Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar

Daftar isi

1 Pengertian dan Definisi Turunan Fungsi
2 Rumus-rumus Turunan Fungsi
3 Pembahasan Soal UN / UNBK dan SBMPTN Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri atau Diferensial adalah topik bahasan kita kali ini. Sebelum masuk ke topik Utama, kita akan melakukan review singkat tentang Fungsi Turunan atau Diferensial.
Diferensial atau turunan pertama suatu fungsi $f(x)$ biasanya dinotasikan dengan $y',\ f'(x),\ \dfrac{dy}{dx},\ \dfrac{df}{dx},\ dan \dfrac{d}{dx}(f(x))$. Adapun $\dfrac{dy}{dx},\ \dfrac{df}{dx},\ dan \dfrac{d}{dx}(f(x))$ disebut notasi Leibniz. Soal-soal yang akan kita bahas meliputi turunan pertama, turunan kedua dan seterusnya, nilai stasioner, fungsi turun dan fungsi naik, titik belok, nilai maksimum dan minimum, persamaan garis singgung kurva maupun aplikasi fungsi turunan.

Pengertian dan Definisi Turunan Fungsi

Jika fungsi $f$ memetakan $x$ ke $y$ atau $y = f(x)$, dimana $x$ merupakan variabel bebas dan $y$ merupakan variabel terikat, maka turunan $y = f(x)$ terhadap $x$ adalah:
$f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Rumus-rumus Turunan Fungsi

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

$1.\ y = c → y' = 0$
$2.\ y = ax^n → y' = nax^{n - 1}$
$3.\ y = U + V → y' = U' + V'$
$4.\ y = U - V → y' = U' - V'$
$5.\ y = U.V → y' = U'V + UV'$
$6.\ y = \dfrac{U}{V} → y' = \dfrac{U'V - UV'}{V^2}$

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

$1.\ y = sinx → y' = cosx$
$2.\ y = cosx → y' = -sinx$
$3.\ y = tanx → y' = sec^2x$
$4.\ y = cotx → y' = -cosec^2x$
$5.\ y = secx → y' = secxtanx$
$6.\ y = cosecx → y' = -cosecxcotx$
$7.\ y = sin\ ax → y' = acos\ ax$
$8.\ y = cos\ ax → y' = -asin\ ax$
$9.\ y = tan\ ax → y' = asec^2\ ax$
$10.\ y = cot\ ax → y' = -acosec^2\ ax$

Rumus Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma

$1.\ y = e^x → y' = e^x$
$2.\ y = e^{ax} → y' = ae^x$
$3.\ y = ln\ x → y' = \dfrac 1x$
$4.\ y = ln\ ax → y' = \dfrac ax$
$5.\ y =\ ^alog\ x → y' = \dfrac{1}{xln\ a}$

Rumus Turunan Fungsi Komposisi

$1.\ y = U^n → y' = nU^{n - 1}.U'$
$2.\ y = sin\ U → y' = U'.cos\ U$
$3.\ y = cos\ U → y' = -U'.sin\ U$
$4.\ y = tan\ U → y' = U'.sec^2\ U$
$5.\ y = cot\ U → y' = -U'.cosec^2\ U$
$6.\ y = ln\ U → y' = \dfrac{U'}{ln\ U}$
$7.\ y = a^U → y' = a^U.ln\ a.U'$
$8.\ y = e^U → y' = e^U.U'$

Rumus Fungsi Naik / Turun dan Nilai Ekstrim Suatu Fungsi

$1.$ Jika $f'(x_1) = 0$, maka titik $(x_1,\ f(x_1))$ disebut titik stasioner.
$2.$ Jika $f'(x) > 0$, maka grafik fungsi $y = f(x)$ naik.
$3.$ Jika $f'(x) < 0$, maka grafik fungsi $y = f(x)$ turun.
$4.$ Jika $f'(x_1) = 0$ dan $f''(x_1) < 0$, maka grafik fungsi $y = f(x)$ mempunyai nilai maksimum di $x = x_1$ dan nilai maksimumnya adalah $f(x_1)$.
$5.$ Jika $f'(x_1) = 0$ dan $f''(x_1) > 0$, maka grafik fungsi $y = f(x)$ mempunyai nilai minimum di $x = x_1$ dan nilai minimumnya adalah $f(x_1)$.
$6.$ Jika $f''(x_1) = 0$, maka titik $(x_1,\ f(x_1))$ merupakan titik belok.

Pembahasan Soal UNBK dan SBMPTN Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri

1. UNBK Mtk IPA 2019

Diketahui $f(x) = 2x^2 - 3x - 5$. Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} =$ . . . .
$A.\ 2x - 3$
$B.\ 4x - 3$
$C.\ 6x - 3$
$D.\ 4x^3 - 3x^2$
$E.\ 4x^3 - 2x$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
$f(x) = 2x^2 - 3x - 5$
$f'(x) = 4x - 3$
jawab: B.

