Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Barisan dan Deret Geometri khusus soal-soal UN UNBK dan SBMPTN serta Soal-soal Ujian masuk PTN seperti UM UGM dan SIMAK UI. Sebelum kita menuju topik utama, kita akan melakukan review singkat tentang Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri.
Pengertian Barisan Dan Deret
Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu, sedangkan deret bilangan adalah penjumlahan dari bilangan-bilangan pada barisan bilangan.$U_1,\ U_2,\ U_3,\ \cdots$ disebut barisan bilangan.
$U_1 + U_2 + U_3 \cdots$ disebut deret bilangan.
$U_1 → suku\ ke-1$
$U_2 → suku\ ke-2$
$U_3 → suku\ ke-3$
dan seterusnya . . .
Rumus Barisan dan Deret Aritmetika
Rumus Suku $ke-n$ Barisan dan Deret Aritmetika
$\bullet$ $U_n = a + (n - 1)b$$\bullet$ $U_n = U_k + (n - k)b$
$\bullet$ $U_n = S_n - S_{n - 1}$
Keterangan:
$a = U_1 → suku\ pertama$
$U_n → suku\ ke-n$
$U_k → suku\ ke-k$
$S_n → jumlah\ n\ suku\ pertama$
Jumlah $n$ Suku Pertama Barisan dan Deret Aritmetika
$S_n = \dfrac n2(a + U_n)$$S_n = \dfrac n2(2a + (n - 1)b)$
Keterangan:
$a = U_1 → suku\ pertama$
$U_n → suku\ ke-n$
$S_n → jumlah\ n\ suku\ pertama$
Rumus Sisipan Pada Barisan dan Deret Aritmetika
Sisipan pada deret aritmetika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmetika sehingga terbentuk deret aritmetika yang baru.Beda pada deret aritmetika yang baru:
$b' = \dfrac{b}{k + 1}$
Keterangan:
b' = beda dari deret yang baru
b = beda dari deret sebelumnya
k = banyak bilangan yang disisipkan
Rumus Suku Tengah Barisan dan Deret Aritmetika
$U_t = \dfrac{U_1 + U_n}{2}$Keterangan:
$U_t$ = suku tengah
Rumus Barisan dan Deret Geometri
Rumus Suku $ke-n$ Barisan dan Deret Geometri
$U_n = ar^{n - 1}$$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{U_3}{U_2} = \cdots = \dfrac{U_n}{U_{n - 1}}$
Keterangan:
$U_n = suku\ ke-n$
$a = suku\ pertama$
$n = banyak\ suku$
$r = rasio$
Rumus Jumlah $n$ Suku Pertama Barisan dan Deret Geometri
$\bullet$ $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\ jika\ -1 < r < 1$$\bullet$ $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\ jika\ r > 1$
Rumus Suku Tengah Barisan dan Deret Geometri
$U_t = \sqrt{a.U_n}$Rumus Sisipan Pada Barisan dan Deret Geometri
$\bullet$ Jika banyak suku yang disisipkan genap:$r' = \sqrt[k + 1]{\dfrac{U_n}{a}}$
$\bullet$ Jika banyak suku yang disisipkan ganjil:
$r' = \pm \sqrt[k + 1]{\dfrac{U_n}{a}}$
Keterangan:
$r'$ = rasio dari deret baru
$k$ = banyak bilangan yang disisipkan
$a\ dan\ U_n$ = dua bilangan yang disisipi
Rumus Barisan Dan Deret Geometri Tak Hingga
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$Supaya lebih jelas, perhatikan dan pelajari soal dan pembahasan barisan dan deret aritmetika dan geometri berikut !
Pembahasan Soal UN UNBK dan SBMPTN Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri
1. UNBK MtkIPS 2019
Diketahui barisan aritmetika mempunyai suku $ke-2$ bernilai 4 dan suku $ke-8$ bernilai 22. Suku $ke-15$ barisan tersebut adalah . . . .
A. 43
B. 40
C. 37
D. 34
E. 31
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 43
B. 40
C. 37
D. 34
E. 31
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_n = a + (n - 1)b$
$U_2 = 4 → a + b = 4$ . . . . (*)
$U_8 = 22 → a + 7b = 22$ . . . . (*)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 4$
$a + 7b = 22$
-------------------------- $-$
$6b = 18$
$b = 3$
$a = 1$
$\begin{align}
U_{15} &= a + 14b\\
&= 1 + 14.3\\
&= 43\\
\end{align}$
jawab: A.
$U_2 = 4 → a + b = 4$ . . . . (*)
$U_8 = 22 → a + 7b = 22$ . . . . (*)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 4$
$a + 7b = 22$
-------------------------- $-$
$6b = 18$
$b = 3$
$a = 1$
$\begin{align}
U_{15} &= a + 14b\\
&= 1 + 14.3\\
&= 43\\
\end{align}$
jawab: A.
2. UNBK MtkIPS 2019
Diketahui suku $ke-3$ dan suku $ke-15$ barisan aritmetika berturut-turut adalah 4 dan 40. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah . . . .
A. 530
B. 550
C. 560
D. 580
E. 610
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 530
B. 550
C. 560
D. 580
E. 610
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_n = a + (n - 1)b$
$U_3 = 4 → a + 2b = 4$ . . . . (*)
$U_{15} = 40 → a + 14b = 40$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 2b = 4$
$a + 14b = 40$
----------------------- $-$
$12b = 36$
$b = 3$
$a = -2$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{20} &= \dfrac{20}{2}(2.(-2) + 19.3)\\
&= 10.(-4 + 57)\\
&= 10.53\\
&= 530\\
\end{align}$
jawab: A.
$U_3 = 4 → a + 2b = 4$ . . . . (*)
$U_{15} = 40 → a + 14b = 40$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 2b = 4$
$a + 14b = 40$
----------------------- $-$
$12b = 36$
$b = 3$
$a = -2$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{20} &= \dfrac{20}{2}(2.(-2) + 19.3)\\
&= 10.(-4 + 57)\\
&= 10.53\\
&= 530\\
\end{align}$
jawab: A.
3. UNBK MtkIPA 2019
Diketahui suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 28 dan 44. jumlah 25 suku pertama deret tersebut adalah . . . .
A. 1.600
B. 1.650
C. 1.700
D. 1.800
E. 1.850
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 1.600
B. 1.650
C. 1.700
D. 1.800
E. 1.850
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_n = a + (n - 1)b$
$U_3 = 28 → a + 2b = 28$ . . . . (*)
$U_7 = 44 → a + 6b = 44$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 2b = 28$
$a + 6b = 44$
---------------------- $-$
$4b = 16$
$b = 4$
$a = 20$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{25} &= \dfrac{25}{2}(2.20 + 24.4)\\
&= \dfrac{25}{2}(40 + 96)\\
&= \dfrac{25}{2}.136\\
&= 1.700\\
\end{align}$
jawab: C.
$U_3 = 28 → a + 2b = 28$ . . . . (*)
$U_7 = 44 → a + 6b = 44$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 2b = 28$
$a + 6b = 44$
---------------------- $-$
$4b = 16$
$b = 4$
$a = 20$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{25} &= \dfrac{25}{2}(2.20 + 24.4)\\
&= \dfrac{25}{2}(40 + 96)\\
&= \dfrac{25}{2}.136\\
&= 1.700\\
\end{align}$
jawab: C.
4. UNBK MtkIPA 2018
Diketahui $U_n$ menyatakan suku $ke-n$ suatu barisan geometri yang suku-sukunya positif. Jika $U_7 - U_3 = 24\sqrt{2}$ dan $U_3 = 3\sqrt{3}U_2$, suku $ke-6$ barisan tersebut adalah . . . .
$A.\ \sqrt{2}$
$B.\ \sqrt{6}$
$C.\ 3\sqrt{6}$
$D.\ 9\sqrt{2}$
$E.\ 9\sqrt{6}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ \sqrt{2}$
$B.\ \sqrt{6}$
$C.\ 3\sqrt{6}$
$D.\ 9\sqrt{2}$
$E.\ 9\sqrt{6}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_7 - U_3 = 24\sqrt{2}$
$ar^6 - ar^2 = 24\sqrt{2}$ . . . . (*)
$U_5 = 3\sqrt{3}U_2$
$ar^4 = 3\sqrt{3}.ar$
$r^3 = 3\sqrt{3}$
$r^3 = (\sqrt{3})^3$
$r = \sqrt{3}$
Masukkan $r = \sqrt{3}$ ke persamaan (*)
$a.(\sqrt{3})^6 - a.(\sqrt{3})^2 = 24\sqrt{2}$
$27a - 3a = 24\sqrt{2}$
$24a = 24\sqrt{2}$
$a = \sqrt{2}$
$\begin{align}
U_6 &= ar^5\\
&= \sqrt{2}.(\sqrt{3})^5\\
&= (\sqrt{3})^4.\sqrt{2}.\sqrt{3}\\
&= 9\sqrt{6}\\
\end{align}$
jawab: E.
$ar^6 - ar^2 = 24\sqrt{2}$ . . . . (*)
$U_5 = 3\sqrt{3}U_2$
$ar^4 = 3\sqrt{3}.ar$
$r^3 = 3\sqrt{3}$
$r^3 = (\sqrt{3})^3$
$r = \sqrt{3}$
Masukkan $r = \sqrt{3}$ ke persamaan (*)
$a.(\sqrt{3})^6 - a.(\sqrt{3})^2 = 24\sqrt{2}$
$27a - 3a = 24\sqrt{2}$
$24a = 24\sqrt{2}$
$a = \sqrt{2}$
$\begin{align}
U_6 &= ar^5\\
&= \sqrt{2}.(\sqrt{3})^5\\
&= (\sqrt{3})^4.\sqrt{2}.\sqrt{3}\\
&= 9\sqrt{6}\\
\end{align}$
jawab: E.
5. UNBK MtkIPS 2018
Seorang ayah menabung uangnya di rumah. Setiap bulan besar tabungan bertambah secara tetap dimulai dari bulan pertama Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Jumlah tabungan selama 10 bulan adalah . . . .
