Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri

Daftar isi

1 Pengertian Transformasi Geometri
2 Rumus Transformasi Geometri Translasi atau Pergeseran
3 Transformasi Geometri Refleksi atau Pencerminan
4 Transformasi Geometri Rotasi atau Perputaran
- 4.1 Rumus Rotasi Dengan Pusat O(0,0)
- 4.2 Rumus Rotasi Dengan Pusat (a, b)
5 Transformasi Geometri Dilatasi
- 5.1 Rumus Dilatasi Dengan Pusat O(0,0)
- 5.2 Rumus Dilatasi Dengan Pusat (a, b)
6 Rumus dan Contoh Soal Komposisi Transformasi
7 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri

Pengertian Transformasi Geometri

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri SMA kelas 11. Transformasi Geometri adalah perubahan letak, ukuran dan bentuk dari suatu bangun. Transformasi Geometri bisa terjadi karena pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rotasi), dan perkalian (dilatasi). Transformasi geometri merupakan suatu pemetaan dari suatu titik pada bidang ke titik lain pada bidang yang sama. Titik yang merupakan peta dari titik asal disebut bayangan. Jika bayangan dari suatu bangun yang mengalami transformasi kongruen dengan bangun yang ditransformasikan, maka transformasinya disebut sebagai transformasi isometri.

Rumus Transformasi Geometri Translasi atau Pergeseran

A. Translasi Titik
Suatu translasi atau pergeseran bisa terjadi pada arah sumbu $x$ atau sumbu $y$, maupun ke kedua arah sekaligus. Translasi sejauh $a$ searah sumbu $x$ dan sejauh $b$ searah sumbu $y$ dapat dinyatakan dengan matriks kolom yaitu:
$T = \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$
Jika titik $A(x, y)$ ditranslasi oleh $T = \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ maka hasilnya atau petanya
adalah $A'(x + a, y + b)$. Hal ini bisa dituliskan dengan:
$A(x, y) \overset{\displaystyle \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}}{\rightarrow}A'(x + a, y + b)$ $atau$ $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$

Contoh soal 1.
Tentukan peta titik $A(3, 7)$ yang ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} -2\\5 \end{pmatrix}$

cara I:
$A(x, y) \overset{\displaystyle \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}}{\rightarrow}A'(x + a, y + b)$
$A(3, 7) \overset{\displaystyle \begin{pmatrix} -2\\5 \end{pmatrix}}{\rightarrow}A'(3 + (-2), 7 + 5) = A'(1, 12)$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + (-2) \\ 7 + 5\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 12\end{pmatrix}$
$Jadi\ A'(1, 12)$

Contoh soal 2.
Tentukanlah peta titik $P(5, 3)$ yang ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} 1 \\ -4\end{pmatrix}$

Cara I:
$P(x, y) \overset{\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}}{\rightarrow}P'(x + a, y + b)$
$P(5, 3) \overset{\begin{pmatrix} 1\\-4 \end{pmatrix}}{\rightarrow}P'(5 + 1, 3 + (-4)) = P'(6, -1)$

Cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 1 \\ 3 + (-4)\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1\end{pmatrix}$
$Jadi\ P'(6, -1)$

Contoh soal 3.
Titik $K(p, q)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$ menghasilkan
peta $K'(5, 8).$ Nilai $p + q$ adalah . . . .

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 \\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p + 3 \\ q + 4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 8 - 4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}$
$Jadi\ K(2, 4)$
$p = 2,\ q = 4 → p + q = 2 + 4 = 6$

B. Translasi Kurva
Transformasi translasi atau pergeseran hanyalah mengubah posisi dari bangun yang ditranslasikan dan tidak mengubah bentuk dari bangun tersebut. Jika sebuah kurva ditranslasikan, maka bentuk kurvanya tidak berubah, yang berubah adalah posisi dari kurva tersebut. Perubahan posisi yang dialami kurva akan diikuti oleh perubahan persamaan kurva. Persamaan kurva yang baru atau peta dari kurva yang ditranslasikan dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika kurva $y = f(x)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$ maka petanya
adalah: $y - b = f(x - a)$

Contoh soal 4.
Jika garis $y = 2x +3$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix} $
maka petanya adalah . . . .

Cara I:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}$
$x = x' - 3$ . . . . *
$y = y' - 4$ . . . . **
$y = 2x + 3$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke dalam pers ***
$y' - 4 = 2(x' - 3) + 3$
$y' - 4 = 2x' - 6 + 3$
$y' = 2x' + 1$
Hilangkan tanda (') !
$y = 2x + 1$

cara II:
$y - b = f(x - a)$
$y - 4 = 2(x - 3) + 3$
$y - 4 = 2x - 6 + 3$
$y = 2x + 1$

Contoh soal 5.
Tentukan peta dari parabola $y = x^2 - 3x + 2$ jika ditranslasi
oleh $\begin{pmatrix} 3 \\ -2\end{pmatrix}\ !$

cara I:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -2\end{pmatrix}$
$x = x' - 3$ . . . . *
$y = y' - (-2) → y = y' + 2$ . . . . **
$y = x^2 - 3x + 2$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$y' + 2 = (x' - 3)^2 - 3(x' - 3) + 2$
Hilangkan tanda (') !
$y + 2 = x^2 - 6x + 9 - 3x + 9 + 2$
$y + 2 = x^2 - 9x + 20$
$y = x^2 - 9x + 18$

cara II:
$y - b = f(x - a)$
$y - (-2) = (x - 3)^2 - 3(x - 3) + 2$
$y + 2 = x^2 - 6x + 9 - 3x + 9 + 2$
$y = x^2 - 9x + 18$

Contoh soal 6.
Translasi kurva oleh $\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan
$y - x^2 - 1 = 0.$ Tentukan persamaan kurva awal !

Karena $y - x^2 - 1 = 0$ adalah peta dari kurva awal
maka kita bisa anggap bahwa persamaannya adalah
$y' - (x')^2 - 1 = 0$

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$
$x' = x - 1$ . . . . *
$y' = y + 2$ . . . . **
$y' - (x')^2 - 1 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$y + 2 - (x - 1)^2 - 1 = 0$
$y + 2 - (x^2 - 2x + 1) - 1 = 0$
$y + 2 - x^2 + 2x - 1 - 1 = 0$
$y - x^2 + 2x = 0$
Jadi persamaan kurva awal adalah: $y - x^2 + 2x = 0$

C. Komposisi Dua Translasi Berurutan
Jika titik atau kurva ditranslasikan dengan matriks translasi pertama sebagai $T_1$ dan dilanjutkan dengan translasi dengan matriks translasi kedua sebagai $T_2$, maka $T_2\ o\ T_1 = T_1 + T_2$
Misalkan $T_1 = \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}\ dan\ T_2 = \begin{pmatrix} c \\ d\end{pmatrix}\ maka$ $T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} a + c \\ b + d\end{pmatrix}$

Contoh soal 7.
Bayangan titik $A(3, 2)$ jika ditranslasikan oleh $T_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2\end{pmatrix}$
dan dilanjutkan oleh $T_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ adalah . . . .

$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ -2 + 4\end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}$
$Jadi\ A'(6, 4)$

Contoh soal 8.
Persamaan bayangan garis lurus $y = 3x + 2$ yang
ditranslasi oleh $T_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -2\end{pmatrix}$ dan dilanjutkan oleh $T_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}$
adalah . . . .

