = 1$
$(x_1 - x_2)^{2} = 1$
$\dfrac{D}{a^{2}} = 1$
$\dfrac{(-(a + 1))^{2} - 4.2.(a + 3)}{2^{2}} = 1$
$a^{2} + 2a + 1 - 8a -24 = 4$
$a^{2} - 6a - 27 = 0$
$(a + 3)(a - 9) = 0$
$a = -3\ atau\ a = 9$ → D.
$18.$ Jika persamaan $18x^{2} - 3px + p = 0$ mempunyai akar kembar, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan penyelesaian $p$ adalah . . . .
$A.\ 0$
$B.\ 1$
$C.\ 2$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ 0$
$B.\ 1$
$C.\ 2$
$D.\ 3$
$E.\ 4$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$18x^{2} - 3px + p = 0$
Akar kembar → D = 0
$(-3p)^{2} - 4.18.p = 0$
$9p^{2} - 72p = 0$
$p^{2} - 8p = 0$
$p(p - 8) = 0$
$p = 0\ atau\ p = 8$
$HP = \{0,\ 8\} ← n = 2$
Banyaknya Himpunan bagian $= 2^{n} = 2^{2} = 4$ → E.
Akar kembar → D = 0
$(-3p)^{2} - 4.18.p = 0$
$9p^{2} - 72p = 0$
$p^{2} - 8p = 0$
$p(p - 8) = 0$
$p = 0\ atau\ p = 8$
$HP = \{0,\ 8\} ← n = 2$
Banyaknya Himpunan bagian $= 2^{n} = 2^{2} = 4$ → E.
$19.\ \alpha\ dan\ \beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + 3x + k - 13 = 0$. Jika $\alpha^{2} - \beta^{2} = 21$ maka nilai $k$ adalah . . . .
$A.\ -12$
$B.\ -3$
$C.\ 3$
$D.\ 12$
$E.\ 13$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -12$
$B.\ -3$
$C.\ 3$
$D.\ 12$
$E.\ 13$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} + 3x + k - 13 = 0$.
$\alpha^{2} - \beta^{2} = 21$
$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 21$
$-\dfrac{b}{a}.\dfrac{\sqrt{D}}{a} = 21$
$-3.\dfrac{\sqrt{9 - 4(k - 13)}}{1} = 21$
$-3.\sqrt{61 - 4k} = 21$
$\sqrt{61 - 4k} = -7$
$61 - 4k = 49$
$12 = 4k$
$k = 3$ → C.
$\alpha^{2} - \beta^{2} = 21$
$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 21$
$-\dfrac{b}{a}.\dfrac{\sqrt{D}}{a} = 21$
$-3.\dfrac{\sqrt{9 - 4(k - 13)}}{1} = 21$
$-3.\sqrt{61 - 4k} = 21$
$\sqrt{61 - 4k} = -7$
$61 - 4k = 49$
$12 = 4k$
$k = 3$ → C.
$20.$ Salah satu akar persamaan $x^{2} + ax - 4 = 0$ lima lebih besar dari akar yang lain. Nilai $a$ adalah . . . .
$A.\ -1\ atau\ 1$
$B.\ -2\ atau\ 2$
$C.\ -3\ atau\ 3$
$D.\ -4\ atau\ 4$
$E.\ -5\ atau\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$A.\ -1\ atau\ 1$
$B.\ -2\ atau\ 2$
$C.\ -3\ atau\ 3$
$D.\ -4\ atau\ 4$
$E.\ -5\ atau\ 5$
[Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat]
$x^{2} + ax - 4 = 0$
$x_1 = x_2 + 5$
$x_1 - x_2 = 5$
$\dfrac{\sqrt{D}}{a} = 5$
$\dfrac{\sqrt{a^{2} - 4.1.(-4)}}{1} = 5$
$a^{2} + 16 = 25$
$a^{2} - 9 = 0$
$(a + 3)(a - 3) = 0$
$a = -3\ atau\ a = 3$ → C.
$x_1 = x_2 + 5$
$x_1 - x_2 = 5$
$\dfrac{\sqrt{D}}{a} = 5$
$\dfrac{\sqrt{a^{2} - 4.1.(-4)}}{1} = 5$
$a^{2} + 16 = 25$
$a^{2} - 9 = 0$
$(a + 3)(a - 3) = 0$
$a = -3\ atau\ a = 3$ → C.
Untuk meningkatkan pemahaman dari adik-adik tentang persamaan kuadrat dan juga untuk meningkatkan kemampuan dari adik-adik mengerjakan soal-soal persamaan kuadrat, sebaiknya adik-adik coba kerjakan soal-soal berikut.