A. Rp500.000,00
B. Rp550.000,00
C. Rp600.000,00
D. Rp700.000,00
E. Rp725.000,00
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. Rp500.000,00
B. Rp550.000,00
C. Rp600.000,00
D. Rp700.000,00
E. Rp725.000,00
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 50000$
$b = 5000$
$n = 10$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{10} &= \dfrac{10}{2}(2.50000 + 9.5000)\\
&= 5.(100000 + 45000)\\
&= 5.145000\\
&= Rp725.000,00\\
\end{align}$
jawab: E.
$b = 5000$
$n = 10$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{10} &= \dfrac{10}{2}(2.50000 + 9.5000)\\
&= 5.(100000 + 45000)\\
&= 5.145000\\
&= Rp725.000,00\\
\end{align}$
jawab: E.
6. UNBK MtkIPS 2017
Suku ke-6 dan ke-10 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 20 dan 32. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah . . . .
A. 456
B. 210
C. 185
D. 160
E. 155
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 456
B. 210
C. 185
D. 160
E. 155
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_6 = 20 → a + 5b = 20$ . . . . (*)
$U_{10} = 32 → a + 9b = 32$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 5b = 20$
$a + 9b = 32$
----------------------- $-$
$4b = 12$
$b = 3$
$a = 5$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{10}&= \dfrac{10}{2}(2.5 + 9.3)\\
&= 5.(10 + 27)\\
&= 5.37\\
&= 185\\
\end{align}$
jawab: C.
$U_{10} = 32 → a + 9b = 32$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 5b = 20$
$a + 9b = 32$
----------------------- $-$
$4b = 12$
$b = 3$
$a = 5$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{10}&= \dfrac{10}{2}(2.5 + 9.3)\\
&= 5.(10 + 27)\\
&= 5.37\\
&= 185\\
\end{align}$
jawab: C.
7. UNBK MtkIPA 2017
Adit menabung setiap bulan di sebuah bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah . . . .
A. Rp1.015.000,00
B. Rp1.150.000,00
C. Rp1.290.000,00
D. Rp1.320.000,00
E. Rp1.340.000,00
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. Rp1.015.000,00
B. Rp1.150.000,00
C. Rp1.290.000,00
D. Rp1.320.000,00
E. Rp1.340.000,00
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 80000$
$b = 5000$
$n = 12$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{12} &= \dfrac{12}{2}(2.80000 + 11.5000)\\
&= 6.(160000 + 55000)\\
&= 6.(215000)\\
&= Rp1.290.000,00\\
\end{align}$
jawab: C.
$b = 5000$
$n = 12$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{12} &= \dfrac{12}{2}(2.80000 + 11.5000)\\
&= 6.(160000 + 55000)\\
&= 6.(215000)\\
&= Rp1.290.000,00\\
\end{align}$
jawab: C.
8. UNBK MtkIPS 2016
Dalam sebuah barisan aritmetika, suku $ke-8$ adalah 37 dan suku $ke-11$ adalah 52. Jumlah sepuluh suku pertama barisan tersebut adalah . . . .
A. 245
B. 270
C. 305
D. 355
E. 400
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 245
B. 270
C. 305
D. 355
E. 400
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_8 = 37 → a + 7b = 37$ . . . . (*)
$U_{11} = 52 → a + 10b = 52$ . . . . (*)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 7b = 37$
$a + 10b = 52$
----------------------- $-$
$3b = 15$
$b = 5$
$a = 2$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{10} &= \dfrac{10}{2}(2.2 + 9.5)\\
&= 5.(4 + 45)\\
&= 5.49\\
&= 245\\
\end{align}$
jawab: A.
$U_{11} = 52 → a + 10b = 52$ . . . . (*)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + 7b = 37$
$a + 10b = 52$
----------------------- $-$
$3b = 15$
$b = 5$
$a = 2$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S_{10} &= \dfrac{10}{2}(2.2 + 9.5)\\
&= 5.(4 + 45)\\
&= 5.49\\
&= 245\\
\end{align}$
jawab: A.
9. UNBK MtkIPS 2016
Deret geometri tak hingga $6 + 3 + \dfrac32 + \dfrac34 + \dfrac38 + \cdots = \cdots$
$A.\ 11$
$B.\ 11\dfrac12$
$C.\ 11\dfrac34$
$D.\ 12$
$E.\ 12\dfrac34$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 11$
$B.\ 11\dfrac12$
$C.\ 11\dfrac34$
$D.\ 12$
$E.\ 12\dfrac34$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 6$
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac36 = \dfrac12$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{6}{1 - \dfrac12}\\
&= \dfrac{6}{\dfrac12}\\
&= 6.2\\
&= 12\\
\end{align}$
jawab: D.
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac36 = \dfrac12$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{6}{1 - \dfrac12}\\
&= \dfrac{6}{\dfrac12}\\
&= 6.2\\
&= 12\\
\end{align}$
jawab: D.
10. UNBK MtkIPA 2016
Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adalah 8, suku keempat adalah 14, dan suku terakhir 23. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah . . . .
A. 56
B. 77
C. 98
D. 105
E. 112
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 56
B. 77
C. 98
D. 105
E. 112
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_2 = 8 → a + b = 8$ . . . . (*)
$U_4 = 14 → a + 3b = 14$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 8$
$a + 3b = 14$
--------------------- $-$
$2b = 6$
$b = 3$
$a = 5$
$U_n = 23$
$a + (n - 1)b = 23$
$5 + (n - 1).3 = 23$
$3n + 2 = 23$
$3n = 21$
$n = 7$
$U_7 = 23$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(a + U_n)\\
S_7 &= \dfrac72(5 + U_7)\\
&= \dfrac72(5 + 23)\\
&= \dfrac72.28\\
&= 7.14\\
&= 98\\
\end{align}$
jawab: C.
$U_4 = 14 → a + 3b = 14$ . . . . (**)
Eliminasi persamaan (*) dan (**)
$a + b = 8$
$a + 3b = 14$
--------------------- $-$
$2b = 6$
$b = 3$
$a = 5$
$U_n = 23$
$a + (n - 1)b = 23$
$5 + (n - 1).3 = 23$
$3n + 2 = 23$
$3n = 21$
$n = 7$
$U_7 = 23$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(a + U_n)\\
S_7 &= \dfrac72(5 + U_7)\\
&= \dfrac72(5 + 23)\\
&= \dfrac72.28\\
&= 7.14\\
&= 98\\
\end{align}$
jawab: C.
11. UNBK MtkIPA 2013
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $S_n = \dfrac52n^2 + \dfrac32n$. Suku ke-10 dari deret aritmetika tersebut adalah . . . .
$A.\ 49$
$B.\ 47\dfrac12$
$C.\ 35$
$D.\ 33\dfrac12$
$E.\ 29$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 49$
$B.\ 47\dfrac12$
$C.\ 35$
$D.\ 33\dfrac12$
$E.\ 29$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$\begin{align}
S_{10} &= \dfrac52.10^2 + \dfrac32.10\\
&= \dfrac52.100 + \dfrac32.10\\
&= 250 + 15\\
&= 265\\
S_9 &= \dfrac52.9^2 + \dfrac32.9\\
&= \dfrac52.81 + \dfrac32.9\\
&= 202\dfrac12 + 13\dfrac12\\
&= 216\\
\end{align}$
$\begin{align}
U_n &= S_n - S_{n - 1}\\
U_{10} &= S_{10} - S_9\\
&= 265 - 216\\
&= 49\\
\end{align}$
jawab: A.
S_{10} &= \dfrac52.10^2 + \dfrac32.10\\
&= \dfrac52.100 + \dfrac32.10\\
&= 250 + 15\\
&= 265\\
S_9 &= \dfrac52.9^2 + \dfrac32.9\\
&= \dfrac52.81 + \dfrac32.9\\
&= 202\dfrac12 + 13\dfrac12\\
&= 216\\
\end{align}$
$\begin{align}
U_n &= S_n - S_{n - 1}\\
U_{10} &= S_{10} - S_9\\
&= 265 - 216\\
&= 49\\
\end{align}$
jawab: A.
12. UNBK MtkIPA 2013
Suatu pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun $ke-16$. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun yang $ke-16$ adalah . . . .
A. 45.760
B. 45.000
C. 16.960
D. 16.000
E. 9.760
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 45.760
B. 45.000
C. 16.960
D. 16.000
E. 9.760
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 1960$
$b = -120$
$n = 16$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S{16} &= \dfrac{16}{2}(2.1960 + 15.(-120))\\
&= 8.(3920 - 1800)\\
&= 8.2120\\
&= 16.960\\
\end{align}$
jawab: C.
$b = -120$
$n = 16$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(2a + (n - 1)b)\\
S{16} &= \dfrac{16}{2}(2.1960 + 15.(-120))\\
&= 8.(3920 - 1800)\\
&= 8.2120\\
&= 16.960\\
\end{align}$
jawab: C.
13. Tryout UNBK MtkIPS 2019
Diketahui barisan aritmetika dengan $U_n$ adalah suku $ke-n$. Jika $U_3 + U_{10} + U_{32} = 135$, maka $U_{15} = \cdots$
A. 30
B. 35
C. 40
D. 45
E. 50
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 30
B. 35
C. 40
D. 45
E. 50
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_3 + U_{10} + U_{32} = 135$
$a + 2b + a + 9b + a + 31b = 135$
$3a + 42b = 135$
$a + 14b = 45$
$U_{15} = a + 14b = 45$
jawab: D.
$a + 2b + a + 9b + a + 31b = 135$
$3a + 42b = 135$
$a + 14b = 45$
$U_{15} = a + 14b = 45$
jawab: D.