$T_2\ o\ T_1 = T_1 + T_2$
$= \begin{pmatrix} 3 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 4 \\ 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1\end{pmatrix}$
$x = x' - 4$ . . . . *
$y = y' - 1$ . . . . **
$y = 3x + 2$ . . . . ***

Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$y' - 1 = 3(x' - 4) + 2$
$Hilangkan\ tanda\ (')\ !$
$y - 1 = 3x - 12 + 2$
$y = 3x - 9$

Transformasi Geometri Refleksi atau Pencerminan

Refleksi atau pencerminan merupakan transformasi isometri yang memindahkan semua titik pada bangun yang ditransformasikan ke arah cermin dengan menggunakan prinsip-prinsip pembentukan bayangan pada cermin datar. Sesuai prinsip pembentukan bayangan pada cermin datar, bahwa jarak antara titik ke cermin selalu sama dengan jarak antara bayangan titik dengan cermin. Beberapa jenis pencerminan yang umum adalah:

Rumus Pencerminan Terhadap Sumbu X

A. Pencerminan Titik Terhadap Sumbu $x$.
Jika titik $A(x, y)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$, maka bayangannya
adalah titik $A'(x', y')\ dengan\ \boxed{\ x' = x\ dan\ y' = -y\ }.$
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\boxed{\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\ }$$

Contoh soal 9.
Tentukan peta dari titik $A(5, 1)$ jika dicerminkan terhadap
sumbu $x$ !

cara I:
$x' = x = 5$
$y' = -y = -1$
Peta atau bayangan titik $A(5, 1)$ adalah $A'(5, -1)$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 1\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 1.5 + 0.1 \\ 0.5 + (-1).1\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 5 \\ -1\end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(5, 1)$ adalah $A'(5, -1)$

Contoh soal 10.
Tentukan peta dari titik $P(-3, -5)$ jika dicerminkan terhadap
sumbu $x$ !

cara I:
$x' = x = -3$
$y' = -y = -(-5) = 5$
Peta atau bayangan titik $P(-3, -5)$ adalah $P'(-3, 5)$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ -5\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 1.(-3) + 0.(-5) \\ 0.(-3) + (-1).(-5)\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -3 \\ 5\end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(-3, -5)$ adalah $A'(-3, 5)$

B. Pencerminan Kurva Terhadap Sumbu $x$
Jika $y = f(x)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $y = -f(x)$.

Contoh soal 11.
Tentukanlah peta dari kurva $2x + 3y + 5 = 0$ jika direfleksikan
terhadap sumbu $x\ !$

cara I:
$x' = x → x = x'$ . . . . *
$y' = -y → y = -y'$ . . . . **
$2x + 3y + 5 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$2x' + 3(-y') + 5 = 0$
Hilangkan tanda (')
$2x - 3y + 5 = 0$

cara II:
$2x + 3y + 5 = 0$
$3y = -2x - 5$
$y = f(x) = -\dfrac23x - \dfrac53$
Peta atau bayangan:
$y = -f(x)$
$y = -\left(-\dfrac23x - \dfrac53\right)$
$y = \dfrac23x + \dfrac53$
$3y = 2x + 5$
$2x - 3y + 5 = 0$

Contoh soal 12.
Tentukanlah peta dari kurva $y = x^2 - 3x + 2$ jika direfleksikan
terhadap sumbu $x\ !$

cara I:
$x' = x → x = x'$ . . . . *
$y' = -y → y = -y'$ . . . . **
$y = x^2 - 3x + 2$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$-y' = (x')^2 - 3(x') + 2$
Hilangkan tanda (')
$-y = x^2 - 3x + 2$
$y = -x^2 + 3x - 2$
Cara II:
$y = f(x) = x^2 - 3x + 2$
Peta atau bayangan:
$y = -f(x)$
$= -(x^2 - 3x + 2)$
$= -x^2 + 3x - 2$

Rumus Pencerminan Terhadap Sumbu Y

A. Pencerminan Titik Terhadap Sumbu $y$
Jika titik $A(x, y)$ dicerminkan terhadap sumbu $y$ maka bayangannya
adalah titik $A'(x', y')\ dengan\ \boxed{\ x' = -x\ dan\ y' = y\ }$.
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\boxed{\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\ } $$

Contoh soal 13.
Tentukanlah bayangan atau peta dari titik $A(2, 5)$ jika
dicerminkan terhadap sumbu $y\ !$

cara I:
$x' = -x = -2$
$y' = y = 5$
Peta atau bayangan dari titik $A(2, 5)$ adalah titik $A'(-2, 5).$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} (-1).2 + 0.5 \\ 0.2 + 1.5\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -2 \\ 5\end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(2, 5)$ adalah $A'(-2, 5)$

Contoh soal 14.
Tentukanlah peta atau bayangan dari titik $B(-3, -4)$ jika
direfleksikan terhadap\sumbu $y\ !$

cara I:
$x' = -x = -(-3) = 3$
$y' = y = -4$
Peta atau bayangan titik $B(-3, -4)$ adalah $B'(3, -4).$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ -4\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} (-1).(-3) + 0.(-4) \\ 0.(-3) + 1.(-4)\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 3 \\ -4\end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(-3, -4)$ adalah $A'(3, -4).$

B. Pencerminan Kurva Terhadap Sumbu $y$
Jika $y = f(x)$ dicerminkan terhadap sumbu $y$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $y = f(-x)$.

Contoh soal 15.
Tentukanlah peta dari kurva $y = 2x - 1$ jika direfleksikan
terhadap sumbu $y\ !$

cara I:
$x' = -x → x = -x'$ . . . . *
$y' = y → y = y'$ . . . . . **
$y = 2x - 1$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$y' = 2(-x') - 1$
Hilangkan tanda (') !
$y = -2x - 1$

cara II:
$y = f(x) = 2x - 1$
Peta atau bayangan:
$y = f(-x)$
$y = 2(-x) - 1$
$y = -2x - 1$

Contoh soal 16.
Tentukanlah peta atau bayangan dari kurva $x^2 - 2y + 2x - 4 = 0$
jika dicerminkan terhadap sumbu $y\ !$

cara I:
$x' = -x → x = -x'$ . . . . *
$y' = y → y = y'$ . . . . **
$x^2 - 2y + 2x - 4 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$(-x')^2 - 2y' + 2(-x') - 4 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$x^2 - 2y - 2x - 4 = 0$
$x^2 - 2x - 4 = 2y$
$y = \dfrac12x^2 - x - 2$

cara II:
$x^2 - 2y + 2x - 4 = 0$
$x^2 + 2x - 4 = 2y$
$y = f(x) = \dfrac12x^2 + x - 2$
Peta atau bayangan:
$y = f(-x)$
$y = \dfrac12(-x)^2 - x - 2$
$y = \dfrac12x^2 - x - 2$.

Rumus Pencerminan Terhadap Garis x = h

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis $x = h$
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $x = h$, maka
bayangannya adalah $A'(x', y')\ dengan\ \boxed{\ x' = 2h - x\ dan\ y' = y\ }.$
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\ \boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2h \\ 0\end{pmatrix}\ }$$

Contoh soal 17.
Tentukanlah bayangan dari titik $A(4, -2)$ jika direfleksikan
terhadap garis $x = 3$ !

cara I:
$x' = 2h - x = 2.3 - 4 = 2$
$y' = y = -2$
Peta atau bayangan titik $A(4, -2)$ adalah $A'(2, -2).$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2h \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2.3 \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1).4 + 0.(-2) \\ 0.4 + 1.(-2)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + 6 \\ -2 + 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(4, -2)$ adalah $A'(2, -2).$

Contoh soal 18.
Tentukan peta dari titik $C(-3, 5)$ jika direfleksikan terhadap
garis $x = -4$

cara I:
$x' = 2h - x = 2.(-4) - (-3) = -8 + 3 = -5$
$y' = y = 5$
Peta atau bayangan titik $C(-3, 5)$ adalah $C'(-5, 5).$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2h \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2.(-4) \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1).(-3) + 0.5 \\ 0.(-3) + 1.5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 8 \\ 5 + 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $C(-3, 5)$ adalah $C'(-5, 5).$

B. Pencerminan Kurva Terhadap Garis $x = h$
Jika $ y = f(x)$ dicerminkan terhadap garis $x = h$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $y = f(2h - x)$.