2. UNBK Mtk IPA 2019

Persamaan garis singgung kurva $y = \sqrt{8x - 4}$ yang tegak lurus garis $2x + 4y + 1 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2x - y = 0$
$B.\ 2x - y - 3 = 0$
$C.\ 2x - y + 3 = 0$
$D.\ 2x - y - 4 = 0$
$E.\ 2x - y + 4 = 0$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Misalkan gradien garis $2x + 4y + 1 = 0$ adalah $m_1$ dan gradien garis singgung adalah $m_2$
$m_1 = -\dfrac12$
$m_1.m_2 = -1$ → saling tegak lurus.
$-\dfrac12.m_2 = -1$
$m_2 = 2$
Persamaan garis singgung:
$y = \sqrt{8x - 4}$
Gradien adalah turunan pertama fungsi di titik singgung.
$m_2 = y' = 8.\dfrac12(8x - 4)^{-\frac12}$
$2 = \dfrac{4}{\sqrt{8x - 4}}$
$2\sqrt{8x - 4} = 4$
$\sqrt{8x - 4} = 2$
$8x - 4 = 4$
$8x = 8$
$x = 1$
$y = \sqrt{8x - 4}$
$y = \sqrt{8.1 - 4}$
$y = \sqrt{4}$
$y = 2$
Titik singgung (1, 2) dan gradien garis singgung adalah 2. Dengan demikian persamaan garis singgungnya bisa dicari.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 2 = 2(x - 1)$
$y - 2 = 2x - 2$
$2x - y = 0$
jawab: A.

3. UNBK Mtk IPA 2019

Persamaan garis yang melalui $A(2, -4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y = 2x^2 - 3x - 6$ pada titik tersebut adalah . . . .
$A.\ 5x - y - 14 = 0$
$B.\ 5x + y - 6 = 0$
$C.\ x + 5y - 27 = 0$
$D.\ x + 5y + 18 = 0$
$E.\ x - 5y - 22 = 0$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Misalkan gradien garis singgung kurva adalah $m_1$ dan gradien garis yang melalui titik $A(2, -4)$ dan tegak lurus garis singgung kurva adalah $m_2.$. Gradien garis singgung kurva adalah turunan pertama di titik singgung.
$m_1 = y' = 4x - 3$
$m_1 = 4.2 - 3$
$m_1 = 5$
$m_1.m_2 = -1$
$5.m_2 = -1$
$m_2 = -\dfrac15$
Garis melalui titik $(2, -4)$ dan gradien $-\dfrac15$
$y - (-4) = -\dfrac15(x - 2)$
$y + 4 = -\dfrac15(x - 2)$
$5y + 20 = -x + 2$
$x + 5y + 18 = 0$
jawab: D.

4. UNBK Mtk IPS 2019

Turunan pertama fungsi $f(x) = (4x^2 - 12x)(x + 2)$ adalah . . . .
$A.\ f'(x) = 12x^2 - 4x - 24$
$B.\ f'(x) = 12x^2 - 8x + 24$
$C.\ f'(x) = 24x - 8$
$D.\ f'(x) = 12x^2 - 16x + 24$
$E.\ f'(x) = 12x^2 - 8x - 24$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = (4x^2 - 12x)(x + 2)$
Misalkan:
$u = 4x^2 - 12x → u' = 8x - 12$
$v = x + 2 → v' = 1$
Jika $y = u.v → y' = u'.v + u.v'$
$f'(x) = (8x - 12)(x + 2) + (4x^2 - 12x).1$
$f'(x) = 8x^2 + 4x - 24 + 4x^2 - 12x$
$f'(x) = 12x^2 - 8x - 24$
jawab: E.

5. UNBK Mtk IPS 2019

Grafik fungsi $f(x) = x^3 + \frac32x^2 - 18x + 5$ naik pada interval . . . .
$A.\ -2 < x < 3$
$B.\ -3 < x < 2$
$C.\ x < 2\ atau\ x > 3$
$D.\ x < -3\ atau x > 2$
$E.\ x < -2\ atau x > 3$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Grafik fungsi naik jika $f'(x) > 0$
$f'(x) = 3x^2 + 3x - 18 > 0$
$x^2 + x - 6 > 0$
$(x + 3)(x - 2) > 0$
$x < -3\ atau\ x > 2$
jawab: D.