Soal Latihan Persamaan Kuadrat
$1.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 3x = 0$ adalah . . . .$A.\ 0\ dan\ 3$
$B.\ 1\ dan\ -3$
$C.\ 0\ dan\ -3$
$D.\ 1\ dan\ 3$
$E.\ -1\ dan\ -3$
$2.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + 2x = -2x$ adalah . . . .
$A.\ 1\ dan\ -4$
$B.\ 1\ dan\ 4$
$C.\ -1\ dan\ -4$
$D.\ 0\ dan\ 4$
$E.\ 0\ dan\ -4$
$3.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 5x + 4 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2\ dan\ 3$
$B.\ 1\ dan\ 4$
$C.\ -2\ dan\ 3$
$D.\ 1\ dan\ -4$
$E.\ -1\ dan\ -4$
$4.$ Persamaan Kuadrat $x^{2} - 3x = 2x - 6$ mempunyai akar-akar $x_1\ dan\ x_2$ dengan $x_1 > x_2$. Maka $3x_1 - x_2 =$ . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 6$
$C.\ 7$
$D.\ 8$
$E.\ 9$
$5.$ Persamaan kuadrat $2x^{2} + 7x + 5 = 0$ mempunyai akar-akar $\alpha\ dan\ \beta$. Jika $\alpha\ < \beta$, maka $4\alpha - 3\beta =$ . . . .
$A.\ -7$
$B.\ 7$
$C.\ 5$
$D.\ -3$
$E.\ -1$
$6.$ Jika $p\ dan\ q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} + x -4 = 0$, dengan $p > q$, maka $2p + 6q =$ . . . .
$A.\ -3$
$B.\ 5$
$C.\ -6$
$D.\ 7$
$E.\ -9$
$7.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 4$ adalah . . . .
$A.\ -1\ dan\ 1$
$B.\ -2\ dan\ 2$
$C.\ -3\ dan\ 3$
$D.\ -4\ dan\ 4$
$E.\ -5\ dan\ 5$
$8.$ Persamaan kuadrat $4x^{2} + 3 = 15$ mempunyai akar-akar a dan b dengan a < b. Maka . . . .
$A.\ a = -1\ dan\ b = 1$
$B.\ a = -\sqrt{3}\ dan\ b = \sqrt{3}$
$C.\ a = -2\ dan\ b = 2$
$D.\ a = -\sqrt{5}\ dan\ b = \sqrt{5}$
$E.\ a = -3\ dan\ b = 3$
$9.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 4x + 2 = 0$ adalah . . . .
$A.\ -\sqrt{2}\ dan\ \sqrt{2}$
$B.\ 1 - \sqrt{2}\ dan\ 1 + \sqrt{2}$
$C.\ 2 - \sqrt{2}\ dan\ 2 + \sqrt{2}$
$D.\ 3 - \sqrt{2}\ dan\ 3 + \sqrt{2}$
$E.\ 1 - \sqrt{2}\ dan\ 1 + \sqrt{2}$
$10.$ Salah satu akar persamaan kuadrat $2x^{2} + ax - 4 = 0$ adalah $2$. Maka nilai $a$ adalah . . . .
$A.\ -1$
$B.\ -2$
$C.\ 1$
$D.\ 2$
$E.\ 3$
$11.$ Supaya persamaan kuadrat $px^{2} + 2x - 5 = 0$ mempunyai salah satu penyelesaian sama dengan $1$, maka nilai $p$ adalah . . . .
$A.\ 1$
$B.\ 2$
$C.\ 3$
$D.\ 4$
$E.\ 5$
$12.$ Salah satu akar persamaan kuadrat $(3 - k)x^{2} - 2kx + 12 = 0$ adalah $1$. Maka nilai $k$ dan akar yang lain adalah . . . .
$A.\ 5\ dan\ 6$
$B.\ -5\ dan\ -6$
$C.\ 5\ dan\ -6$
$D.\ -5\ dan\ 3$
$E.\ -5\ dan\ -3$
$13.$ Jika persamaan kuadrat $x^{2} + ax + b = 0$ dan $x^{2} + px + q = 0$ mempunyai satu akar persekutuan. Maka akar persekutuan tersebut adalah . . . .