Contoh soal 19.
Tentukanlah bayangan kurva $3x - 2y + 5 = 0$ jika direfleksikan
terhadap garis $x = 4$

cara I:
$x' = 2h - x $
$x' = 2.4 - x → x = 8 - x'$ . . . . *
$y' = y → y = y'$ . . . . **
$3x - 2y + 5 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$3(8 - x') - 2y' + 5 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$24 - 3x - 2y + 5 = 0$
$29 - 3x - 2y = 0$
$3x + 2y - 29 = 0$

cara II:
$3x - 2y + 5 = 0$
$2y = 3x + 5$
$y = f(x) = \dfrac32x + \dfrac52$
Peta atau bayangan:
$y = f(2h - x)$
$y = \dfrac32(2.4 - x) + \dfrac52$
$2y = 3(8 - x) + 5$
$2y = 24 - 3x + 5$
$3x + 2y - 29 = 0$

Contoh soal 20.
Parabola $y = x^2 - 2$ direfleksikan terhadap garis $x = -2$
petanya adalah . . . .

cara I:
$x' = 2h - x$
$x' = 2.(-2) - x → x = -4 - x'$ . . . . *
$y' = y → y = y'$ . . . . **
$y = x^2 - 2$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$y' = (-4 - x')^2 - 2$
Hilangkan tanda (') !
$y = 16 + 8x + x^2 - 2$
$y = x^2 + 8x + 14$

cara II:
$y = f(x) = x^2 - 2$
Peta atau bayangan:
$y = f(2h - x)$
$y = f(2.(-2) - x)$
$y = f(-4 - x)$
$y = (-4 - x)^2 - 2$
$y = 16 + 8x + x^2 - 2$
$y = x^2 + 8x + 14$

Rumus Pencerminan Terhadap Garis y = k

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis $y = k$
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y = k$, maka
bayangannya adalah $A'(x', y')\ dengan\ \boxed{\ x' = x\ dan\ y' = 2k - y\ }.$
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\ \boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2k\end{pmatrix}\ }$$

Contoh soal 21.
Titik $A(5, -3)$ dicerminkan terhadap garis $y = 2.$ Tentukan
bayangan titik tersebut !

cara I:
$x' = x = 5$
$y' = 2k - y = 2.2 - (-3) = 4 + 3 = 7$
Peta atau bayangan titik $A(5, -3)$ adalah $A'(5, 7).$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2k\end{pmatrix}\ $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2.2\end{pmatrix}\ $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4\end{pmatrix}\ $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(5, -3)$ adalah $A'(5, 7).$

Contoh soal 22.
Titik $A(-4, 3)$ dicerminkan terhadap garis $y = -2.$ Tentukan
bayangan titik tersebut !

cara I:
$x' = x = -4$
$y' = 2k - y = 2.(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$
Peta atau bayangan titik $A(-4, 3)$ adalah $A'(-4, -7).$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2k\end{pmatrix}\ $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2.(-2)\end{pmatrix}\ $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4\end{pmatrix}\ $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(-4, 3)$ adalah $A'(-4, -7).$

B. Pencerminan Kurva Terhadap Garis $y = k$
Jika $ y = f(x)$ dicerminkan terhadap garis $y = k$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $y = 2k - f(x)$.

Contoh soal 23.
Tentukan bayangan kurva $4x - 3y + 1 = 0$ jika dicerminkan
terhadap garis $y = 5\ !$

cara I:
$x' = x → x = x'$ . . . . *
$y' = 2k - y = 2.5 - y → y = 10 - y'$ . . . . **
$4x - 3y + 1 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$4x' - 3(10 - y') + 1 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$4x - 30 + 3y + 1 = 0$
$4x + 3y - 29 = 0$

cara II:
$4x - 3y + 1 = 0$
$4x + 1 = 3y$
$y = f(x) = \dfrac43x + \dfrac13$
Peta atau bayangan:
$y = 2k - f(x)$
$y = 2.5 - \left(\dfrac43x + \dfrac13 \right)$
$y = 10 - \left(\dfrac43x + \dfrac13 \right)$
$3y = 30 - 4x - 1$
$4x + 3y - 29 = 0$

Contoh soal 24.
Bayangan parabola $y = x^2 - 7x + 124$ jika dicerminkan terhadap
terhadap garis $y = 2$ adalah . . . .

cara I:
$x ' = x → x = x'$ . . . . *
$y' = 2k - y = 2.2 - y → y = 4 - y'$ . . . . **
$y = x^2 - 7x + 12$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$4 - y' = (x')^2 - 7x' + 12$
Hilangkan tanda (') !
$4 - y = x^2 - 7x + 12$
$y = -x^2 + 7x - 8$

cara II:
$y = f(x) = x^2 - 7x + 12$
Peta atau bayangan:
$y = 2k - f(x)$
$y = 2.2 - (x^2 - 7x + 12)$
$y = 4 - x^2 + 7x - 12$
$y = -x^2 + 7x - 8$

Rumus Pencerminan Terhadap Garis y = x

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis $y = x$
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y = x$, maka
bayangannya adalah $A'(x', y')\ dengan\ \boxed{\ x' = y\ dan\ y' = x\ }.$
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\ \boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} }$$

Contoh soal 25.
Bayangan titik $A(1, 3)$ jika dicerminkan terhadap
garis$ y = x$ adalah . . . .

cara I:
$x' = y = 3$
$y' = x = 1$
Peta atau bayangan titik $A(1, 3)$ adalah $A'(3, 1)$

cara II:
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix} $

Contoh soal 26.
Tentukan bayangan dari titik $A(-2, -3)$ setelah dicerminkan
terhadap garis $y = x\ !$

cara I:
$x' = y = -3$
$y' = x = -2$
Peta atau bayangan titik $A(-2, -3)$ adalah $A'(-3, -2)$

cara II:
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ -3\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2\end{pmatrix} $

B. Pencerminan Kurva Terhadap Garis $y = x$
Jika $ y = f(x)$ dicerminkan terhadap garis $y = x$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $ x = f(y)$.

Contoh soal 27.
Bayangan kurva $2x - y + 3 = 0$ jika dicerminkan terhadap
garis $y = x$ adalah . . . .

cara I:
$x' = y → y = x'$ . . . . *
$y' = x → x = y'$ . . . . **
$2x - y + 3 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$2y' - x' + 3 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$2y - x + 3 = 0$

cara II:
$2x - y + 3 = 0$
$y = f(x) = 2x + 3$
peta atau bayangan:
$x = f(y)$
$x = 2y + 3$
$2y - x + 3 = 0$

Contoh soal 28.
Bayangan kurva $y = 3x^2 - 4x + 7$ akibat pencerminan
terhadap garis $y = x$ adalah . . . .

cara I:
$x' = y → y = x'$ . . . . *
$y' = x → x = y'$ . . . . **
$y = 3x^2 - 4x + 7$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$x' = 3(y')^2 - 4y' + 7$
Hilangkan tanda (') !
$x = 3y^2 - 4y + 7$

cara II:
$y = f(x) = 3x^2 - 4x + 7$
Peta atau bayangan:
$x = f(y)$
$x = 3y^2 - 4y + 7$

Rumus Pencerminan Terhadap Garis $y = -x$

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis $y = -x$
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y = -x$, maka
bayangannya adalah $A'(x', y')\ dengan\ \boxed{\ x' = -y\ dan\ y' = -x\ }.$
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\ \boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} }$$

Contoh soal 29.
Peta dari titik $A(-1, 2)$ jika direfleksikan terhadap garis $y = -x$
adalah . . . .

cara I:
$x' = -y = -2$
$y' = -x = -(-1) = 1$
Peta atau bayangan titik $A(-1, 2)$ adalah $A'(-2, 1)$

cara II:
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1\end{pmatrix} $
Peta atau bayangan titik $A(-1, 2)$ adalah $A'(-2, 1)$

Contoh soal 30.
Bayangan titik $A(-7, -4)$ setelah direfleksikan terhadap
garis $y = -x$ adalah . . . .

cara I:
$x' = -y = -(-4) = 4$
$y' = -x = -(-7) = 7$
Peta atau bayangan titik $A(-7, -4)$ adalah $A'(4, 7)$

Cara II:
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -7 \\ -4\end{pmatrix} $
$\ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7\end{pmatrix} $
Peta atau bayangan titik $A(-7, -4)$ adalah $A'(4, 7)$

B. Pencerminan Kurva Terhadap Garis $y = -x$
Jika $ y = f(x)$ dicerminkan terhadap garis $y = -x$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $ x = -f(-y)$.