6. UNBK Mtk IPA 2018

Diketahui $f(x) = 5x - 3$ dan $g(x) = 4x^2 - 3x$. Jika $h(x) = f(x).g(x)$ dan $h'(x)$ merupakan turunan dari $h(x)$, maka $h'(x) =$ . . . .
$A.\ 40x - 5$
$B.\ -20x^2 + 24x - 9$
$C.\ 20x^3 - 27x^2 + 9x$
$D.\ 20x^2 + 25x - 15$
$E.\ 60x^2 - 54x + 9$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = 5x - 3$ → $f'(x) = 5$
$g(x) = 4x^2 - 3x$ → $g'(x) = 8x - 3$
$h(x) = f(x).g(x)$
$h'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)$
$= 5(4x^2 - 3x) + (5x - 3)(8x - 3)$
$= 20x^2 - 15x + 40x^2 - 15x - 24x + 9$
$= 60x^2 - 54x + 9$
jawab: E.

7. UNBK Mtk IPA 2018

Fungsi $f(x) = \dfrac{7}{3}x^3 + 16x^2 -15x + 6$ naik pada interval . . . .
$A.\ \displaystyle -\dfrac{7}{3} < x < 5$
$B.\ \displaystyle -\dfrac{3}{7} < x < 5$
$C.\ \displaystyle -5 < x < \dfrac{3}{7}$
$D.\ \displaystyle x < -5 \ atau \ x > \dfrac{3}{7}$
$E.\ \displaystyle x < \dfrac{3}{7} \ atau \ x > 5$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Fungsi naik jika $f'(x) > 0$
$7x^2 + 32x - 15 > 0$
$(x + 5)(7x - 3) > 0$
$x < -5\ atau\ x > \dfrac{3}{7}$
jawab: D.

8. UNBK Mtk IPA 2018

Persamaan garis singgung grafik $y = x^2 - 4x -5$ yang sejajar dengan garis $2x - y - 6 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2x - y - 19 = 0$
$B.\ 2x - y - 14 = 0$
$C.\ 2x - y - 11 = 0$
$D.\ 2x - y + 2 = 0$
$E.\ 2x - y + 5 = 0$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Karena garis singgung $2x - y - 6 = 0$, maka gradien garis singgung sama dengan gradien garis $2x - y - 6 = 0$.
$m = 2$ . . . . *
Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) adalah turunan pertama dari kurva.
$m = \dfrac{dy}{dx} = 2x - 4$ . . . . **
dari persamaan * dan **
$2 = 2x - 4$
$6 = 2x$
$x = 3$
Substitusi $x = 3$ kedalam persamaan $y = x^2 - 4x - 5$.
didapat $y = -8$.
Berarti titik singgung kurva adalah $(3, -8)$.
Persamaan garis yang melalui titik $(3, -8)$ dengan gradien $2$
adalah:
$y - (-8) = 2(x - 3)$
$y + 8 = 2x - 6$
$-2x + y + 14 = 0$
$2x - y - 14 = 0$
jawab: B.

9. UNBK Mtk IPS 2018

Turunan pertama fungsi $f(x) = (5x - 3)^3$ adalah . . . .
  $A.\ f'(x) = 3((5x - 3)^2$
  $B.\ f'(x) = 5((5x - 3)^2$
  $C.\ f'(x) = 8((5x - 3)^2$
  $D.\ f'(x) = 15((5x - 3)^2$
  $E.\ f'(x) = 45((5x - 3)^2$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Jika $f(x) = [g(x)]^n$ maka $f'(x) = n[g(x)]^{n-1}.g'(x)$
$f(x) = (5x - 3)^3$
$f'(x) = 3(5x - 3)^2.5$
$f'(x) = 15(5x - 3)^2$
jawab: D.

10. UNBK Mtk IPS 2018

Grafik fungsi $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 6x + 2$ turun pada interval . . . .
  $A.\ -2 < x < 3$
  $B.\ -3 < x < 2$
  $C.\ 2 < x < 3$
  $D.\ x < -2\ atau\ x > 3$
  $E.\ x < -3\ atau\ x > 2$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Fungsi naik jika $f'(x) > 0$
Fungsi turun jika $f'(x) < 0$
$f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 6x + 2$
$f'(x) = x^2 - x - 6 < 0$
$(x + 2)(x - 3) < 0$
$-2 < x < 3$
jawab: A.

11. UNBK Mtk IPA 2017

Diketahui grafik fungsi $y = 2x^2 - 3x + 7$ berpotongan dengan garis $y = 4x + 1$. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah . . . .
$A.\ y = 5x + 7$
$B.\ y = 5x - 1$
$C.\ y = x + 5$
$D.\ y = 3x - 7$
$E.\ y = 3x + 5$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Titik potong grafik fungsi $y = 2x^2 - 3x + 7$ dengan garis $y = 4x + 1$.
$2x^2 - 3x + 7 = 4x + 1$
$2x^2 - 7x + 6 = 0$
$(2x - 3)(x - 2) = 0$
$x = \dfrac32\ atau\ x = 2$
$x = \dfrac32 → y = 4.\dfrac32 + 1 = 7$
$x = 2 → y = 4.2 + 1 = 9$
$Titik\ potong = (\dfrac32,\ 7)\ dan\ (2,\ 9)$