14. Tryout UNBK MtkIPS 2019
Jumlah deret tak hingga $12 + 6 + 3 + \dfrac32 + \cdots = \cdots$
A. 23
B. 23,5
C. 24
D. 24,5
E. 25
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 23
B. 23,5
C. 24
D. 24,5
E. 25
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 12$
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{12}{1 - \dfrac12}\\
&= \dfrac{12}{\dfrac12}\\
&= 12.2\\
&= 24\\
\end{align}$
jawab: C.
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{12}{1 - \dfrac12}\\
&= \dfrac{12}{\dfrac12}\\
&= 12.2\\
&= 24\\
\end{align}$
jawab: C.
15. UNBK MtkIPA 2019
Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap bakteri tertentu. Setiap $\dfrac12$ hari bakteri membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 bakteri. Jika setiap 2 hari $\dfrac14$ dari jumlah bakteri mati, banyak bakteri setelah 3 hari adalah . . . .
$A.\ 48\ bakteri$
$B.\ 64\ bakteri$
$C.\ 96\ bakteri$
$D.\ 128\ bakteri$
$E.\ 192\ bakteri$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 48\ bakteri$
$B.\ 64\ bakteri$
$C.\ 96\ bakteri$
$D.\ 128\ bakteri$
$E.\ 192\ bakteri$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$Mula-mula → 2$
$\dfrac12\ hari\ pertama → 4$
$1\ hari\ pertama → 8$
$1\dfrac12\ hari\ pertama → 16$
$2\ hari\ pertama → 32$, kemudian mati sebanyak $\dfrac14.32 = 8$ sehingga tersisa 24 bakteri.
$2\dfrac12\ hari\ pertama → 48$
$3\ hari\ pertama → 96.$
jawab: C.
$\dfrac12\ hari\ pertama → 4$
$1\ hari\ pertama → 8$
$1\dfrac12\ hari\ pertama → 16$
$2\ hari\ pertama → 32$, kemudian mati sebanyak $\dfrac14.32 = 8$ sehingga tersisa 24 bakteri.
$2\dfrac12\ hari\ pertama → 48$
$3\ hari\ pertama → 96.$
jawab: C.
16. UNBK MtkIPA 2019
Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac34$ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah . . . .
$A.\ 12\ m$
$B.\ 14\ m$
$C.\ 16\ m$
$D.\ 18\ m$
$E.\ 20\ m$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 12\ m$
$B.\ 14\ m$
$C.\ 16\ m$
$D.\ 18\ m$
$E.\ 20\ m$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
Perhatikan gambar lintasan turun dan lintasan naik dari bola tenis !
Lintasan turun (warna merah):
$a = 2,\ r = \dfrac34$
$\begin{align}S_\infty &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{2}{1 - \dfrac34}\\
&= \dfrac{2}{\dfrac14}\\
&= 2.4\\
&= 8\end{align}$
Lintasan naik (warna kuning):
$a = \dfrac34.2 = \dfrac32$
$r = \dfrac34$
$\begin{align}
S_\infty &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{\dfrac32}{1 - \dfrac34}\\
&= \dfrac{\dfrac32}{\dfrac14}\\
&= \dfrac32.\dfrac41\\
&= 6\end{align}$
$Lintasan\ total\ = 8 + 6 = 14\ m$
jawab: B.
Lintasan turun (warna merah):
$a = 2,\ r = \dfrac34$
$\begin{align}S_\infty &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{2}{1 - \dfrac34}\\
&= \dfrac{2}{\dfrac14}\\
&= 2.4\\
&= 8\end{align}$
Lintasan naik (warna kuning):
$a = \dfrac34.2 = \dfrac32$
$r = \dfrac34$
$\begin{align}
S_\infty &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{\dfrac32}{1 - \dfrac34}\\
&= \dfrac{\dfrac32}{\dfrac14}\\
&= \dfrac32.\dfrac41\\
&= 6\end{align}$
$Lintasan\ total\ = 8 + 6 = 14\ m$
jawab: B.
17. UNBK MtkIPA 2018
Suku ke-6 dari barisan geometri $36 + 24 + 16 + \cdots\ adalah \cdots$
$A.\ 4\dfrac{18}{27}$
$B.\ 4\dfrac{20}{27}$
$C.\ 7\dfrac19$
$D.\ 9\dfrac23$
$E.\ 10\dfrac23$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 4\dfrac{18}{27}$
$B.\ 4\dfrac{20}{27}$
$C.\ 7\dfrac19$
$D.\ 9\dfrac23$
$E.\ 10\dfrac23$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 36$
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$
$\begin{align}
U_n &= a.r^{n - 1}\\
U_6 &= 36.\left(\dfrac23\right)^{(6 - 1)}\\
&= 36.\left(\dfrac23\right)^5\\
&= 36.\dfrac{32}{243}\\
&= 4.\dfrac{32}{27}\\
&= \dfrac{128}{27}\\
&= 4\dfrac{20}{27}\\
\end{align}$
jawab: B.
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$
$\begin{align}
U_n &= a.r^{n - 1}\\
U_6 &= 36.\left(\dfrac23\right)^{(6 - 1)}\\
&= 36.\left(\dfrac23\right)^5\\
&= 36.\dfrac{32}{243}\\
&= 4.\dfrac{32}{27}\\
&= \dfrac{128}{27}\\
&= 4\dfrac{20}{27}\\
\end{align}$
jawab: B.
18. UNBK MtkIPS 2017
Pertambahan Penduduk suatu kota setiap tahun diasumsikan mengikuti barisan geometri. Pada tahun 2011 pertambahannya sebanyak 4 orang dan pada tahun 2013 sebanyak 64 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2015 adalah . . . .
A. 256 orang
B. 572 orang
C. 1.024 orang
D. 2.048 orang
E. 3.032 orang
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 256 orang
B. 572 orang
C. 1.024 orang
D. 2.048 orang
E. 3.032 orang
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 4$ . . . . (*)
$U_3 = 64 → ar^2 = 64$ . . . . (**)
Masukkan persamaan (*) ke persamaan (**)
$4r^2 = 64$
$r^2 = 16$
$r = \pm 4$
$\begin{align}
U_5 &= 4.(\pm 4)^{(5 - 1)}\\
&= 4.(\pm 4)^4\\
&= 1.024\\
\end{align}$
jawab: C.
$U_3 = 64 → ar^2 = 64$ . . . . (**)
Masukkan persamaan (*) ke persamaan (**)
$4r^2 = 64$
$r^2 = 16$
$r = \pm 4$
$\begin{align}
U_5 &= 4.(\pm 4)^{(5 - 1)}\\
&= 4.(\pm 4)^4\\
&= 1.024\\
\end{align}$
jawab: C.
19. UNBK MtkIPS 2017
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 16 dan suku ke-8 adalah 128. Suku ke-12 barisan tersebut adalah . . . .
A. 256
B. 1.024
C. 2.048
D. 3.164
E. 4.096
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 256
B. 1.024
C. 2.048
D. 3.164
E. 4.096
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_5 = 16 → ar^4 = 16$ . . . . (*)
$U_8 = 128 → ar^7 = 128$ . . . . (**)
Bagi persamaan (**) dengan persamaan (*)
$\dfrac{ar^7}{ar^4} = \dfrac{128}{16}$
$r^3 = 8$
$r^3 = 2^3$
$r = 2$
Masukkan $r = 2$ ke persamaan (*)
$a.2^4 = 16$
$a.16 = 16$
$a = 1$
$\begin{align}
U_{12} &= a.r^{11}\\
&= 1.2^{11}\\
&= 2.048\\
\end{align}$
jawab: C.
$U_8 = 128 → ar^7 = 128$ . . . . (**)
Bagi persamaan (**) dengan persamaan (*)
$\dfrac{ar^7}{ar^4} = \dfrac{128}{16}$
$r^3 = 8$
$r^3 = 2^3$
$r = 2$
Masukkan $r = 2$ ke persamaan (*)
$a.2^4 = 16$
$a.16 = 16$
$a = 1$
$\begin{align}
U_{12} &= a.r^{11}\\
&= 1.2^{11}\\
&= 2.048\\
\end{align}$
jawab: C.
20. UN MtkIPA 2013
Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp60.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi $\dfrac34$ dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah . . . .
A. Rp20.000.000,00
B. Rp25.312.500,00
C. Rp33.750.000,00
D. Rp35.000.000,00
E. Rp45.000.000,00
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. Rp20.000.000,00
B. Rp25.312.500,00
C. Rp33.750.000,00
D. Rp35.000.000,00
E. Rp45.000.000,00
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
cara I:
$M = 60000000$
$1 - p = \dfrac34 = 0,75$
$n = 3$
$\begin{align}
Mn &= M(1 - p)^n\\
M_3 &= 60000000(0,75)^3\\
&= Rp25.312.500,00
\end{align}$
cara II:
Harga mobil akhir tahun pertama:
$H_1 = \dfrac34.60000000$
$= Rp45.000.000,00$
Harga mobil akhir tahun kedua:
$H_2 = \dfrac34.45000000$
$= Rp33.750.000,00$
Harga mobil pada akhir tahun ketiga:
$H_3 = \dfrac34.33750000$
$= Rp25.312.500,00$
jawab: B.
$M = 60000000$
$1 - p = \dfrac34 = 0,75$
$n = 3$
$\begin{align}
Mn &= M(1 - p)^n\\
M_3 &= 60000000(0,75)^3\\
&= Rp25.312.500,00
\end{align}$
cara II:
Harga mobil akhir tahun pertama:
$H_1 = \dfrac34.60000000$
$= Rp45.000.000,00$
Harga mobil akhir tahun kedua:
$H_2 = \dfrac34.45000000$
$= Rp33.750.000,00$
Harga mobil pada akhir tahun ketiga:
$H_3 = \dfrac34.33750000$
$= Rp25.312.500,00$
jawab: B.
21. UNBK MtkIPA 2017
Suatu barisan geometri: $16,\ 8,\ 4,\ 2,\ \cdots,$ maka jumlah n suku pertama adalah . . . .