Contoh soal 31.
Bayangan dari kurva $5x - 2y + 7$ setelah direfleksikan
terhadap garis $y = -x$ adalah . . . .

cara I:
$x' = -y → y = -x'$ . . . . *
$y' = -x → x = -y'$ . . . . **
$5x - 2y + 7 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$5(-y') - 2(-x') + 7 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$-5y + 2x + 7 = 0$
$2x - 5y + 7 = 0$

cara II:
$5x - 2y + 7 = 0$
$5x + 7 = 2y$
$y = f(x) = \dfrac52x + \dfrac72$
Peta atau bayangan:
$x = -f(-y)$
$x = -(\dfrac52(-y) + \dfrac72)$
$x = \dfrac52y - \dfrac72$
$2x = 5y - 7$
$2x - 5y + 7 = 0$

Contoh soal 32.
Peta dari kurva $y = x^2 + 2x$ setelah dicerminkan terhadap
garis $y = -x$ adalah . . . .

cara I:
$x' = -y → y = -x'$ . . . . *
$y' = -x → x = -y'$ . . . . **
$y = x^2 + 2x$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$-x' = (-y')^2 + 2(-y')$
Hilangkan tanda (') !
$-x = y^2 -2y$
$x = -y^2 + 2y$

cara II:
$y = f(x) = x^2 + 2x$
Peta atau bayangan:
$x = -f(-y)$
$x = -((-y)^2 + 2(-y))$
$x = -(y^2 - 2y)$
$x = -y^2 + 2y$

Rumus Pencerminan Terhadap Titik O(0, 0)

A. Pencerminan Titik Terhadap Titik O(0, 0)
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap titik O(0, 0), maka
bayangannya adalah $A'(x', y')\ dengan\ \boxed{\ x' = -x\ dan\ y' = -y\ }.$
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\ \boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} }$$

Contoh soal 33.
Tentukanlah bayangan dari titik $A(-2, 7)$ setelah dicerminkan
terhadap titik O(0, 0) !

cara I: $x' = -x = -(-2) = 2$
$y' = -y = -7$
Peta atau bayangan titik $A(-2, 7)$ adalah $A'(2, -7)$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 7\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -7\end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(-2, 7)$ adalah $A'(2, -7)$

Contoh soal 34.
Tentukan bayangan titik $(3, 5)$ setelah dicerminkan
terhadap titik $O(0, 0)$ !

cara I:
$x' = -x = -3$
$y' = -y = -5$
Peta atau bayangan titik $A(3, 5)$ adalah $A'(-3, -5)$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 5\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5\end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(3, 5)$ adalah $A'(-3, -5)$

B. Pencerminan Kurva Terhadap Titik O(0, 0)
Jika $ y = f(x)$ dicerminkan terhadap titik O(0, 0) maka peta dari kurva
tersebut adalah $ y = -f(-x)$.

Contoh soal 35.
Bayangan kurva $3x + y - 6 = 0$ apabila dicerminkan terhadap
titik $O(0, 0)$ adalah . . . .

cara I:
$x' = -x → x = -x'$ . . . . *
$y' = -y → y = -y'$ . . . . **
$3x + y - 6 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$3(-x') + (-y') - 6 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$-3x - y - 6 = 0$
$3x + y + 6 = 0$

cara II:
$3x + y - 6 = 0$
$y = f(x) = -3x + 6$
Peta atau bayangan:
$y = -f(-x)$
$y = -(-3(-x) + 6)$
$y = -(3x + 6)$
$y = -3x - 6$
$3x + y + 6 = 0$

Contoh soal 36.
Bayangan kurva $y = x^2 - 3x + 1$ setelah direfleksikan terhadap
titik $O(0, 0)$ adalah . . . .

cara I:
$x' = -x → x = -x'$ . . . . *
$y' = -y → y = -y'$ . . . . **
$y = x^2 - 3x + 1$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$-y' = (-x')^2 - 3(-x') + 1$
Hilangkan tanda (') !
$-y = x^2 + 3x + 1$
$y = -x^2 - 3x - 1$

cara II:
$y = f(x) = x^2 - 3x + 1$
Peta atau bayangan:
$y = -f(-x)$
$y = -((-x)^2 - 3(-x) + 1$
$y = -(x^2 + 3x + 1)$
$y = -x^2 - 3x - 1$

Rumus Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c

Jika titik $A(x, y)$ dicerminkan terhadap garis $y = mx + c$, maka
bayangannya adalah titik $A'(x', y')$, dimana:
$$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{1 + m^2}\left[\begin{pmatrix} 1 - m^2 & 2m \\ 2m & m^2 - 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2cm \\ 2c\end{pmatrix}\right]$$

Contoh soal 37.
Bayangan dari titik $A(3, 2)$ akibat refleksi terhadap
garis $y = 3x$ adalah . . . .

Contoh soal 38.
Peta dari titik $A(2, 1)$ akibat refleksi terhadap
garis $y = 2x + 3$ adalah . . . .

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{1 + m^2}\left[\begin{pmatrix} 1 - m^2 & 2m \\ 2m & m^2 - 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2cm \\ 2c\end{pmatrix}\right]$
$\ \ \ \ m = 2,\ c = 3$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{1 + 2^2}\left[\begin{pmatrix} 1 - 2^2 & 2.2 \\ 2.2 & 2^2 - 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2.3.2 \\ 2.3\end{pmatrix}\right]$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5}\left[\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ 6\end{pmatrix}\right]$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} \left[\begin{pmatrix} -2 \\ 11\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ 6\end{pmatrix}\right]$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} -14 \\ 17\end{pmatrix}$
Peta atau bayangan titik $A(2, 1)$ adalah $A'(-\dfrac{14}{5}, \dfrac{17}{5})$

Contoh soal 39.
Bayangan kurva $y = 2x^2 - 1$ setelah dicerminkan terhadap
garis $y = x + 2$ adalah . . . .

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{1 + m^2}\left[\begin{pmatrix} 1 - m^2 & 2m \\ 2m & m^2 - 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2cm \\ 2c\end{pmatrix}\right]$
$\ \ \ \ \ m = 1,\ c = 2$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{1 + 1^2}\left[\begin{pmatrix} 1 - 1^2 & 2.1 \\ 2.1 & 1^2 - 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2.2.1 \\ 2.2\end{pmatrix}\right]$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\left[\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 4\end{pmatrix}\right]$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\left[\begin{pmatrix} 2y \\ 2x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 4\end{pmatrix}\right]$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2y - 4 \\ 2x + 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y - 2 \\ x + 2 \end{pmatrix}$
$x' = y - 2 → y = x' + 2$ . . . . *
$y' = x + 2 → x = y' - 2$ . . . . **
$y = 2x^2 - 1$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$x' + 2 = 2(y' - 2)^2 - 1$
Hilangkan tanda (') !
$x + 2 = 2(y - 2)^2 - 1$
$x + 2 = 2(y^2 - 4y + 4) - 1$
$x + 2 = 2y^2 - 8y + 7$
$x = 2y^2 - 8y + 5$

Transformasi Geometri Rotasi atau Perputaran

Rotasi atau perputaran merupakan transformasi isometri yang memindahkan semua titik pada bangun sepanjang busur lingkaran akibat perputaran dengan pusat tertentu. Rotasi disebut positif jika arah putarannya berlawanan arah jarum jam, dan negatif jika searah jarum jam. Rotasi pada umumnya terbagi atas dua bagian, yaitu rotasi dengan pusat $O(0, 0)$ dan rotasi dengan pusat $P(a, b)$.

Rumus Rotasi Dengan Pusat Rotasi O(0, 0)

Jika titik $A(x, y)$ dirotasi dengan pusat rotasi di titik O(0, 0),
sejauh $\theta$, maka petanya adalah $A'(x', y')$ dengan:
$$\boxed{\ x' = x\ cos\ \theta - y\ sin\ \theta\ dan\ y' = x\ sin\ \theta + y\ cos\ \theta\ }$$ Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks: $$\boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}}$$

Contoh soal 40.
Tentukan matriks rotasi pada titik $O(0, 0)$ sejauh $60^o$ !

Matriks rotasi pada Pusat $O(0, 0)$ sejauh $60^o$ adalah:
$\begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 60^o & -sin\ 60^o \\ sin\ 60^o & cos\ 60^o \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} \dfrac12 & -\dfrac12\sqrt{3} \\ \dfrac12\sqrt{3} & \dfrac12 \end{pmatrix}$

Contoh soal 41.
Tentukan peta dari titik $P(-2, 3)$ jika dirotasi dengan
pusat rotasi $O(0, 0)$ sejauh $30^o\ !$

Contoh soal 42.
Peta dari kurva $x + y + 2 = 0$ jika dirotasi sejauh $30^o$ dengan
pusat $O(0, 0)$ adalah . . . .