Gradien garis singgung kurva:
$\begin{align}
m = y' &= \dfrac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 7)\\
&= 4x - 3\\
\end{align}$

Persamaan garis singgung yang melalui titik $(\dfrac32,\ 7)$.
$m = 4x - 3 = 4.\dfrac32 - 3 = 3$
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 7 = 3(x - \dfrac32)$
$y - 7 = 3x - \dfrac92$
$2y - 14 = 6x - 9$
$2y = 6x + 5$
$y = 3x + \dfrac52$

Persamaan garis singgung yang melalui titik $(2,\ 9)$.
$m = 4x - 3 = 4.2 - 3 = 5$
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 9 = 5(x - 2)$
$y - 9 = 5x - 10$
$y = 5x - 1$
jawab: B.

12. UNBK Mtk IPA 2017

Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter , yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum kandang adalah . . . .

$A.\ 360\ m^2$
$B.\ 400\ m^2$
$C.\ 420\ m^2$
$D.\ 450\ m^2$
$E.\ 480\ m^2$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$Panjang \ kawat = 80$
$4y + 3x = 80$
$4y = 80 - 3x$
$y = \dfrac{80 - 3x}{4}$ . . . . (*)

$\begin{align}
L &= 3xy\\
&= 3x(\dfrac{80 - 3x}{4})\\
&= 60x - \dfrac94x^2\\
\\
L' = 0\\
60 - \dfrac{9}{2}x &= 0\\
60 &= \dfrac92x\\
120 &= 9x\\
x &= \dfrac{40}{3}\\
y &= \dfrac{80 - 3x}{4}\\
&= \dfrac{80 - 3.\dfrac{40}{3}}{4}\\
&= 10\\
\\
L &= 3xy\\
&= 3.\dfrac{40}{3}.10\\
&= 400\ m^2\\
\end{align}$
jawab: B.

13. UNBK Mtk IPS 2017

Total penjualan suatu barang $(R)$ merupakan perkalian antara harga $(h)$ dan permintaan $(x)$ atau ditulis $R = hx$. Jika $h = 40 - 0,5x$ dalam ribuan rupiah untuk $1 \leq x \leq 70$, total penjualan maksimum sebesar . . . .
A. Rp100.000,00
B. Rp200.000,00
C. Rp600.000,00
D. Rp800.000,00
E. Rp900.000,00
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$\begin{align}
R &= hx\\
&= (40 - 0,5x)x\\
&= 40x - 0,5x^2\\
\\
R' = 0\\
40 - x &= 0\\
x &= 40\\
\\
R &= 40x - 0,5x^2\\
&= 40.40 - 0,5.40^2\\
&= 1600 - 800\\
&= 800\\
R &= Rp800.000,00\\
\end{align}$
jawab: D.

14. UNBK Mtk IPS 2017

Grafik fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20$ turun pada interval . . . .
$A.\ x < -5\ atau\ x > 1$
$B.\ x < -1\ atau\ x > 5$
$C.\ x < 1\ atau\ x > 5$
$D.\ -5 < x < 1$
$E.\ -1 < x < 5$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Grafik fungsi turun jika $f'(x) < 0$
$f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20$
$f'(x) < 0$
$3x^2 - 12x - 15 < 0$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
$(x + 1)(x - 5) < 0$
$-1 < x < 5$
jawab: E.
Klik Pertidaksamaan untuk mempelajari cara cepat menentukan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan.

15. UNBK Mtk IPS 2017

Jika $f'(x)$ turunan pertama dari $f(x) = x^3 - 9x + 5$, maka nilai $f'(1)$ adalah . . . .
$A.\ -12$
$B.\ -6$
$C.\ 0$
$D.\ 6$
$E.\ 12$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = x^3 - 9x + 5$
$f'(x) = 3x^2 - 9$
$f'(1) = 3.1^2 - 9 = -6$
jawab: B.

16. UNBK Mtk IPA 2016

Turunan pertama dari fungsi $f(x) = cos^5\ (\pi - 2x)$ adalah . . . .
$A.\ f'(x) = 5\ cos^3\ (\pi - 2x)\ sin\ (2\pi - 4x)$
$B.\ f'(x) = 5\ cos^3\ (\pi - 2x)\ sin\ (\pi - 2x)$
$C.\ f'(x) = 5\ cos^3\ (\pi - 2x)\ cos\ (2\pi - 4x)$
$D.\ f'(x) = -5\ cos^3\ (\pi - 2x)\ sin\ (2\pi - 4x)$
$E.\ f'(x) = -5\ cos^3\ (\pi - 2x)\ sin\ (\pi - 2x)$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = cos^5\ (\pi - 2x)$
$f(x) = (cos\ (\pi - 2x))^5$