$A.\ \dfrac{q - b}{a - p}$
$B.\ ab - pq$
$C.\ \dfrac{b - q}{a - p}$
$D.\ aq + bp$
$E.\ \dfrac{ab}{pq}$
$14.$ Persamaan kuadrat $x^{2} + 3x - 2 = 0$ mempunyai dua akar yang . . . .
$A.\ real\ dan\ berbeda$
$B.\ real\ dan\ sama$
$C.\ tidak\ real$
$D.\ positif$
$E.\ negatif$
$15.$ Persamaan kuadrat $2x^{2} + 5x + 8 = 0$ mempunyai dua akar yang . . . .
$A.\ real\ dan\ berbeda$
$B.\ real\ dan\ sama$
$C.\ tidak\ real$
$D.\ positif$
$E.\ negatif$
$16.$ Persamaan kuadrat $x^{2} - 4x + m = 0$ mempunyai dua akar real yang berbeda, maka . . . .
$A.\ m < -4$
$B.\ m > -4$
$C.\ m < 4$
$D.\ m > 4$
$E.\ m = 4$
$17.$ Persamaan kuadrat $x^{2} + (n + 1)x + n - 1 = 0$ mempunyai akar kembar. Maka nilai $n =$ . . . .
$A.\ -3\ atau\ -1$
$B.\ -3\ atau\ 1$
$C.\ -1\ atau\ 3$
$D.\ 1\ atau\ 3$
$E.\ 3$
$18.$ Nilai $m$ agar persamaan kuadrat $(m + 2)x^{2} + 2mx + m - 1 = 0$ mempunyai akar yang tidak real adalah . . . .
$A.\ m > 2$
$B.\ m < 2$
$C.\ m > -2$
$D.\ m < -2$
$E.\ m = 2$
$19.$ Persamaan kuadrat $x^{2} - 2x + 6 = 0$ mempunyai akar-akar $\alpha\ dan\ \beta$. Maka $\alpha + \beta + \alpha\beta =$ . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 4$
$C.\ 6$
$D.\ 8$
$E.\ 10$
$20.$ Persamaan kuadrat $2x^{2} - 4x + 3 = 0$ mempunyai akar-akar $p\ dan\ q$. nilai dari $\dfrac{p}{q} + \dfrac{q}{p}$ = . . . .
$A.\ \dfrac{1}{3}$
$B.\ \dfrac{2}{3}$
$C.\ 1$
$D.\ \dfrac{3}{2}$
$E.\ 2$
$21.$ Persamaan kuadrat $x^{2} - 3x + 2 = 0$ mempunyai akar-akar $a\ dan\ b$. Maka nilai dari $a^{3} + b^{3} =$ . . . .
$A.\ -9$
$B.\ 9$
$C.\ -8$
$D.\ 8$
$E.\ 10$
$22.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - mx + 4 = 0$ kedua-duanya positif jika . . . .
$A.\ m > 0$
$B.\ m ≤ -4$
$C.\ m > 2$
$D.\ m ≥ 4$
$E.\ -4 < m < 4$
$23$. Persamaan kuadrat $x^{2} - 3x + 2 = 0$ akar-akarnya adalah p dan q. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2p\ dan\ 2q$ adalah . . . .
$A.\ x^{2} - 6x + 8 = 0$
$B.\ x^{2} - 8x + 6 = 0$
$C.\ x^{2} + 6x - 8 = 0$
$D.\ x^{2} + 8x - 8 = 0$
$E.\ x^{2} + 8x - 6 = 0$
$24.$ Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + 3x - 1 = 0$ adalah $a\ dan\ b$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2a - 2\ dan\ 2b - 2$ adalah . . . .
$A.\ x^{2} + 10x + 12 = 0$
$B.\ x^{2} - 10x + 12 = 0$
$C.\ x^{2} + 12x - 10 = 0$
$D.\ x^{2} + 10x - 12 = 0$
$E.\ x^{2} - 12x + 10 = 0$
$25.$ Jika $\alpha\ dan\ \beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 3x + 1 = 0$. Maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(\dfrac{1}{\alpha^{2}} + \dfrac{1}{\beta^{2}})$ dan $(\dfrac{\beta}{\alpha} + \dfrac{\alpha}{\beta})$ adalah . . . .
$A.\ x^{2} - 7x + 14 = 0$
$B.\ x^{2} - 14x + 49 = 0$
$C.\ x^{2} + 14x - 49 = 0$
$D.\ x^{2} - 14x - 49 = 0$
$E.\ x^{2} - 7x + 49 = 0$
Demikianlah soal dan pembahasan persamaan kuadrat. Selamat belajar !
www.maretong.com
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat"
Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.