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 30 & -sin\ 30 \\ sin\ 30 & cos\ 30 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac12\sqrt{3} & -\dfrac12 \\ \dfrac12 & \dfrac12\sqrt{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\ \ \ Ingat:\ jika\ B = AX\ maka\ A^{-1}B = X$
$\dfrac{1}{\frac34 + \frac14}\begin{pmatrix} \dfrac12\sqrt{3} & \dfrac12 \\ -\dfrac12 & \dfrac12\sqrt{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$x = \dfrac12\sqrt{3}x' + \dfrac12y'$ . . . . *
$y = -\dfrac12x' + \dfrac12\sqrt{3}y'$ . . . . **
$x + y + 2 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$\dfrac12\sqrt{3}x' + \dfrac12y' - \dfrac12x' + \dfrac12\sqrt{3}y'+ 2 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$\dfrac12\sqrt{3}x - \dfrac12x + \dfrac12y + \dfrac12\sqrt{3}y+ 2 = 0$
$\left(\dfrac12\sqrt{3} - \dfrac12\right)x + \left(\dfrac12 + \dfrac12\sqrt{3}\right)y + 2 = 0$

Rumus Rotasi Dengan Pusat Rotasi $P(a, b)$

Jika titik $A(x, y)$ dirotasi atau diputar sejauh $\theta$ dengan
pusat rotasi titik $P(a, b)$ maka petanya adalah $A'(x', y')$
yang dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos \ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}}$$

Contoh soal 43.
Tentukanlah peta dari titik $A(4, 2)$ akibat rotasi
dengan pusat rotasi $P(1, 3)$ sejauh $45^o\ !$

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos \ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 45^o & -sin\ 45^o \\ sin\ 45^o & cos \ 45^o \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac12\sqrt{2} & -\dfrac12\sqrt{2} \\ \dfrac12\sqrt{2} & \dfrac12\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ \sqrt{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} + 1 \\ \sqrt{2} + 3\end{pmatrix}$
Petanya adalah $A'(2\sqrt{2} + 1,\ \sqrt{2} + 3)$

Transformasi Geometri Dilatasi atau Perkalian

Dilatasi atau perkalian merupakan transformasi yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun. Dalam dilatasi kita mengenal faktor dilatasi, yaitu suatu bilangan yang dikalikan terhadap yang didilatasi. Faktor dilatasi dinotasikan dengan sebuah huruf kecil yang umumnya menggunakan huruf $k$. Jika faktor dilatasi $k > 1\ atau\ k < -1$ maka bangun hasil dilatasi lebih besar dari bangun yang didilatasi, sedangkan jika $-1 < k < 1$ maka bangun hasil dilatasi lebih kecil dari bangun yang didilatasi. Jika $k = 1$, maka bangun yang didilatasi tidak mengalami perubahan. Suatu dilatasi dari titik $P$ dengan faktor skala $k$ dapat dinyatakan dengan $[P, k]$. $P$ disebut pusat dilatasi dan $k$ disebut faktor dilatasi. Secara umum dilatasi terbagi atas dua bagian, yaitu dilatasi dengan pusat $O(0, 0)$ dengan faktor skala $k$ dan dilatasi dengan pusat $P(a, b)$ dengan faktor skala $k$.

Rumus Dilatasi Dari Pusat O(0, 0) Dengan Faktor Skala k

A. Dilatasi Titik dari Pusat $O(0, 0)$ Dengan Faktor Skala $k$
Jika titik $A(x, y)$ didilatasi dengan pusat dilatasi $O(0, 0)$ dan
faktor skala $k$, maka petanya adalah $A'(x', y')$ dengan $\boxed{x' = kx\ dan\ y' = ky}$
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks: $$\boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}}$$

Contoh soal 44.
Jika titik $A(5, 2)$ didilatasi dari titik $O(0, 0)$ dengan
faktor skala $4$ maka hasilnya adalah . . . .

cara I:
$x' = kx = 4.5 = 20$
$y' = ky = 4.2 = 8$
Hasilnya adalah $A'(20, 8)$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 8\end{pmatrix}$
Hasilnya adalah $A'(20, 8)$

Contoh soal 45.
Jika titik $P(-12, 8)$ didilatasi oleh $[O, -\dfrac12] $
dengan $O(0, 0)$ maka petanya adalah . . . .

cara I:
$x' = kx = -\dfrac12.(-12) = 6$
$y' = ky = -\dfrac12.8 = -4$
Petanya adalah $P'(6, -4)$

cara II:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac12 & 0 \\ 0 & -\dfrac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -12 \\ 8\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4\end{pmatrix}$
Petanya adalah $P'(6, -4)$

B. Dilatasi kurva dari Pusat $O(0, 0)$ Dengan Faktor Skala $k$
Jika $ y = f(x)$ didilatasikan dari Pusat $O(0, 0)$ dengan faktor
skala $k$, maka petanya adalah $y = kf(\dfrac{1}{k}x)$

Contoh soal 46.
Jika parabola $y = 3x^2 + 1$ didilatasi oleh $[O, 2]$ maka
petanya adalah . . . .

cara I:
$x' = kx = 2x → x = \dfrac12x'$ . . . . *
$y' = ky = 2y → y = \dfrac12y'$ . . . . **
$y = 3x^2 + 1$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$\dfrac12y' = 3(\dfrac12x')^2 + 1$
Hilangkan tanda (') !
$\dfrac12y = \dfrac34x^2 + 1$
$y = \dfrac32x^2 + 2$

cara II:
$y = f(x) = 3x^2 + 1$
$Petanya\ adalah:$
$y = kf\left(\dfrac{1}{k}x\right)$
$y = 2f\left(\dfrac12x\right)$
$y = 2\left(3\left(\dfrac12x\right)^2 + 1\right)$
$y = 2\left(\dfrac34x^2 + 1\right)$
$y = \dfrac32x^2 + 2$

Contoh soal 47.
Jika lingkaran $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ didilatasi oleh
$[O, 2]$ maka petanya adalah lingkaran yang berjari-jari . . . .

$x' = 2x → x = \dfrac12x'$ . . . . *
$y' = 2y → y = \dfrac12y'$ . . . . **
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$(\dfrac12x')^2 + (\dfrac12y')^2 - 4(\dfrac12x') - 6(\dfrac12y') - 3 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$\dfrac14x^2 + \dfrac14y^2 - 2x - 3y - 3 = 0$
$x^2 + y^2 - 8x - 12y - 12 = 0$
$Jari-jari\ lingkaran:$
$R^2 = \dfrac14A^2 + \dfrac14B^2 - C$
$= \dfrac14.8^2 + \dfrac14.12^2 - (-12)$
$= 16 + 36 + 12$
$= 64$
$R = \sqrt{64} = 8$
Jari-jari setelah dilatasi $= 8$.

Rumus Dilatasi Dari Pusat P(a, b) Dengan Faktor Skala k

Dilatasi dari pusat $P(a, b)$ dengan faktor skala $k$ dinotasikan
dengan $[P(a, b), k]$. Jika titik $A(x, y)$ didilatasikan dari
titik $P(a, b)$ dengan faktor skala $k$, maka bayangannya adalah
titik $A'(x', y')$ yang dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
$$\boxed{\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}}$$

Contoh soal 48.
Jika titik $A(-2, 5)$ didilatasi oleh $[P(2, 1), -\dfrac12]$
maka petanya adalah . . . .

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac12 & 0 \\ 0 & -\dfrac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 - 2 \\ 5 - 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac12 & 0 \\ 0 & -\dfrac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1\end{pmatrix}$

Contoh soal 49.
Jika titik $K(6, -3)$ didilatasi dari titik $M(4, 2)$
dengan faktor skala $5$, maka petanya adalah . . . .