$y = (f(g(x)))^n$
$y' = n.(f(g(x)))^{n - 1}.f'(g(x)).g'(x)$

$\begin{align}
f'(x) &= 5.(cos\ (\pi - 2x))^4.(-sin\ (\pi - 2x)).(-2)\\
&= 5.2.cos^4\ (\pi - 2x)sin\ (\pi - 2x)\\
&= 5.2.cos^3\ (\pi - 2x).cos\ (\pi - 2x)sin\ (\pi - 2x)\\
&= 5.cos^3\ (\pi - 2x).2sin\ (\pi - 2x)cos\ (\pi - 2x)\\
&= 5.cos^3\ (\pi - 2x).sin ((\pi - 2x) + (\pi - 2x))\\
&= 5.cos^3\ (\pi - 2x).sin (2\pi - 4x)\\
\end{align}$
Note:
$2sin\ Acos\ A = sin\ (A + A)$
jawab: A.

17. UNBK Mtk IPA 2016

Persamaan garis yang menyinggung kurva $y = x^3 - 4x^2 - 3x - 5$ pada titik dengan absis $-1$ adalah . . . .
$A.\ y = -8x + 15$
$B.\ y = -8x + 1$
$C.\ y = -8x - 1$
$D.\ y = 8x + 1$
$E.\ y = 8x + 15$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Titik singgung:
$x = -1$
$y = x^3 - 4x^2 - 3x - 5$
$= (-1)^3 - 4.(-1)^2 - 3.(-1) - 5$
$= -1 - 4 + 3 - 5$
$= -7$
$titik\ singgung = (-1,\ -7)$

Gradien garis singgung:
$m = y'$
$= 3x^2 - 8x - 3$
$= 3.(-1)^2 - 8.(-1) - 3$
$= 3 + 8 - 3$
$= 8$

Persamaan garis singgung:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-7) = 8(x - (-1))$
$y + 7 = 8(x + 1)$
$y + 7 = 8x + 8$
$y = 8x + 1$
jawab: D.

18. UNBK Mtk IPS 2016

Turunan pertama dari $f(x) = (5x^2 - 4)^4$ adalah . . . .
$A.\ f'(x) = 40x(10x - 4)^3$
$B.\ f'(x) = 40x(5x^2 - 4)^3$
$C.\ f'(x) = 40(5x^2 - 4)^3$
$D.\ f'(x) = 40x(10x^2 - 4)^4$
$E.\ f'(x) = 40x(5x^2 - 4)^4$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$y = U^n$
$y' = n.U^{n - 1}.U'$

$f(x) = (5x^2 - 4)^4$
$\begin{align}
f'(x) &= 4.(5x^2 - 4)^3.10x\\
&= 40x(5x^2 - 4)^3\\
\end{align}$
jawab: B.

19. UNBK Mtk IPS 2016

Grafik fungsi $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 2$ turun pada interval . . . .
$A.\ \{x\ |\ x < -5,\ x \in R\}$
$B.\ \{x\ |\ -5 < x < 0,\ x \in R\}$ $C.\ \{x\ |\ -5 < x < 1,\ x \in R\}$ $D.\ \{x\ |\ x < 5\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
$E.\ \{x\ |\ x > 1,\ x \in R\}$
[Soal UNBK Matematika IPS 2016]
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

grafik fungsi turun jika $f'(x) < 0$
$3x^2 + 12x - 15 < 0$
$x^2 + 4x - 5 < 0$
$(x + 5)(x - 1) < 0$
$-5 < x < 1$
jawab: C.

20. UNBK Mtk IPS 2016

$20.$ Perusahaan konveksi memproduksi $n$ unit pakaian kemeja dengan biaya total dapat dihitung dengan menggunakan rumus $B(n) = 10.000 + 8.000n + \dfrac13n^2$ rupiah. Pakaian kemeja dijual dengan harga Rp60.000,00 per unit. Agar perusahaan tersebut memperoleh keuntungan maksimum, pakaian kemeja harus diproduksi sebanyak . . . .
A. 12.000 unit
B. 17.000 unit
C. 26.000 unit
D. 78.000 unit
E. 104.000 unit
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Biaya produksi:
$B(n) = 10.000 + 8.000n + \dfrac13n^2$

Harga jual:
$H(n) = 60.000n$

Keuntungan:
Keuntungan adalah selisih antara harga jual dan biaya produksi.
$\begin{align}
K(n) &= H(n) - B(n)\\
&= 60.000n - \left(10.000 + 8.000n + \dfrac13n^2\right)\\
&= -\dfrac13n^2 + 52.000n - 10.000\\
\end{align}$

$K'(n) = 0$
$-\dfrac23n + 52.000 = 0$
$\dfrac23n = 52.000$
$n = 78.000\ unit$
jawab: D.