$A.\ 2^{n - 5} - 32$
$B.\ 2^{5 - n} - 32$
$C.\ 32 - 2^{5 - n}$
$D.\ 32 - 2^{n - 5}$
$E.\ 32 - \left(\dfrac12\right)^{5 - n}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 2^{n - 5} - 32$
$B.\ 2^{5 - n} - 32$
$C.\ 32 - 2^{5 - n}$
$D.\ 32 - 2^{n - 5}$
$E.\ 32 - \left(\dfrac12\right)^{5 - n}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 16$
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{8}{16} = \dfrac12$
$r < 1$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\\
&= \dfrac{16.\left(1 - \left(\dfrac12\right)^n\right)}{1 - \dfrac12}\\
&= \dfrac{2^4.(1 - 2^{-n})}{\dfrac12}\\
&= 2^5(1 - 2^{-n})\\
&= 2^5 - 2^5.2^{-n}\\
&= 32 - 2^{5 - n}\\
\end{align}$
jawab: C.
$r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{8}{16} = \dfrac12$
$r < 1$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\\
&= \dfrac{16.\left(1 - \left(\dfrac12\right)^n\right)}{1 - \dfrac12}\\
&= \dfrac{2^4.(1 - 2^{-n})}{\dfrac12}\\
&= 2^5(1 - 2^{-n})\\
&= 2^5 - 2^5.2^{-n}\\
&= 32 - 2^{5 - n}\\
\end{align}$
jawab: C.
22. UNBK MtkIPA 2016
Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah . . . .
A. 310 cm
B. 470 cm
C. 550 cm
D. 630 cm
E. 650 cm
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 310 cm
B. 470 cm
C. 550 cm
D. 630 cm
E. 650 cm
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$n = 6$
$a = U_1 = 10$
$U_6 = 320$
$ar^5 = 320$
$10.r^5 = 320$
$r^5 = 32$
$r^5 = 2^5$
$r = 2 > 1$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\\
&= \dfrac{10.(2^6 - 1)}{2 - 1}\\
&= 10.(64 - 1)\\
&= 630\ cm
\end{align}$
jawab: D.
$a = U_1 = 10$
$U_6 = 320$
$ar^5 = 320$
$10.r^5 = 320$
$r^5 = 32$
$r^5 = 2^5$
$r = 2 > 1$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\\
&= \dfrac{10.(2^6 - 1)}{2 - 1}\\
&= 10.(64 - 1)\\
&= 630\ cm
\end{align}$
jawab: D.
23. UN MtkIPS 2015
Suku $ke-2$ dan suku $ke-5$ suatu barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 96. Suku $ke-7$ barisan tersebut adalah . . . .
A. 192
B. 288
C. 384
D. 576
E. 768
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 192
B. 288
C. 384
D. 576
E. 768
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_2 = 12 → ar = 12$ . . . . (*)
$U_5 = 96 → ar^4 = 96$ . . . . (**)
Bagi pers (**) dengan pers (*)
$\dfrac{ar^4}{ar} = \dfrac{96}{12}$
$r^3 = 8$
$r^3 = 2^3$
$r = 2$
Masukkan $r = 2$ ke pers (*)
$a.2 = 12$
$a = 6$
$\begin{align}
U_n &= ar^{n - 1}\\
U_7 &= 6.2^{7 - 1}\\
&= 6.2^6\\
&= 6.64\\
&= 384\\
\end{align}$
jawab: C.
$U_5 = 96 → ar^4 = 96$ . . . . (**)
Bagi pers (**) dengan pers (*)
$\dfrac{ar^4}{ar} = \dfrac{96}{12}$
$r^3 = 8$
$r^3 = 2^3$
$r = 2$
Masukkan $r = 2$ ke pers (*)
$a.2 = 12$
$a = 6$
$\begin{align}
U_n &= ar^{n - 1}\\
U_7 &= 6.2^{7 - 1}\\
&= 6.2^6\\
&= 6.64\\
&= 384\\
\end{align}$
jawab: C.
24. UN MtkIPA 2015
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 5 m dan memantul kembali dengan $\dfrac23$ kali tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah . . . .
A. 10 m
B. 15 m
C. 20 m
D. 25 m
E. 30 m
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 10 m
B. 15 m
C. 20 m
D. 25 m
E. 30 m
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
Lintasan Jatuh:
$a = 5$
$r = \dfrac23$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{5}{1 - \dfrac23}\\
&= \dfrac{5}{\dfrac13}\\
&= 5.3\\
&= 15\ m\\
\end{align}$
Lintasan Pantul:
$a = 5.\dfrac23 = \dfrac{10}{3}$
$r = \dfrac23$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{\dfrac{10}{3}}{1 - \dfrac23}\\
&= \dfrac{\dfrac{10}{3}}{\dfrac13}\\
&= \dfrac{10}{3}.\dfrac{3}{1}\\
&= 10\ m\\
\end{align}$
Panjang lintasan total = Lintasan Jatuh + Lintasan Pantul
= 15 + 10
= 25 m.
jawab: D.
$a = 5$
$r = \dfrac23$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{5}{1 - \dfrac23}\\
&= \dfrac{5}{\dfrac13}\\
&= 5.3\\
&= 15\ m\\
\end{align}$
Lintasan Pantul:
$a = 5.\dfrac23 = \dfrac{10}{3}$
$r = \dfrac23$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{\dfrac{10}{3}}{1 - \dfrac23}\\
&= \dfrac{\dfrac{10}{3}}{\dfrac13}\\
&= \dfrac{10}{3}.\dfrac{3}{1}\\
&= 10\ m\\
\end{align}$
Panjang lintasan total = Lintasan Jatuh + Lintasan Pantul
= 15 + 10
= 25 m.
jawab: D.
25. UN MtkIPS 2014
Suatu gedung pertunjukan mempunyai beberapa baris kursi. Setelah baris pertama, setiap baris mempunyai kursi 3 lebih banyak dari pada baris sebelumnya. Perbandingan banyaknya kursi pada baris $ke-5$ dan $ke-10$ adalah $6 : 11$. Baris terakhir mempunyai 57 kursi. Banyaknya kursi yang dimiliki gedung tersebut adalah . . . .
A. 516
B. 520
C. 540
D. 567
E. 657
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 516
B. 520
C. 540
D. 567
E. 657
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$b = 3$
$\dfrac{U_5}{U_{10}} = \dfrac{6}{11}$
$\dfrac{a + 4b}{a + 9b} = \dfrac{6}{11}$
$(a + 4b)11 = (a + 9b).6$
$11a + 44b = 6a + 54b$
$5a = 10b$
$5a = 10.3$
$5a = 30$
$a = 6$
$U_n = 57$
$a + (n - 1)b = 57$
$6 + (n - 1).3 = 57$
$6 + 3n - 3 = 57$
$3n + 3 = 57$
$3n = 54$
$n = 18$
$U_{18} = 57$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(a + U_n)\\
S_{18} &= \dfrac{18}{2}(6 + U_{18})\\
&= 9.(6 + 57)\\
&= 9.63\\
&= 567\\
\end{align}$
jawab: D.
$\dfrac{U_5}{U_{10}} = \dfrac{6}{11}$
$\dfrac{a + 4b}{a + 9b} = \dfrac{6}{11}$
$(a + 4b)11 = (a + 9b).6$
$11a + 44b = 6a + 54b$
$5a = 10b$
$5a = 10.3$
$5a = 30$
$a = 6$
$U_n = 57$
$a + (n - 1)b = 57$
$6 + (n - 1).3 = 57$
$6 + 3n - 3 = 57$
$3n + 3 = 57$
$3n = 54$
$n = 18$
$U_{18} = 57$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(a + U_n)\\
S_{18} &= \dfrac{18}{2}(6 + U_{18})\\
&= 9.(6 + 57)\\
&= 9.63\\
&= 567\\
\end{align}$
jawab: D.
26. SBMPTN Mdas 2018
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac12$ dan suatu barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda b. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai 1. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai b adalah . . . .
$A.\ \dfrac{1}{15}$
$B.\ \dfrac{2}{15}$
$C.\ \dfrac15$
$D.\ \dfrac13$
$E.\ \dfrac{8}{15}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ \dfrac{1}{15}$
$B.\ \dfrac{2}{15}$
$C.\ \dfrac15$
$D.\ \dfrac13$
$E.\ \dfrac{8}{15}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
Deret Geometri:
$a + ar + ar^2 + ar^3 = 1$
$a + \dfrac12a + \dfrac14a + \dfrac18a = 1$
$\dfrac{15}{8}a = 1$
$a = \dfrac{8}{15}$
Deret Aritmetika:
$U_1 + U_2 + U_3 = 1$
Misalkan suku pertama adalah c, dan bedanya adalah b.
$c + c + b + c + 2b = 1$
$3c + 3b = 1$ . . . . (*)
Karena suku pertama barisan geometri sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka:
$c + 2b = a$
$c + 2b = \dfrac{8}{15}$
$3c + 6b = \dfrac85$ . . . . (*)
Eliminasi persamaan (*) dan (*)
$3c + 3b = 1$
$3c + 6b = \dfrac85$
------------------------------ $-$
$3b = \dfrac35$
$b = \dfrac15$
jawab: C.
$a + ar + ar^2 + ar^3 = 1$
$a + \dfrac12a + \dfrac14a + \dfrac18a = 1$
$\dfrac{15}{8}a = 1$
$a = \dfrac{8}{15}$
Deret Aritmetika:
$U_1 + U_2 + U_3 = 1$
Misalkan suku pertama adalah c, dan bedanya adalah b.
$c + c + b + c + 2b = 1$
$3c + 3b = 1$ . . . . (*)
Karena suku pertama barisan geometri sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka:
$c + 2b = a$
$c + 2b = \dfrac{8}{15}$
$3c + 6b = \dfrac85$ . . . . (*)
Eliminasi persamaan (*) dan (*)
$3c + 3b = 1$
$3c + 6b = \dfrac85$
------------------------------ $-$
$3b = \dfrac35$
$b = \dfrac15$
jawab: C.
27. SBMPTN Mdas 2018
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmetika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah . . . .