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 - 4 \\ -3 - 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -25 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -23\end{pmatrix}$
Petanya adalah $K'(14, -23)$

Contoh soal 50.
Tentukan peta dari kurva $3x - 2y + 4 = 0$ jika didilatasi
dengan pusat dilatasi $P(2, 3)$ dan faktor skala $4\ !$

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x - 8 \\ 4y - 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x - 6 \\ 4y - 9\end{pmatrix}$
$x' = 4x - 6$
$4x = x' + 6$
$x = \dfrac14x' + \dfrac32$ . . . . *
$y' = 4y - 9$
$4y = y' + 9$
$y = \dfrac14y' + \dfrac94$ . . . . **
$3x - 2y + 4 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$3.(\dfrac14x' + \dfrac32) - 2.(\dfrac14y' + \dfrac94) + 4 = 0$
Hilangkan tanda (') !
$\dfrac34x + \dfrac92 - \dfrac12y - \dfrac92 + 4 = 0$
$\dfrac34x - \dfrac12y + 4 = 0$
$3x - 2y + 16 = 0$

Rumus dan Contoh Soal Komposisi Transformasi

Misalkan $T_1$ adalah transformasi yang memetakan titik $A(x, y)$ ke titik $A'(x', y')$ kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_2$ yang memetakan titik $A'(x', y')$ ke titik $A''(x'', y'')$. Transformasi $T_1$ dilanjutkan dengan transformasi $T_2$ tersebut akan memetakan titik $A(x, y)$ ke titik $A''(x'', y'')$. Transformasi seperti ini dapat dituliskan dengan notasi:
$$\boxed{T_2\ o\ T_1\ A(x, y) \rightarrow\ A''(x'', y'')}$$

Contoh soal 51.
Tentukan bayangan titik $A(1, 2)$ akibat refleksi terhadap
garis $y = x$ dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap
garis $y = -x$.

cara I:
$A(1, 2)$
$x' = y = 2$
$y' = x = 1$
$A'(x', y') = A'(2, 1)$

$x'' = -y' = -1$
$y'' = -x' = -2$
$A''(x'', y'') = A''(-1, -2)$

cara II:
Menggunakan matriks transformasi.
$T_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$T_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = T_2\ o\ T_1\ A(x, y)$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$

Contoh soal 52.
Peta dari titik $A(4, 7)$ yang direfleksikan secara
berurutan terhadap sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah . . . .

cara I:
$A(4, 7)$
$x' = x = 4$
$y' = -y = -7$
$A'(x', y') = A'(4, -7)$

$x'' = -x' = -4$
$y'' = y' = -7$
$A''(x'', y'') = A''(-4, -7)$

cara II:
Menggunakan matriks transformasi.
$T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$T_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = T_2\ o\ T_1\ A(x, y)$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \end{pmatrix}$

Supaya lebih paham tentang transformasi geometri, simak pembahasan soal-soal UN, UNBK, dan SBMPTN tentang transformasi geometri berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri

$1.$ Suatu segitiga $KLM$ dengan titik $K(4, 3)$, $L(-1, 2)$ $M(3, 5)$ dirotasi sejauh $180^o$ dengan pusat rotasi $(2, 2)$. Bayangan ketiga titik tersebut berturut-turut adalah . . . .
$A.\ (-4, -3), (1, -2), (-3, -5)$
$B.\ (-3, -4), (-2, 1), (-5, -3)$
$C.\ (3, 4), (2, -1), (5, 3)$
$D.\ (0, 1), (5, 2), (1, -1)$
$E.\ (1, -1), (2, -5), (-1, 1)$
[Soal UNBK Matematika IPA 2018]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 180 & -sin\ 180 \\ sin\ 180 & cos\ 180 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - x \\ 2 - y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - x \\ 4 - y \end{pmatrix}$
$(4, 3)\ \rightarrow\ (0, 1)$
$(-1, 2)\ \rightarrow\ (5, 2)$
$(3, 5)\ \rightarrow\ \ (1, -1)$
$Jawab:\ D.$

$2.$ Persamaan bayangan dari garis $y = 3x + 2$ oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dilanjutkan dengan rotasi pusat $O(0, 0)$ sebesar $90^o$ adalah . . . .
$A.\ y = -\dfrac73x - \dfrac23$
$B.\ y = -\dfrac73x + \dfrac23$
$C.\ y = \dfrac73x + \dfrac23$
$D.\ y = -\dfrac37x + \dfrac23$
$E.\ y = \dfrac37x + \dfrac23$
[Soal UNBK Matematika IPA 2017]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$T_2 = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}$
$T_2 = \begin{pmatrix} cos\ 90^o & -sin\ 90^o \\ sin\ 90^o & cos\ 90^o \end{pmatrix}$
$T_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
$A''(x'', y'') = T_2\ o\ T_1\ A(x, y)$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$Ingat:\ jika\ B = AX\ maka\ A^{-1}B = X$
$\dfrac{1}{2.0 - (-1).1}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$x = 2x'' + y''$ . . . . *
$y = -x''$ . . . . **
$y = 3x + 2$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$-x'' = 3(2x'' + y'') + 2$
Hilangkan tanda ('') !
$-x = 6x + 3y + 2$
$3y = -7x - 2$
$y = -\dfrac73x - \dfrac23$
$Jawab:\ A.$

$3.$ Persamaan bayangan kurva $y = 3x^2 + 2x - 1$ oleh pencerminan terhadap sumbu $X$ dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $Y$ adalah . . . .
$A.\ y = -3x^2 - 2x - 1$
$B.\ y = -3x^2 + 2x + 1$
$C.\ y = -3x^2 + 2x - 1$
$D.\ y = 3x^2 + 2x + 1$
$E.\ y = 3x^2 - 2x + 1$
[Soal UNBK Matematika IPA 2016]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$T_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$A''(x'', y'') = T_2\ o\ T_1\ A(x, y)$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$
$x'' = -x → x = -x''$ . . . . *
$y'' = -y → y = -y''$ . . . . **
$y = 3x^2 + 2x - 1$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$-y'' = 3(-x'')^2 + 2(-x'') - 1$
Hilangkan tanda ('') !
$-y = 3x^2 - 2x - 1$
$y = -3x^2 + 2x + 1$
$Jawab:\ B.$

$4.$ Jika titik $(s, t)$ dirotasi sejauh $270^o$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan terhadap $y = t$ diperoleh titik $(-2, 3 - t)$, maka $s + 3t =$ . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 4$
$C.\ 3$
$D.\ 2$
$E.\ 1$
[Soal SBMPTN Matematika IPA 2016]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 270 & -sin\ 270 \\ sin\ 270 & cos\ 270 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -s \end{pmatrix}$

$x' = t\ dan\ y' = -s$
Selanjutnya dicerminkan terhadap garis $y = t$
$x'' = x' = t$
$y'' = 2t - y'$
$y'' = 2t - (-s)$
$y'' = 2t + s$
Bayangan akhir adalah $(t, 2t + s) = (-2, 3 - t)$
$Berarti: t = -2$
$2t + s = 3 - t$
$2.(-2) + s = 3 - (-2)$
$-4 + s = 5$
$s = 9$
$s + 3t = 9 + 3.(-2) = 9 - 6 = 3$
$Jawab:\ C.$

$5.$ Jika garis $y = x + 2$ ditranslasikan dengan $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu $x$, maka petanya adalah garis $y = ax + b$, nilai $a + b$ adalah . . . .
$A.\ -5$
$B.\ -4$
$C.\ -2$
$D.\ 2$
$E.\ 4$
[Soal SBMPTN 2017 Matdas kode 224]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Titik $A(x, y)$ translasi $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$x' = x + 1$
$y' = y + 2$

Titik $A'(x', y')$ dicerminkan terhadap sumbu $x$
$x'' = x'$
$x'' = x + 1 → x = x'' - 1$ . . . . *
$y'' = -y'$
$y'' = -y - 2 → y = -y'' - 2$ . . . . **
$y = x + 2$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$-y'' - 2 = x'' - 1 + 2$
Hilangkan tanda ('') !
$-y - 2 = x + 1$
$-y = x + 3$
$y = -x - 3$
$a = -1,\ b = -3 → a + b = -1 - 3 = -4$
$Jawab:\ B.$

$6.$ Transformasi yang bersesuaian dengan matriks $A$ memetakan titik $(5, -5)$ ke titik $(-7, 1)$. Jika transformasi tersebut memetakan titik $(-1, 1)$ ke titik $(x, y)$, maka nilai $x + 2y$ adalah . . . .
$A.\ -1$
$B.\ 0$
$C.\ \dfrac23$
$D.\ \dfrac35$
$E.\ 1$
[Soal SBMPTN Matdas 2017 kode 207]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Kita asumsikan bahwa transformasi yang dimaksud adalah $translasi.$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $
$\begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $
$\begin{pmatrix} -7 - 5 \\ 1 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $
$\begin{pmatrix} -12 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $
Matriks transformasinya adalah $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 6 \end{pmatrix}$
Titik $(-1, 1)$ ditranslasi $\begin{pmatrix} -12 \\ 6 \end{pmatrix}$ ke titik $(x, y)$
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ 6 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 7 \end{pmatrix}$
$x = -13$
$y = 7$
$x + 2y = -13 + 2.7 = 1$
$Jawab:\ E.$