21. UNBK Mtk IPA 2016

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter, berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
$A.\ 80.000\ m^2$
$B.\ 40.000\ m^2$
$C.\ 20.000\ m^2$
$D.\ 5.000\ m^2$
$E.\ 2.500\ m^2$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$Panjang\ kawat = 800$
$4(x + 2y) = 800$
$x + 2y = 200$
$2y = 200 - x$
$y = 100 - \dfrac12x$ . . . . (*)

$\begin{align}
L &= xy\\
&= x(100 - \dfrac12x)\\
&= 100x - \dfrac12x^2\\
\end{align}$

$L' = 0$
$100 - x = 0$
$x = 100$
$y = 100 - \dfrac12x$
$= 100 - \dfrac12.100$
$= 100 - 50$
$= 50$

$L = xy$
$= 100.50$
$= 5.000\ m^2$
jawab: D.

22. UNBK Mtk IPA 2015

Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara $40\ cm^3/detik$. Jika laju pertambahan jari-jari bola $20\ cm/detik$, jari-jari bola setelah ditiup adalah . . . .
$A.\ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\ cm$
$B.\ \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\ cm$
$C.\ \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}\ cm$
$D.\ \dfrac{1}{3\sqrt{\pi}}\ cm$
$E.\ \pi\ cm$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$\dfrac{dV}{dt} = 40$
$\dfrac{dR}{dt} = 20$

$V = \dfrac43\pi R^3$
$\dfrac{dV}{dR} = 4\pi R^2$

$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dR}.\dfrac{dR}{dt}$
$40 = 4\pi R^2.20$
$\dfrac{1}{2\pi} = R^2$
$\begin{align}
R &= \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

23. UNBK Mtk IPA 2014

Diketahui fungsi $g(x) = \dfrac13x^3 - A^2x + 7$, $A$ konstanta. Jika $f(x) = g(2x + 1)$ dan $f$ turun pada $-\dfrac32 < x < \dfrac12$, nilai minimum relatif $g$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac43$
$B.\ \dfrac53$
$C.\ 2$
$D.\ \dfrac73$
$E.\ \dfrac83$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = g(2x + 1)$
$= \dfrac13(2x + 1)^3 - A^2(2x + 1) + 7$
$f$ turun:
$f'(x) < 0$
$3.\dfrac13.(2x + 1)^2.2 - 2A^2 < 0$
$2(2x + 1)^2 - 2A^2 < 0$
$(2x + 1)^2 - A^2 < 0$
$4x^2 + 4x + 1 - A^2 < 0$ . . . . (*)

$f$ turun pada interval $-\dfrac32 < x < \dfrac12$
$(x + \dfrac32)(x - \dfrac12) < 0$
$x^2 + x - \dfrac34 < 0$
$4x^2 + 4x - 3 < 0$ . . . . (**)

dari (*) dan (**)
$1 - A^2 = -3$
$A^2 = 4$
$g(x) = \dfrac13x^3 - 4x + 7$
$g'(x) = 0$
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$
$g(2) = \dfrac13.2^3 - 4.2 + 7$
$= \dfrac83 - 1$
$= \dfrac53$
$g(-2) = \dfrac13.(-2)^3 - 4.(-2) + 7$
$= -\dfrac83 + 15$
$= \dfrac{37}{3}$
$Nilai\ minimum = \dfrac53$
$Nilai\ maksimum = \dfrac{37}{3}$
jawab: B.

24. UNBK Mtk IPA 2013

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti pada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah . . . .

$A.\ 2.000\ cm^3$
$B.\ 3.000\ cm^3$
$C.\ 4.000\ cm^3$
$D.\ 5.000\ cm^3$
$E.\ 6.000\ cm^3$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Volume kotak:
$V(x) = (30 - 2x)^2.x$
$= (900 - 120x + 4x^2).x$
$= 900x - 120x^2 + 4x^3$

$V'(x) = 0$
$900 - 240x + 12x^2 = 0$
$x^2 - 20x + 75 = 0$
$(x - 5)(x - 15) = 0$
$x = 5\ atau\ x = 15$

$V(5) = (30 - 2.5)^2.5$
$= 20^2.5$
$= 2.000\ cm^3$

$V(15) = (30 - 2.15).15 = 0$

$Volume\ maksimum = 2.000\ cm^3$
jawab: A.

25. UNBK Mtk IPA 2010

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu $t$ diberikan oleh $S(t) = \dfrac14t^4 - \dfrac32t^3 - 6t^2 + 5t$. Kecepatan maksimum mobil akan tercapai pada $t = \cdots$
$A.\ 6\ detik$
$B.\ 4\ detik$
$C.\ 3\ detik$
$D.\ 2\ detik$
$E.\ 1\ detik$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$S(t) = \dfrac14t^4 - \dfrac32t^3 - 6t^2 + 5t$
$V(t) = \dfrac{dS}{dt}$
$= t^3 - \dfrac92t^2 - 12t + 5$
$V'(t) = 0$
$3t^2 - 9t - 12 = 0$
$t^2 - 3t - 4 = 0$
$(t + 1)(t - 4) = 0$
$t = -1\ atau\ t = 4$
Karena $t$ harus positif, maka $t = 4\ detik$.
jawab: B.