A. 8
B. 20
C. 24
D. 30
E. 36
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 8
B. 20
C. 24
D. 30
E. 36
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
Barisan Aritmetika:
$a,\ a + b,\ a + 2b,\ a + 3b$
$a,\ a + 2,\ a + 4,\ a + 6$
Barisan Geometri:
$a,\ a + 2, a + a + 4,\ 2.(a + 6)$
$a,\ a + 2,\ 2a + 4,\ 2a + 12$
$\dfrac{a + 2}{a} = \dfrac{2a + 4}{a + 2}$
$(a + 2)^2 = a(2a + 4)$
$a^2 + 4a + 4 = 2a^2 + 4a$
$a^2 - 4 = 0$
$(a + 2)(a - 2) = 0$
$a = 2\ atau\ a = -2$
Jika $a = 2$ barisan geometri menjadi:
$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ sdots$
Dengan demikian $2 + 4 + 8 + 16 = 30$.
Jika $a = -2$, tidak memenuhi syarat untuk membentuk barisan geometri.
jawab: D.
$a,\ a + b,\ a + 2b,\ a + 3b$
$a,\ a + 2,\ a + 4,\ a + 6$
Barisan Geometri:
$a,\ a + 2, a + a + 4,\ 2.(a + 6)$
$a,\ a + 2,\ 2a + 4,\ 2a + 12$
$\dfrac{a + 2}{a} = \dfrac{2a + 4}{a + 2}$
$(a + 2)^2 = a(2a + 4)$
$a^2 + 4a + 4 = 2a^2 + 4a$
$a^2 - 4 = 0$
$(a + 2)(a - 2) = 0$
$a = 2\ atau\ a = -2$
Jika $a = 2$ barisan geometri menjadi:
$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ sdots$
Dengan demikian $2 + 4 + 8 + 16 = 30$.
Jika $a = -2$, tidak memenuhi syarat untuk membentuk barisan geometri.
jawab: D.
28. SBMPTN Mdas 2017
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah $\dfrac{1}{32}$. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15, maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah . . . .
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
E. 70
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
E. 70
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$\dfrac{ar^5}{a} = \dfrac{1}{32}$
$r^5 = \left(\dfrac12\right)^5$
$r = \dfrac12$
$ar^2 + ar^3 = 15$
$a.\left(\dfrac12\right)^2 + a.\left(\dfrac12\right)^3 = 15$
$\dfrac14a + \dfrac18a = 15$
$\dfrac38a = 15$
$a = 40$
Barisan geometri menjadi:
$40,\ 20,\ 10,\ cdots$
Dengan demikian $40 + 20 + 10 = 70$
jawab: E.
$r^5 = \left(\dfrac12\right)^5$
$r = \dfrac12$
$ar^2 + ar^3 = 15$
$a.\left(\dfrac12\right)^2 + a.\left(\dfrac12\right)^3 = 15$
$\dfrac14a + \dfrac18a = 15$
$\dfrac38a = 15$
$a = 40$
Barisan geometri menjadi:
$40,\ 20,\ 10,\ cdots$
Dengan demikian $40 + 20 + 10 = 70$
jawab: E.
29. SBMPTN Mdas 2016
Bilangan $log(a^3b),\ log(a^2b^6),\ dan\ log(a^5b^7)$ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika. Jika suku $ke-9$ barisan tersebut adalah $log(b^p)$, maka $p = \cdots$
A. 36
B. 37
C. 38
D. 39
E. 40
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 36
B. 37
C. 38
D. 39
E. 40
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$log(a^2b^6) - log(a^3b) = log(a^5b^7) - log(a^2b^6)$
$log\ \left(\dfrac{a^2b^6}{a^3b}\right) = log\ \left(\dfrac{a^5b^7}{a^2b^6}\right)$
$log\ \left(\dfrac{b^5}{a}\right) = log\ a^3b$
$\dfrac{b^5}{a} = a^3b$
$b^4 = a^4$
$a = b$ . . . . (*)
Barisan aritmetika menjadi:
$log\ b^4,\ log\ b^{8},\ log\ b^{12}, \cdots$
Perhatikan pangkat dari b, membentuk barisan aritmetika.
$a = 4$
$b = 4$
$U_n = a + (n - 1)b$
$U_9 = 4 + 8.4 = 36$
$p = 36$
jawab: A.
$log\ \left(\dfrac{a^2b^6}{a^3b}\right) = log\ \left(\dfrac{a^5b^7}{a^2b^6}\right)$
$log\ \left(\dfrac{b^5}{a}\right) = log\ a^3b$
$\dfrac{b^5}{a} = a^3b$
$b^4 = a^4$
$a = b$ . . . . (*)
Barisan aritmetika menjadi:
$log\ b^4,\ log\ b^{8},\ log\ b^{12}, \cdots$
Perhatikan pangkat dari b, membentuk barisan aritmetika.
$a = 4$
$b = 4$
$U_n = a + (n - 1)b$
$U_9 = 4 + 8.4 = 36$
$p = 36$
jawab: A.
30. SBMPTN Mdas 2015
Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmetika adalah $1 : 3$, maka perbandingan suku kedua dan suku keempat dari barisan tersebut adalah . . . .
$A.\ 1 : 4$
$B.\ 1 : 3$
$C.\ 1 : 2$
$D.\ 2 : 3$
$E.\ 2 : 5$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 1 : 4$
$B.\ 1 : 3$
$C.\ 1 : 2$
$D.\ 2 : 3$
$E.\ 2 : 5$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$\dfrac{U_1}{U_3} = \dfrac13$
$\dfrac{a}{a + 2b} = \dfrac13$
$3a = a + 2b$
$2a = 2b$
$a = b$ . . . . (*)
$\begin{align}
\dfrac{U_2}{U_4} &= \dfrac{a + b}{a + 3b}\\
&= \dfrac{a + a}{a + 3.a}\\
&= \dfrac{2a}{4a}\\
&= \dfrac12\\
&= 1 : 2\\
\end{align}$
jawab: C.
$\dfrac{a}{a + 2b} = \dfrac13$
$3a = a + 2b$
$2a = 2b$
$a = b$ . . . . (*)
$\begin{align}
\dfrac{U_2}{U_4} &= \dfrac{a + b}{a + 3b}\\
&= \dfrac{a + a}{a + 3.a}\\
&= \dfrac{2a}{4a}\\
&= \dfrac12\\
&= 1 : 2\\
\end{align}$
jawab: C.
31. SBMPTN Mdas 2014
Jika $U_1 + U_2 +\ \cdots$ adalah deret geometri dengan $U_1 = x^{-2}$, $U_5 = x^2$, dan $U_6 = 8$, nilai $U_7$ adalah . . . .
A. 4
B. 9
C. 16
D. 27
E. 32
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 4
B. 9
C. 16
D. 27
E. 32
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = x^{-2}$ . . . . (*)
$U_5 = x^2$
$ar^4 = x^2$
$x^{-2}.r^4 = x^2$
$r^4 = \dfrac{x^2}{x^{-2}}$
$r^4 = x^4$
$r = x$ . . . . (**)
$U_6 = 8$
$ar^5 = 8$
$x^{-2}.x^5 = 8$
$x^3 = 2^3$
$x = 2$
$a = x^{-2} = 2^{-2} = \dfrac14$
$r = x = 2$
$U_7 = ar^6 = \dfrac14.2^6 = \dfrac14.64 = 16$
jawab: C.
$U_5 = x^2$
$ar^4 = x^2$
$x^{-2}.r^4 = x^2$
$r^4 = \dfrac{x^2}{x^{-2}}$
$r^4 = x^4$
$r = x$ . . . . (**)
$U_6 = 8$
$ar^5 = 8$
$x^{-2}.x^5 = 8$
$x^3 = 2^3$
$x = 2$
$a = x^{-2} = 2^{-2} = \dfrac14$
$r = x = 2$
$U_7 = ar^6 = \dfrac14.2^6 = \dfrac14.64 = 16$
jawab: C.
32. SBMPTN Mdas 2014
Tujuh bilangan berjumlah 133 membentuk barisan aritmetika. Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut. Jumlah semua bilangan di barisan baru adalah . . . .
A. 200
B. 240
C. 247
D. 250
E. 251
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 200
B. 240
C. 247
D. 250
E. 251
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$S_7 = \dfrac72(2a + 6b)$
$133 = 7(a + 3b)$
$a + 3b = \dfrac{133}{7}$ . . . . (*)
Barisan aritmatika yang baru:
Karena yang disisipkan hanya satu bilangan maka k = 1.
$\begin{align}
b' &= \dfrac{b}{k + 1}\\
&= \dfrac{b}{1 + 1}\\
&= \dfrac12b\\
\end{align}$
$U_1 = a$
$n = 13$
$\begin{align}
S'_n &= \dfrac{13}{2}(2a + 12b')\\
&= \dfrac{13}{2}(2a + 12.\dfrac12b)\\
&= \dfrac{13}{2}(2a + 6b)\\
&= 13.(a + 3b)\\
&= 13.\dfrac{133}{7}\\
&= 247
\end{align}$
jawab: C.
$133 = 7(a + 3b)$
$a + 3b = \dfrac{133}{7}$ . . . . (*)
Barisan aritmatika yang baru:
Karena yang disisipkan hanya satu bilangan maka k = 1.
$\begin{align}
b' &= \dfrac{b}{k + 1}\\
&= \dfrac{b}{1 + 1}\\
&= \dfrac12b\\
\end{align}$
$U_1 = a$
$n = 13$
$\begin{align}
S'_n &= \dfrac{13}{2}(2a + 12b')\\
&= \dfrac{13}{2}(2a + 12.\dfrac12b)\\
&= \dfrac{13}{2}(2a + 6b)\\
&= 13.(a + 3b)\\
&= 13.\dfrac{133}{7}\\
&= 247
\end{align}$
jawab: C.