$7.$ Titik $(1, 0)$ dipetakan dengan translasi $\begin{pmatrix} a \\ 2 \end{pmatrix}$ dan kemudian dicerminkan terhadap garis $x = 3$ ke titik $(6, 2).$ Peta titik $(2, 1)$ di bawah trnsformasi yang sama adalah $.\ .\ .\ .$
$A.\ (5, 3)$
$B.\ (6, 2)$
$C.\ (6, 3)$
$D.\ (7, 2)$
$E.\ (7, 3)$
[Soal SBMPTN Matdas 2017 kode 226]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Titik $A(1, 0)$ ditranslasi $\begin{pmatrix} a \\ 2 \end{pmatrix}$ ke titik $A'(x', y')$
$x' = 1 + a$
$y' = 0 + 2 = 2$
Titik $A'(x', y')$ dicerminkan terhadap garis $x = 3$ dan
petanya adalah titik $A''(6, 2)$
$x'' = 2.3 - x'$
$6 = 6 - (1 + a)$
$a = -1$
Berarti matriks translasinya adalah $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Titik $(2, 1)$ ditranslasi $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
Titik $(1, 3)$ dicerminkan terhadap garis $x = 3$
$x'' = 2.3 - x'$
$x'' = 6 - 1 = 5$
$y'' = y' = 3$
Jadi, peta dari titik $(2, 1)$ di bawah transformasi yang
sama adalah $(5, 3)$
$Jawab:\ A.$

$8.$ Jika vektor $v = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dirotasikan sejauh $90^o$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan pada garis $x = -y$ menjadi vektor $u$, maka $u + v =\ .\ .\ .\ .$
$A.\ \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$
$B.\ \begin{pmatrix} 2a \\ 0 \end{pmatrix}$
$C.\ \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \end{pmatrix}$
$D.\ \begin{pmatrix} 0 \\ 2b \end{pmatrix}$
$E.\ \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix}$
[Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA kode 231]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Rotasi $90^o$ dilanjutkan pencerminan terhadap garis $y = -x$
$u = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\ 90^o & -sin\ 90^o \\ sin\ 90^o & cos\ 90^o \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
$u = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
$u = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
$u = \begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}$

$u + v = \begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
$u + v = \begin{pmatrix} 0 \\ 2b \end{pmatrix}$
$Jawab:\ D.$

$9.$ Jika pencerminan titik $P(s, t)$ terhadap garis $x = a$ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y = b$ menghasilkan dilatasi sebesar $3$ kali, maka $ab =$ . . . .
$A.\ st$
$B.\ 2st$
$C.\ 3st$
$D.\ 4st$
$E.\ 5st$
[Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA kode 230]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Pencerminan titik $P(s, t)$ terhadap garis $x = a$ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $x = b$ akan menghasilkan bayangan akhir $P''(2a - s, 2b - t).$
Titik $P(s, t)$ didilatasi dengan faktor skala $3$ dari titik $O(0, 0)$ akan menghasilkan peta $P'(3s, 3t)$

$P'(3s, 3t) = P''(2a - s, 2b - t)$
$3s = 2a - s → a = 2s$ . . . . *
$3t = 2b - t → b = 2t$ . . . . **

Dari pers * dan pers **
$ab = 2s.2t = 4st$
$Jawab:\ D.$

$10.$ Pencerminan garis $y = -x + 2$ terhadap garis $y = 3$ menghasilkan $garis\ .\ .\ .\ .$
$A.\ y = x + 4$
$B.\ y = -x + 4$
$C.\ y = x + 2$
$D.\ y = x - 2$
$E.\ y = -x - 4$
[Soal SBMPTN 2015 Matematika IPA kode 534]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Titik $A(x, y)$ dicerminkan terhadap garis $y = 3$ akan menghasilkan bayangan $A'(x', y')$
$x' = x → x = x'$ . . . . *
$y' = 2.3 - y → y = 6 - y'$ . . . . **
$y = -x + 2$ . . . . ***
Masukkan pers * dan ** ke pers ***
$6 - y' = -x' + 2$
Hilangkan tanda (') !
$6 - y = -x + 2$
$y = x + 4$
$Jawab:\ A.$

$11.$ Transformasi $T$ merupakan komposisi pencerminan terhadap garis $y = 2x$ dilanjutkan pencerminan terhadap garis $y = -\dfrac{x}{2}$. Matriks penyajian $T$ adalah . . . .
$A.\ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$B.\ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$C.\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$D.\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$E.\ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
[Soal SBMPTN 2013 Matematika IPA kode 137]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

cara I:
$T_1 = \dfrac{1}{1 + m^2}\begin{pmatrix} 1 - m^2 & 2m \\ 2m & m^2 - 1 \end{pmatrix}$
$T_1 = \dfrac{1}{1 + 2^2}\begin{pmatrix} 1 - 2^2 & 2.2 \\ 2.2 & 2^2 - 1 \end{pmatrix}$
$T_1 = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$T_2 = \dfrac{1}{1 + (-\frac12)^2}\begin{pmatrix} 1 - (-\frac12)^2 & 2.(-\frac12) \\ 2.(-\frac12) & (-\frac12)^2 - 1 \end{pmatrix}$
$T_2 = \dfrac{1}{1 + \frac14}\begin{pmatrix} 1 - \frac14 & -1 \\ -1 & \dfrac14 - 1 \end{pmatrix}$
$T_2 = \dfrac{4}{5}\begin{pmatrix} \frac34 & -1 \\ -1 & -\frac34 \end{pmatrix}$
$T_2 = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$

$T = T_2\ o\ T_1 = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
$T = T_2\ o\ T_1 = \dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
$T = T_2\ o\ T_1 = \dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} -25 & 0 \\ 0 & -25 \end{pmatrix}$
$T = T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

cara II:
$y = 2x → m_1 = 2$
$y = -\dfrac12x → m_2 = -\dfrac12$
$m_1.m_2 = -1$ → kedua garis saling tegak lurus. Karena kedua garis saling tegak lurus, maka pencerminan terhadap garis 1 dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis 2 sama dengan rotasi $180^o$ dengan pusat $O(0, 0)$ karena kedua garis berpotongan di titik $O(0, 0).$

$T = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}$
$T = \begin{pmatrix} cos\ 180^o & -sin\ 180^o \\ sin\ 180^o & cos\ 180^o \end{pmatrix}$
$T = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$Jawab:\ A.$

$12.$ Titik $(2a, -2)$ diputar $90^o$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1, 1)$. Jika hasil rotasi adalah $(2 + a, -2),\ maka\ a =\ .\ .\ .\ .$
$A.\ 2$
$B.\ 1$
$C.\ 0$
$D.\ -1$
$E.\ -2$
[Soal SBMPTN 2013 Matematika IPA kode 137]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - p \\ y - q \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 90^o & -sin\ 90^o \\ sin\ 90^o & cos\ 90^o \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2a - 1 \\ -a - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2a - 1 \\ -a - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 1 \\ 2a - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2 \\ 2a \end{pmatrix}$
$(2 + a, -2) = (a + 2, 2a)$
$2a = -2$
$a = -1$
$Jawab:\ D.$

$13.$ Vektor $\overrightarrow{x}$ diputar terhadap titik pusat $O$ sebesar $\theta\ > 0$ searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y = 0$, menghasilkan vektor $\overrightarrow{y}.$ Jika $\overrightarrow{y} = A\overrightarrow{x}$, maka matriks $A =$ . . . .
$A.\ \begin{pmatrix} cos\ \theta & sin\ \theta \\ -sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$B.\ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\ \theta & sin\ \theta \\ -sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}$
$C.\ \begin{pmatrix} cos\ \theta & -sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$D.\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\ \theta & sin\ \theta \\ -sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}$
$E.\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\ \theta & sin\ \theta \\ -sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}$
[Soal SNMPTN 2012 Matematika IPA kode 633]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$A$ merupahan matriks komposisi transformasi rotasi sejauh $(-\theta)$ yang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $x\ (y = 0).$
$A = T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\ (-\theta) & -sin\ (-\theta) \\ sin\ (-\theta) & cos\ (-\theta) \end{pmatrix}$
$A = T_2\ o\ T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\ \theta & sin\ \theta \\ -sin\ \theta & cos\ \theta \end{pmatrix}$
$Jawab:\ D/E.$