26. UNBK Mtk IPA 2009

Garis $l$ menyinggung kurva $y = 3\sqrt{x}$ di titik yang berabsis 4. Titik potong garis $l$ dengan sumbu $X$ adalah . . . .
$A.\ (-12,\ 0)$
$B.\ (-4,\ 0)$
$C.\ (4,\ 0)$
$D.\ (6,\ 0)$
$E.\ (12,\ 0)$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$x = 4$
$y = 3\sqrt{x}$
$= 3\sqrt{4}$
$= 3.2$
$= 6$

$Titik\ singgung = (4,\ 6)$

Gradien garis singgung:
$y = 3\sqrt{x}$
$y = 3x^{\frac12}$
$m = y'$
$= \dfrac12.3.x^{-\frac12}$
$= \dfrac{3}{2\sqrt{x}}$
$= \dfrac{3}{2\sqrt{4}}$
$= \dfrac34$

Persamaan garis singgung:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 6 = \dfrac34(x - 4)$
$y = \dfrac34x - 3 + 6$
$y = \dfrac34x + 3$

Titik potong sumbu $x → y = 0$
$0 = \dfrac34x + 3$
$\dfrac34x = -3$
$x = -4$
$Titik\ potong\ sb\ x = (-4,\ 0)$
jawab: B.

27. Tryout UNBK Mtk IPA 2019

Salah satu persamaan garis singgung kurva $y = x^3 - 2x^2 - 2x + 5$ yang tegak lurus dengan garis $x + 2y + 7 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2x - y - 7 = 0$
$B.\ 2x - y - 3 = 0$
$C.\ 2x - y + 3 = 0$
$D.\ 2x - y - 5 = 0$
$E.\ 2x - y + 5 = 0$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$x + 2y + 7 = 0$
$m_1 = -\dfrac12$

Misalkan gradien garis singgung kurva adalah $m_2$. Karena gradien garis singgung kurva tegak lurus dengan garis $x + 2y + 7 = 0$, maka:
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac12.m_2 = -1$
$m_2 = 2$

$y = x^3 - 2x^2 - 2x + 5$
$m_2 = y'$
$2 = 3x^2 - 4x - 2$
$3x^2 - 4x - 4 = 0$
$(x - 2)(3x + 2) = 0$
$x = 2\ atau\ x = -\dfrac23$

$x = 2$
$y = 2^3 - 2.2^2 - 2.2 + 5$
$= 8 - 8 - 4 + 5$
$= 1$
$titik\ singgung = (2,\ 1)$

Persamaan garis singgung:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 1 = 2(x - 2)$
$y - 1 = 2x - 4$
$2x - y - 3 = 0$
jawab: B.

28. Tryout UNBK Mtk IPA 2018

Persamaan garis singgung pada kurva $f(x) = 2x^2 - 7x + 1$ yang sejajar dengan garis $y - 5x = 4$ adalah . . . .
$A.\ y = 5x + 17$
$B.\ y = 5x + 15$
$C.\ y = 5x + 13$
$D.\ y = 5x - 15$
$E.\ y = 5x - 17$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$y - 5x = 4$
$m_1 = 5$
Misalkan gradien garis singgung kurva adalah $m_2$. Karena garis singgung kurva sejajar dengan garis $y - 5x = 4$, maka:
$m_2 = m_1 = 5$

$f(x) = 2x^2 - 7x + 1$
$m_2 = f'(x)$
$5 = 4x - 7$
$12 = 4x$
$x = 3$
$y = 2.3^2 - 7.3 + 1$
$= 18 - 21 + 1$
$= -2$
$Titik\ singgung = (3,\ -2)$

Persamaan garis singgung:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-2) = 5(x - 3)$
$y + 2 = 5x - 15$
$y = 5x - 17$
jawab: E.

29. UN Mtk IPA 2008

Diketahui $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2x + 1}$. Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama $f(x)$, maka $f(0) + 2f'(0) = \cdots$
$A.\ -10$
$B.\ -9$
$C.\ -7$
$D.\ -5$
$E.\ -3$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2x + 1}$
$f(0) = \dfrac{0^2 + 3}{2.0 + 1} = 3$

$f(x) = \dfrac UV$
$U = x^2 + 3 → U' = 2x$
$V = 2x + 1 → V' = 2$
$\begin{align}
f'(x) &= \dfrac{U'V - UV'}{V^2}\\
&= \dfrac{2x(2x + 1) - (x^2 + 3).2}{(2x + 1)^2}\\
f'(0) &= \dfrac{2.0.(2.0 + 1) - (0^2 + 3).2}{(2.0 + 1)^2}\\
&= -6\\
\end{align}$
$f(0) + 2f'(0) = 3 + 2.(-6) = -9$
jawab: B.