33. UM UGM MtkIPA 2018
Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $\dfrac94$. Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $a\ dan\ -\dfrac 1a$, dengan $a > 0$. Jika $U_n$ menyatakan suku ke-n pada deret tersebut, maka $3U_6 - U_5 = \cdots$
$A.\ 0$
$B.\ \dfrac{2}{27}$
$C.\ -\dfrac{2}{27}$
$D.\ \dfrac{1}{27}$
$E.\ -\dfrac{1}{27}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 0$
$B.\ \dfrac{2}{27}$
$C.\ -\dfrac{2}{27}$
$D.\ \dfrac{1}{27}$
$E.\ -\dfrac{1}{27}$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$\dfrac94 = \dfrac{a}{1 + \dfrac 1a}$
$\dfrac94 = \dfrac{a}{\dfrac{a + 1}{a}}$
$\dfrac94 = \dfrac{a^2}{a + 1}$
$9a + 9 = 4a^2$
$4a^2 - 9a - 9 = 0$
$(a - 3)(4a + 3) = 0$
$a = 3\ atau\ a = -\dfrac34$
Karena $a > 0$, maka yang memenuhi syarat adalah $a = 3$
$r = -\dfrac 1a = -\dfrac13$
$\begin{align}
3U_6 - U_5 &= 3.ar^5 - ar^4\\
&= 3.3.\left(-\dfrac13\right)^5 - 3.\left(-\dfrac13\right)^4\\
&= -\dfrac{1}{27} - \dfrac{1}{27}\\
&= -\dfrac{2}{27}\\
\end{align}$
jawab: C.
$\dfrac94 = \dfrac{a}{1 + \dfrac 1a}$
$\dfrac94 = \dfrac{a}{\dfrac{a + 1}{a}}$
$\dfrac94 = \dfrac{a^2}{a + 1}$
$9a + 9 = 4a^2$
$4a^2 - 9a - 9 = 0$
$(a - 3)(4a + 3) = 0$
$a = 3\ atau\ a = -\dfrac34$
Karena $a > 0$, maka yang memenuhi syarat adalah $a = 3$
$r = -\dfrac 1a = -\dfrac13$
$\begin{align}
3U_6 - U_5 &= 3.ar^5 - ar^4\\
&= 3.3.\left(-\dfrac13\right)^5 - 3.\left(-\dfrac13\right)^4\\
&= -\dfrac{1}{27} - \dfrac{1}{27}\\
&= -\dfrac{2}{27}\\
\end{align}$
jawab: C.
34. UM UGM MtkIPA 2017
Diberikan suatu deret tak hingga $sin2xsin^2x + sin2xsin^4x + sin2xsin^6x + \cdots$ $0 < x \leq \dfrac{\pi}{4}$. Nilai maksimum deret tak hingga tersebut adalah . . . .
A. 32
B. 16
C. 8
D. 4
E. 1
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 32
B. 16
C. 8
D. 4
E. 1
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = sin2xsin^2x$
$r = \dfrac{sin2xsin^4x}{sin2xsin^2x} = sin^2x$
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$S_{\infty} = \dfrac{sin2xsin^2x}{1 - sin^2x}$
Ingat !
$cos^2x = 1 - sin^2x$
$cos2x = 1- 2sin^2x$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{sin2xsin^2x}{cos^2x}\\
&= sin2xtan^2x \end{align}$
Misalkan $S_{\infty} = f(x)$
$f(x) = sin2xtan^2x$
$\begin{align}
f'(x) &= 2cos2x.tan^2x + 2sin2x.tanx.sec^2x\\
&= 2(1 - 2sin^2x).tan^2x + 4sinxcosx.tanx.\dfrac{1}{cos^2x}\\
&= 2tan^2x - 4sin^2xtan^2x + 4tan^2x\\
&= 6tan^2x - 4sin2xtan^2x\\
&= tan^2x(6 - 4sin2x)\\
\end{align}$
Karena $-1 \leq sin2x \leq 1$, maka:
$f'(x) = tan^2x(6 - 4sin2x) > 0$
Karena $f'(x) > 0$, maka $f(x)$ merupakan fungsi monoton naik, dengan demikian nilai maksimum pada interval $0 < x < \dfrac{\pi}{4}$ adalah $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$f(x) = sin2xtan^2x$
$\begin{align}
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= sin\left(2.\dfrac{\pi}{4}\right).tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&= sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right).tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&= 1.1\\
&= 1\\
\end{align}$
jawab: E.
$r = \dfrac{sin2xsin^4x}{sin2xsin^2x} = sin^2x$
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$S_{\infty} = \dfrac{sin2xsin^2x}{1 - sin^2x}$
Ingat !
$cos^2x = 1 - sin^2x$
$cos2x = 1- 2sin^2x$
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{sin2xsin^2x}{cos^2x}\\
&= sin2xtan^2x \end{align}$
Misalkan $S_{\infty} = f(x)$
$f(x) = sin2xtan^2x$
$\begin{align}
f'(x) &= 2cos2x.tan^2x + 2sin2x.tanx.sec^2x\\
&= 2(1 - 2sin^2x).tan^2x + 4sinxcosx.tanx.\dfrac{1}{cos^2x}\\
&= 2tan^2x - 4sin^2xtan^2x + 4tan^2x\\
&= 6tan^2x - 4sin2xtan^2x\\
&= tan^2x(6 - 4sin2x)\\
\end{align}$
Karena $-1 \leq sin2x \leq 1$, maka:
$f'(x) = tan^2x(6 - 4sin2x) > 0$
Karena $f'(x) > 0$, maka $f(x)$ merupakan fungsi monoton naik, dengan demikian nilai maksimum pada interval $0 < x < \dfrac{\pi}{4}$ adalah $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$f(x) = sin2xtan^2x$
$\begin{align}
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= sin\left(2.\dfrac{\pi}{4}\right).tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&= sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right).tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&= 1.1\\
&= 1\\
\end{align}$
jawab: E.
35. UM UGM Mdas 2017
Pada suatu deret geometri diketahui suku $ke-6$ adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku $ke-2$, $ke-3$ dan $ke-4$ sama dengan $3\ log\ 2 + 3\ log\ 3$. Suku $ke-3$ deret tersebut adalah . . . .
A. 3
B. 6
C. 9
D. 18
E. 54
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 3
B. 6
C. 9
D. 18
E. 54
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_6 = 162$
$ar^5 = 162$
$ar^2.r^3 = 162$ . . . . (*)
$log\ ar + log\ ar^2 + log\ ar^3 = 3\ log\ 2 + 3\ log\ 3$
$log\ ar.ar^2.ar^3 = log\ 2^3.3^3$
$log\ a^3r^6 = log\ 2^3.3^3$
$a^3r^6 = 2^3.3^3$
$(ar^2)^3 = (2.3)^3$
$ar^2 = 6$ . . . . (**)
dari persamaan (*) dan (**)
$6r^3 = 162$
$r^3 = 27$
$r^3 = 3^3$
$r = 3$
Masukkan $r = 3$ ke pers (**)
$a.3^2 = 6$
$a = \dfrac23$
$U_3 = ar^2 = \dfrac23.3^2 = 6$
jawab: B.
Klik Pembahasan Soal Logaritma untuk mempelajari Logaritma.
$ar^5 = 162$
$ar^2.r^3 = 162$ . . . . (*)
$log\ ar + log\ ar^2 + log\ ar^3 = 3\ log\ 2 + 3\ log\ 3$
$log\ ar.ar^2.ar^3 = log\ 2^3.3^3$
$log\ a^3r^6 = log\ 2^3.3^3$
$a^3r^6 = 2^3.3^3$
$(ar^2)^3 = (2.3)^3$
$ar^2 = 6$ . . . . (**)
dari persamaan (*) dan (**)
$6r^3 = 162$
$r^3 = 27$
$r^3 = 3^3$
$r = 3$
Masukkan $r = 3$ ke pers (**)
$a.3^2 = 6$
$a = \dfrac23$
$U_3 = ar^2 = \dfrac23.3^2 = 6$
jawab: B.
Klik Pembahasan Soal Logaritma untuk mempelajari Logaritma.
36. UM UGM MtkIPA 2016
Jika $a,\ 4,\ b$ adalah tiga suku berurutan dari barisan aritmetika dan $a,\ 3,\ b$ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $\dfrac 1a + \dfrac 1b = \cdots$
$A.\ \dfrac14$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ \dfrac34$
$D.\ \dfrac89$
$E.\ \dfrac98$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ \dfrac14$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ \dfrac34$
$D.\ \dfrac89$
$E.\ \dfrac98$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
Deret aritmetika:
$U_2 - U_1 = U_3 - U_2$
$4 - a = b - 4$
$a + b = 8$ . . . . (*)
Deret geometri:
$\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{U_3}{U_2}$
$\dfrac 3a = \dfrac b3$
$ab = 9$ . . . . (**)
$\dfrac 1a + \dfrac 1b = \dfrac{a + b}{ab} = \dfrac89$
jawab: D.
$U_2 - U_1 = U_3 - U_2$
$4 - a = b - 4$
$a + b = 8$ . . . . (*)
Deret geometri:
$\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{U_3}{U_2}$
$\dfrac 3a = \dfrac b3$
$ab = 9$ . . . . (**)
$\dfrac 1a + \dfrac 1b = \dfrac{a + b}{ab} = \dfrac89$
jawab: D.