$14.$ Transformasi $T$ adalah komposisi dari pencerminan terhadap garis $y = x$ dilanjutkan rotasi dengan pusat $O(0, 0)$ sebesar $90^o$ ke arah berlawanan arah putaran jarum jam. Bayangan dari garis $3x + 5y - 2 = 0$ oleh transformasi $T$ mempunyai persamaan $\ .\ .\ .\ .$
$A.\ 3x - 5y - 2 = 0$
$B.\ 3x + 5y + 2 = 0$
$C.\ 3x - 5y + 2 = 0$
$D.\ 5x - 3y + 2 = 0$
$E.\ 5x - 5y - 2 = 0$
[Soal UN 2015 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 90^o & -sin\ 90^o \\ sin\ 90^o & cos\ 90^0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$
$x'' = -x → x = -x''$ . . . . *
$x'' = y → y = y''$ . . . . **
$3x + 5y - 2 = 0$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$3(-x'') + 5y'' - 2 = 0$
$-3x + 5y - 2 = 0$
$5y - 3x - 2 = 0$
$Jawab:\ E.$

$15.$ Diketahui $P_1$ adalah pencerminan titik $P(2, k)$ terhadap garis $y = x$, Jika luas segitiga $POP_1$ adalah $6$, maka $|k| =$ $.\ .\ .\ .$
$A.\ 2\sqrt{2}$
$B.\ 2\sqrt{3}$
$C.\ \sqrt{10}$
$D.\ 4$
$E.\ 16$
[Soal UM UGM 2018 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ k \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix}$
$P_1(x',y') = P_1(k, 2)$
Luas segitiga yang dibentuk oleh titik $P(k, 2)$, $P_1(2,k),$ dan $O(0, 0)$ adalah:
$L = \dfrac12\begin{vmatrix}k & 2 \\ 2 & k \\ 0 & 0 \\ k & 2 \end{vmatrix}$
$6 = \dfrac12\left|k^2 + 2.0 + 0.2 - 2^2 - 0.k - k.0\right|$
$12 = |k^2 - 4|$
$12^2 = (k^2 - 4)^2$
$144 = (k^4 - 8k^2 + 16)$
$k^4 - 8k^2 - 128 = 0$
$(k^2 - 16)(k^2 + 8) = 0$
$k^2 = 16$
$k = \pm 4$
$|k| = 4$
$Jawab:\ D.$

$16.$ Persamaan bayangan lingkaran $x^2 + y^2 = 4$ bila dicerminkan terhadap garis $x = 2$ dan dilanjutkan dengan translasi $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $adalah\ .\ .\ .\ .$
$A.\ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 + 2x - 8y + 13 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 - 2x + 8y + 13 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 + 2x + 8y + 13 = 0$
$A.\ x^2 + y^2 + 8x - 2y + 13 = 0$
[Soal UN 2014 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Pencerminan titik $A(x, y)$ terhadap garis $x = 2$
$x' = 2.2 - x$
$x' = 4 - x$
$y' = y$

Translasi titik $A'(x', y')$ dengan matriks translasi $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$
$x'' = x' - 3$
$x'' = 4 - x - 3$
$x'' = 1 - x → x = 1 - x''$ . . . . *

$y'' = y' + 4$
$y'' = y + 4 → y = y'' - 4$ . . . . **

$x^2 + y^2 = 4$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$(1 - x'')^2 + (y'' - 4)^2 = 4$
Hilangkan tanda ('') !
$(1 - x)^2 + (y - 4)^2 = 4$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 4$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$
$Jawab:\ A.$

$17.$ Titik $P(-3, 1)$ dipetakan oleh rotasi dengan pusat $O$ sejauh $90^o$, dilanjutkan dengan translasi $T$ $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}.$ Peta titik P adalah . . . .
$A.\ P''(2, 1)$
$B.\ P''(0, 3)$
$C.\ P''(2, 7)$
$D.\ P''(4, 7)$
$E.\ P''(4, 1)$
[Soaal UN 2013 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Rotasi $90^o$ dengan pusat $O(0, 0):$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\ 90^o & -sin\ 90^o \\ sin\ 90^o & cos\ 90^o \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}$
$P'(-1, -3)$ ditranslasi dengan matriks translasi $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
$x'' = -1 + 3 = 2$
$y'' = -3 + 4 = 1$
Bayangan akhir $P''(2, 1)$
$Jawab:\ A.$

$18.$ Bayangan kurva $y = 3x - 9x^2$ jika dirotasi dengan pusat $O(0, 0)$ sejauh $90^o$ dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat $O(0, 0)$ dan $faktor\ skala\ 3\ adalah .\ .\ .\ .$
$A.\ x = 3y^2 - 3y$
$B.\ x = y^2 + 3y$
$C.\ x = 3y^2 + 3y$
$D.\ y = 3x^2 - 3x$
$E.\ y = x^2 + 3x$
[Soal UN 2012 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\ 90^o & -sin\ 90^o \\ sin\ 90^o & cos\ 90^o \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3y \\ 3x \end{pmatrix}$
$x'' = -3y → y = -\dfrac13x''$ . . . . *
$y'' = 3x → x = \dfrac13y''$ . . . . **
$y = 3x - 9x^2$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$-\dfrac13x'' = 3\dfrac13y'' - 9(\dfrac13y'')^2$
Hilangkan tanda ('') !
$-\dfrac13x = 3\dfrac13y - 9(\dfrac13y)^2$
$-\dfrac13x = y - y^2$
$-x = 3y - 3y^2$
$x = 3y^2 - 3y$
$Jawab:\ A.$

$19.$ Oleh matriks $A = \begin{pmatrix} a + 2 & a \\ 1 & a + 1 \end{pmatrix}$, titik $P(1, 2)$ dan titik $Q$ masing-masing ditransformasikan ke titik $P'(2, 3)$ dan $Q'(2, 0).$ Koordinat titik Q adalah . . . .
$A.\ (1, -1)$
$B.\ (-1, 1)$
$C.\ (1, 1)$
$D.\ (-1, -1)$
$E.\ (1, 0)$
[Soal SPMB 2004 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

Transformasi titik $P$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2 & a \\ 1 & a + 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2 & a \\ 1 & a + 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a + 2 \\ 2a + 3 \end{pmatrix}$
$2 = 3a + 2 → a = 0$
Matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Transformasi titik $Q$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Ingat: jika $B = AX$ maka $A^{-1}B = X$
$\dfrac{1}{2 - 0}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\dfrac12\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Koordinat titik $Q$ adalah $(1, -1)$
$Jawab:\ A.$

$20.$ Persamaan bayangan garis $y = -6x + 3$ karena transformasi oleh matriks $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ kemudian dilanjutkan dengan matriks $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\ adalah .\ .\ .\ .$
$A.\ x + 2y + 3 = 0$
$B.\ x + 2y - 3 = 0$
$C.\ 8x - 19y + 3 = 0$
$D.\ 13x + 11y - 9 = 0$
$E.\ 13x + 11y - 3 = 0$
[Soal UN 2005 Matematika IPA]
[Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri]

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Ingat: jika $B = AX$ maka $A^{-1}B = X$
$\dfrac{1}{-10 + 16}\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\dfrac16\begin{pmatrix} 5x'' + 4y'' \\ -4x'' - 2y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac56x'' + \dfrac23y'' \\ -\dfrac23x'' - \dfrac13y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$x = \dfrac56x'' + \dfrac23y''$ . . . . *
$y = -\dfrac23x'' - \dfrac13y''$ . . . . **
$y = -6x + 3$ . . . . ***
Masukkan pers * dan pers ** ke pers ***
$-\dfrac23x'' - \dfrac13y'' = -6(\dfrac56x'' + \dfrac23y'') + 3$
Hilangkan tanda ('') !
$-\dfrac23x - \dfrac13y = -5x - 4y + 3$
$-2x - y = -15x - 12y + 9 $
$13x + 11y - 9 = 0$
$Jawab:\ D.$

Demikianlah soal dan pembahasan transformasi geometri, mudah-mudahan bermanfaat. Selamat belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

SHARE THIS POST

www.maretong.com

MARETONG