37. UM UGM Mdas 2015
Dalam suatu barisan aritmetika, perbandingan jumlah 5 suku pertama dan jumlah 10 suku pertama adalah 2 : 3. Jika $U_n$ menyatakan suku ke-n, maka nilai $log\left(\dfrac{U_5}{U_{10}} - 4\dfrac{U_{10}}{U_5}\right) = \cdots$
$A.\ log\ 117 - log\ 11$
$B.\ log\ 3 - log\ 32$
$C.\ log\ 32 - log\ 3$
$D.\ log\ 7 - log\ 6$
$E.\ log\ 6 - log\ 7$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ log\ 117 - log\ 11$
$B.\ log\ 3 - log\ 32$
$C.\ log\ 32 - log\ 3$
$D.\ log\ 7 - log\ 6$
$E.\ log\ 6 - log\ 7$
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$\dfrac{S_5}{S_{10}} = \dfrac{\dfrac 52(2a + 4b)}{\dfrac{10}{2}(2a + 9b)} = \dfrac23$
$\dfrac{2a + 4b}{2(2a + 9b)} = \dfrac23$
$3(2a + 4b) = 4(2a + 9b)$
$6a + 12b = 8a + 36b$
$-2a = 24b$
$a = -12b$ . . . . (*)
$log\left(\dfrac{U_5}{U_{10}} - 4\dfrac{U_{10}}{U_5}\right)$
$= log\left(\dfrac{(a + 4b)}{(a + 9b)} - 4.\dfrac{(a + 9b)}{(a + 4b)}\right)$
$= log\left(\dfrac{(-12b + 4b)}{(-12b + 9b)} - 4.\dfrac{(-12b + 9b)}{(-12b + 4b)}\right)$
$= log\left(\dfrac{(-8b)}{(-3b)} - 4.\dfrac{(-3b)}{(-8b)}\right)$
$= log\left(\dfrac{8}{3} - 4.\dfrac{3}{8}\right)$
$= log\left(\dfrac{8}{3} - \dfrac{12}{8}\right)$
$= log\left(\dfrac{28}{24}\right)$
$= log\left(\dfrac{7}{6}\right)$
$= log\ 7 - log\ 6$
jawab: D.
$\dfrac{2a + 4b}{2(2a + 9b)} = \dfrac23$
$3(2a + 4b) = 4(2a + 9b)$
$6a + 12b = 8a + 36b$
$-2a = 24b$
$a = -12b$ . . . . (*)
$log\left(\dfrac{U_5}{U_{10}} - 4\dfrac{U_{10}}{U_5}\right)$
$= log\left(\dfrac{(a + 4b)}{(a + 9b)} - 4.\dfrac{(a + 9b)}{(a + 4b)}\right)$
$= log\left(\dfrac{(-12b + 4b)}{(-12b + 9b)} - 4.\dfrac{(-12b + 9b)}{(-12b + 4b)}\right)$
$= log\left(\dfrac{(-8b)}{(-3b)} - 4.\dfrac{(-3b)}{(-8b)}\right)$
$= log\left(\dfrac{8}{3} - 4.\dfrac{3}{8}\right)$
$= log\left(\dfrac{8}{3} - \dfrac{12}{8}\right)$
$= log\left(\dfrac{28}{24}\right)$
$= log\left(\dfrac{7}{6}\right)$
$= log\ 7 - log\ 6$
jawab: D.
38. SBMPTN MtkIPA 2018
Jika $a + 1,\ a - 3,\ 2$ membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin adalah . . . .
A. 2
B. 4
C. 6
D. 7
E. 9
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 2
B. 4
C. 6
D. 7
E. 9
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{U_3}{U_2}$
$\dfrac{a - 3}{a + 1} = \dfrac{2}{a - 3}$
$(a - 3)^2 = 2.(a + 1)$
$a^2 - 6a + 9 = 2a + 2$
$a^2 - 8a + 7 = 0$
$(a - 1)(a - 7) = 0$
$a = 1\ atau\ a = 7$
Jika $a = 1$ barisan geometri menjadi:
$2,\ -2,\ 2,\ -2,\ 2,\ \cdots$
jumlah 11 suku pertama = 2.
Jika $a = 7$ barisan geometri menjadi:
$8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \cdots$
jumlah 11 suku pertama lebih besar dari 9, sementara nilai terbesar yang ada di opsi adalah 9.
jawab: A.
$\dfrac{a - 3}{a + 1} = \dfrac{2}{a - 3}$
$(a - 3)^2 = 2.(a + 1)$
$a^2 - 6a + 9 = 2a + 2$
$a^2 - 8a + 7 = 0$
$(a - 1)(a - 7) = 0$
$a = 1\ atau\ a = 7$
Jika $a = 1$ barisan geometri menjadi:
$2,\ -2,\ 2,\ -2,\ 2,\ \cdots$
jumlah 11 suku pertama = 2.
Jika $a = 7$ barisan geometri menjadi:
$8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \cdots$
jumlah 11 suku pertama lebih besar dari 9, sementara nilai terbesar yang ada di opsi adalah 9.
jawab: A.
39. SBMPTN MtkIPA 2018
Diketahui barisan geometri $U_n$, dengan $U_3 + U_4 = 9(U_1 + U_2)$ dan $U_1U_4 = 18U_2$. Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah . . . .
A. 66
B. 72
C. 78
D. 80
E. 88
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
A. 66
B. 72
C. 78
D. 80
E. 88
[Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_1U_4 = 18U_2$
$a.ar^3 = 18.ar$
$ar^2 = 18$ . . . . (*)
$U_3 + U_4 = 9(U_1 + U_2)$
$ar^2 + ar^3 = 9(a + ar)$
$a(r^3 + r^2) = a(r + 9)$
$r^3 + r^2 - r - 9 = 0$
dengan try and error kita dapat $r = -1$, kemudian dengan pembagian sintetik (cara Horner) bisa didapat faktor-faktor yang lain.
Klik Suku Banyak untuk mempelajari Suku Banyak dan Teorema sisa.
$(r + 1)(r + 3)(r - 3) = 0$
$r = -1 → a = 18$, deret geometri menjadi:
$18 - 18 + 18 - 18 = 0$
$r = -3 → a = 2$, deret geometri menjadi:
$2 - 6 + 18 - 54 = -40$
$r = 3 → a = 2$, deret geometri menjadi:
$2 + 6 + 18 + 54 = 80$
jawab: D.
$a.ar^3 = 18.ar$
$ar^2 = 18$ . . . . (*)
$U_3 + U_4 = 9(U_1 + U_2)$
$ar^2 + ar^3 = 9(a + ar)$
$a(r^3 + r^2) = a(r + 9)$
$r^3 + r^2 - r - 9 = 0$
dengan try and error kita dapat $r = -1$, kemudian dengan pembagian sintetik (cara Horner) bisa didapat faktor-faktor yang lain.
Klik Suku Banyak untuk mempelajari Suku Banyak dan Teorema sisa.
$(r + 1)(r + 3)(r - 3) = 0$
$r = -1 → a = 18$, deret geometri menjadi:
$18 - 18 + 18 - 18 = 0$
$r = -3 → a = 2$, deret geometri menjadi:
$2 - 6 + 18 - 54 = -40$
$r = 3 → a = 2$, deret geometri menjadi:
$2 + 6 + 18 + 54 = 80$
jawab: D.
40. SBMPTN MtkIPA 2017
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah . . . .
$A.\ 2(\sqrt[10]{2} - 1)$
$B.\ 2(\sqrt[5]{2} - 1)$
$C.\ 2(\sqrt{2})$
$D.\ 2(\sqrt[5]{2})$
$E.\ 2(\sqrt[10]{2})$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ 2(\sqrt[10]{2} - 1)$
$B.\ 2(\sqrt[5]{2} - 1)$
$C.\ 2(\sqrt{2})$
$D.\ 2(\sqrt[5]{2})$
$E.\ 2(\sqrt[10]{2})$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
Keuntungan dihitung tiap semester dan lama menabung lima tahun, maka n = 10.
$Mn = M(1 + p)^n$
$2M = M(1 + p)^{10}$
$2 = (1 + p)^{10}$
$\sqrt[10]{2} = 1 + p$
$p = \sqrt[10]{2} - 1$ ← tingkat suku bunga persemester.
$2p = 2(\sqrt[10]{2} - 1)$ ← tingkat suku bunga pertahun.
jawab: A.
$Mn = M(1 + p)^n$
$2M = M(1 + p)^{10}$
$2 = (1 + p)^{10}$
$\sqrt[10]{2} = 1 + p$
$p = \sqrt[10]{2} - 1$ ← tingkat suku bunga persemester.
$2p = 2(\sqrt[10]{2} - 1)$ ← tingkat suku bunga pertahun.
jawab: A.
41. SBMPTN MtkIPA 2016
Misalkan $a_n$ adalah barisan geometri yang memenuhi sistem $a_2 + a_5 - a_4 = 10$, $a_3 + a_6 - a_5 = 20$. Nilai $a_2$ adalah . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a_2 + a_5 - a_4 = 10$
$ar + ar^4 - ar^3 = 10$
$a(r^4 - r^3 + r) = 10$ . . . . (*)
$ar^2 + ar^5 - ar^4 = 20$
$a(r^5 - r^4 + r^2) = 20$ . . . . (**)
Bagi persamaan (**) dengan (*)
$\dfrac{r^5 - r^4 + r^2}{r^4 - r^3 + r} = \dfrac{20}{10}$
$\dfrac{r^5 - r^4 + r^2}{r^4 - r^3 + r} = 2$
$r^5 - r^4 + r^2 = 2r^4 - 2r^3 + 2r$
$r^5 - 3r^4 + 2r^3 + r^2 - 2r = 0$
$r(r^4 - 3r^3 + 2r^2 + r - 2) = 0$
Dengan metode try and error kita dapat $r = 2$. Pelajari suku banyak !
Masukkan $r = 2$ ke persamaan (*).
$a(2^4 - 2^3 + 2) = 10$
$a(16 - 8 + 2) = 10$
$10a = 10$
$a = 1$
$a_2 = U_2 = ar = 1.2 = 2$
jawab: E.
$ar + ar^4 - ar^3 = 10$
$a(r^4 - r^3 + r) = 10$ . . . . (*)
$ar^2 + ar^5 - ar^4 = 20$
$a(r^5 - r^4 + r^2) = 20$ . . . . (**)
Bagi persamaan (**) dengan (*)
$\dfrac{r^5 - r^4 + r^2}{r^4 - r^3 + r} = \dfrac{20}{10}$
$\dfrac{r^5 - r^4 + r^2}{r^4 - r^3 + r} = 2$
$r^5 - r^4 + r^2 = 2r^4 - 2r^3 + 2r$
$r^5 - 3r^4 + 2r^3 + r^2 - 2r = 0$
$r(r^4 - 3r^3 + 2r^2 + r - 2) = 0$
Dengan metode try and error kita dapat $r = 2$. Pelajari suku banyak !
Masukkan $r = 2$ ke persamaan (*).
$a(2^4 - 2^3 + 2) = 10$
$a(16 - 8 + 2) = 10$
$10a = 10$
$a = 1$
$a_2 = U_2 = ar = 1.2 = 2$
jawab: E.
42. SBMPTN MtkIPA 2015
Jika $U_1,\ U_2,\ U_3,\ \cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $U_3 - U_6 = x$, dan $U_2 - U_4 = y$, maka $x/y = \cdots$
$A.\ \dfrac{(r^3 - r^2 - r)}{(r - 1)}$
$B.\ \dfrac{(r^3 - r^2 + r)}{(r - 1)}$
$C.\ \dfrac{(r^3 + r^2 + r)}{(r + 1)}$
$D.\ \dfrac{(r^3 + r^2 - r)}{(r - 1)}$
$E.\ \dfrac{(r^3 - r^2 + r)}{(r + 1)}$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ \dfrac{(r^3 - r^2 - r)}{(r - 1)}$
$B.\ \dfrac{(r^3 - r^2 + r)}{(r - 1)}$
$C.\ \dfrac{(r^3 + r^2 + r)}{(r + 1)}$
$D.\ \dfrac{(r^3 + r^2 - r)}{(r - 1)}$
$E.\ \dfrac{(r^3 - r^2 + r)}{(r + 1)}$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= \dfrac{U_3 - U_6}{U_2 - U_4}\\
&= \dfrac{(ar^2 - ar^5)}{(ar - ar^3)}\\
&= \dfrac{ar(r - r^4)}{ar(1 - r^2)}\\
&= \dfrac{(r^4 - r)}{(r^2 - 1)}\\
&= \dfrac{r(r^3 - 1)}{(r^2 - 1)}\\
&= \dfrac{r(r - 1)(r^2 + r + 1 )}{(r - 1)(r + 1)}\\
&= \dfrac{r(r^2 + r + 1)}{(r + 1)}\\
&= \dfrac{(r^3 + r^2 + r)}{(r + 1)}\\
\end{align}$
jawab: C.
\dfrac{x}{y} &= \dfrac{U_3 - U_6}{U_2 - U_4}\\
&= \dfrac{(ar^2 - ar^5)}{(ar - ar^3)}\\
&= \dfrac{ar(r - r^4)}{ar(1 - r^2)}\\
&= \dfrac{(r^4 - r)}{(r^2 - 1)}\\
&= \dfrac{r(r^3 - 1)}{(r^2 - 1)}\\
&= \dfrac{r(r - 1)(r^2 + r + 1 )}{(r - 1)(r + 1)}\\
&= \dfrac{r(r^2 + r + 1)}{(r + 1)}\\
&= \dfrac{(r^3 + r^2 + r)}{(r + 1)}\\
\end{align}$
jawab: C.
43. SBMPTN MtkIPA 2014
Jika $S = 1 + \dfrac12sin2x + \dfrac14sin^22x + \dfrac18sin^32x + \cdots$ maka . . . .
$A.\ \dfrac23 < S < 2$
$B.\ \dfrac32 < S < 2$
$C.\ \dfrac23 < S < \dfrac32$
$D.\ \dfrac12 < S < \dfrac32$
$E.\ \dfrac12 < S < \dfrac23$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ \dfrac23 < S < 2$
$B.\ \dfrac32 < S < 2$
$C.\ \dfrac23 < S < \dfrac32$
$D.\ \dfrac12 < S < \dfrac32$
$E.\ \dfrac12 < S < \dfrac23$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$a = 1$
$r = \dfrac12sin2x$
$\begin{align}
S &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{1}{1 - \dfrac12sin2x}\\
&= \dfrac{2}{2 - sin2x}
\end{align}$
Ingat !
$-1 \leq sin2x \leq 1$
Jika $sin2x = 1$, maka:
$S = \dfrac{2}{2 - 1} = 2$
Jika $sin2x = -1$, maka:
$S = \dfrac{2}{2 - (-1)} = \dfrac23$
Dengan demikian:
$\dfrac23 \leq S \leq 2$
jawaban yang paling tepat adalah A.
$r = \dfrac12sin2x$
$\begin{align}
S &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{1}{1 - \dfrac12sin2x}\\
&= \dfrac{2}{2 - sin2x}
\end{align}$
Ingat !
$-1 \leq sin2x \leq 1$
Jika $sin2x = 1$, maka:
$S = \dfrac{2}{2 - 1} = 2$
Jika $sin2x = -1$, maka:
$S = \dfrac{2}{2 - (-1)} = \dfrac23$
Dengan demikian:
$\dfrac23 \leq S \leq 2$
jawaban yang paling tepat adalah A.
44. UM UGM MtkIPA 2010
Diketahui $U_n$ adalah suku $ke-n$ suatu barisan aritmetika. Jika untuk setiap bilangan asli $n$, nilai $U_n - U_{n - 2}$ sama dengan tiga kali suku pertama dan $\dfrac{U_3 + U_{11}}{U_9 - U_5} = \dfrac{U_1 + U_3}{3}$ maka $U_{10} = \cdots$
$A.\ \dfrac{87}{10}$
$B.\ \dfrac{29}{3}$
$C.\ 21$
$D.\ 29$
$E.\ 32$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$A.\ \dfrac{87}{10}$
$B.\ \dfrac{29}{3}$
$C.\ 21$
$D.\ 29$
$E.\ 32$
[Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri]
$U_n - U_{n - 2} = 3a$
$a + (n - 1)b -(a + (n - 3)b) = 3a$
$a + nb - b - a - nb + 3b = 3a$
$2b = 3a$
$b = \dfrac32a$ . . . . (*)
$\dfrac{U_3 + U_{11}}{U_9 - U_5} = \dfrac{U_1 + U_3}{3}$
$\dfrac{a + 2b + a + 10b}{a + 8b - (a + 4b)} = \dfrac{a + a + 2b}{3}$
$\dfrac{2a + 12b}{4b} = \dfrac{2a + 2b}{3}$
$\dfrac{2a + 12.\dfrac32a}{4.\dfrac32a} = \dfrac{2a + 2.\dfrac32a}{3}$
$\dfrac{2a + 18a}{6a} = \dfrac{2a + 3a}{3}$
$\dfrac{20a}{6a} = \dfrac{5a}{3}$
$\dfrac{10}{3} = \dfrac{5a}{3}$
$a = 2$
$b = \dfrac32a = \dfrac32.2 = 3$
$\begin{align}
U_{10} &= a + 9b\\
&= 2 + 9.3\\
&= 29\\
\end{align}$
jawab: D.
$a + (n - 1)b -(a + (n - 3)b) = 3a$
$a + nb - b - a - nb + 3b = 3a$
$2b = 3a$
$b = \dfrac32a$ . . . . (*)
$\dfrac{U_3 + U_{11}}{U_9 - U_5} = \dfrac{U_1 + U_3}{3}$
$\dfrac{a + 2b + a + 10b}{a + 8b - (a + 4b)} = \dfrac{a + a + 2b}{3}$
$\dfrac{2a + 12b}{4b} = \dfrac{2a + 2b}{3}$
$\dfrac{2a + 12.\dfrac32a}{4.\dfrac32a} = \dfrac{2a + 2.\dfrac32a}{3}$
$\dfrac{2a + 18a}{6a} = \dfrac{2a + 3a}{3}$
$\dfrac{20a}{6a} = \dfrac{5a}{3}$
$\dfrac{10}{3} = \dfrac{5a}{3}$
$a = 2$
$b = \dfrac32a = \dfrac32.2 = 3$
$\begin{align}
U_{10} &= a + 9b\\
&= 2 + 9.3\\
&= 29\\
\end{align}$
jawab: D.
45. SBMPTN Mdas 2014
Jika $a_1,\ a_2,\ a_3$ adalah baris aritmetika dan $a_1,\ a_2,\ (a_1 + a_3)$ adalah barisan geometri, maka $\dfrac{a_3}{a_1} = \cdots$
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
E. 1
[Barisan dan Deret Geometri dan Aritmetika]
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
E. 1
[Barisan dan Deret Geometri dan Aritmetika]
Deret Geometri:
$a_1,\ a_2,\ (a_1 + a_3)$
$a,\ a + b,\ 2a + 2b$
$\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{U_3}{U_2}$
$\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2a + 2b}{a + b}$
$\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2(a + 2)}{(a + b)}$
$\dfrac{a + b}{a} = 2$
$a + b = 2a$
$a = b$ . . . . (*)
$\begin{align}
\dfrac{a_3}{a_1} &= \dfrac{a + 2b}{a}\\
&= \dfrac{a + 2a}{a}\\
&= \dfrac{3a}{a}\\
&= 3\\
\end{align}$
jawab: C.
$a_1,\ a_2,\ (a_1 + a_3)$
$a,\ a + b,\ 2a + 2b$
$\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{U_3}{U_2}$
$\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2a + 2b}{a + b}$
$\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2(a + 2)}{(a + b)}$
$\dfrac{a + b}{a} = 2$
$a + b = 2a$
$a = b$ . . . . (*)
$\begin{align}
\dfrac{a_3}{a_1} &= \dfrac{a + 2b}{a}\\
&= \dfrac{a + 2a}{a}\\
&= \dfrac{3a}{a}\\
&= 3\\
\end{align}$
jawab: C.
Demikianlah Pembahasan Soal UNBK dan SBMPTN Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri, semoga bermanfaat. Selamat belajar !
Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB
www.maretong.com
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika / Geometri"
Jika ada saran dan kritik yang sifatnya membangun atau ada koreksi silahkan tuliskan di kolom komentar.