30. UN Mtk IPA 2008

Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunyai volume $4\ m^3$ terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak berturut-turut adalah . . . .
A. 2 m, 1 m, 2 m
B. 2 m, 2 m, 1 m
C. 1 m, 2 m, 2 m
D. 4 m, 1 m, 1 m
E. 1 m, 1 m, 4 m
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Volume:
$V = x^2y$
$4 = x^2y$
$y = \dfrac{4}{x^2}$ . . . . (*)

Luas Permukaan:
$\begin{align}
L &= x^2 + 4xy\\
&= x^2 + 4x.\dfrac{4}{x^2}\\
&= x^2 + \dfrac{16}{x}\\
&= x^2 + 16x^{-1}\\
\end{align}$
$L' = 0$
$2x - 16x^{-2} = 0$
$2x - \dfrac{16}{x^2} = 0$
$2x = \dfrac{16}{x^2}$
$2x^3 = 16$
$x^3 = 8$
$x = 2$

$y = \dfrac{4}{x^2}$
$= \dfrac{4}{2^2}$
$= 1$

$panjang = 2\ m$
$lebar = 2\ m$
$tinggi = 1\ m$
jawab: B.

31. UN Mtk IPA 2003

Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h(t) = -t^3 + \dfrac52t^2 + 2t + 10$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah . . . .
A. 26
B. 18
C. 16
D. 14
E. 12
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$h(t) = -t^3 + \dfrac52t^2 + 2t + 10$
$h'(t) = 0$
$-3t^2 + 5t + 2 = 0$
$3t^2 - 5t - 2 = 0$
$(t - 2)(3t + 1) = 0$
$t = 2\ atau\ t = -\dfrac13$
Karena $t$ harus positif, maka $t = 2$
$h(2) = -2^3 + \dfrac52.2^2 + 2.2 + 10$
$= -8 + 10 + 4 + 10$
$= 16$
jawab: C.

32. UN Mtk IPA 2001

Luas maksimum persegipanjang OABC pada gambar adalah . . . .

$A.\ 4\dfrac12\ satuan\ luas$
$B.\ 5\ satuan\ luas$
$C.\ 5\dfrac12\ satuan\ luas$
$D.\ 6\ satuan\ luas$
$E.\ 6\dfrac12\ satuan\ luas$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Persamaan garis:
$2x + y = 6$
$y = 6 - 2x$ . . . . (*)

Luas OABC:
Karena koordinat titik $B = (x,\ y)$, maka:
$OA = x$
$AB = y$
$L = xy$
$= x(6 - 2x)$
$= 6x - 2x^2$

$L' = 0$
$6 - 4x = 0$
$6 = 4x$
$x = \dfrac32$
$y = 6 - 2x$
$= 6 - 2.\dfrac32$
$= 6 - 3$
$= 3$

$L = xy$
$= \dfrac32.3$
$= \dfrac92$
$= 4\dfrac12$
jawab: A.

33. UN Mtk IPA 1999

Ditentukan kurva dengan persamaan $y = x^3 + 2px + q$. Garis $y = -5x - 1$ menyinggung kurva di titik dengan absis $-1$. Nilai $p = \cdots$
$A.\ 2$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ -\dfrac12$
$D.\ -2$
$E.\ -8$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Titik singgung:
$x = -1$
$y = -5x - 1$
$= -5.(-1) - 1$
$= 5 - 1$
$= 4$
$titik\ singgung = (-1,\ 4)$

Gradien garis singgung:
$y = x^3 + 2px^2 + q$
$m = y' = 3x^2 + 4px$
$= 3.(-1)^2 + 4p.(-1)$
$= 3 - 4p$ . . . . (*)

$y = -5x - 1$
$m = -5$ . . . . (**)
dari (*) dan (**)
$3 - 4p = -5$
$4p = 8$
$p = 2$
jawab: A.

34. UN Mtk IPA 1999

Diketahui fungsi $f(x) = \dfrac{x^2 + 6}{\sqrt{x}}$. Turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $f'(x) = \cdots$
$A.\ \sqrt{x} + \dfrac{6}{x^2}\sqrt{x}$
$B.\ \sqrt{x} - \dfrac{3}{x^2}\sqrt{x}$
$C.\ \sqrt{x} - \dfrac{1}{3x^2}\sqrt{x}$
$D.\ \dfrac32\sqrt{x} + \dfrac{1}{3x^2}\sqrt{x}$
$E.\ \dfrac32\sqrt{x} - \dfrac{3}{x^2}\sqrt{x}$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$U = x^2 + 6 → U' = 2x$
$V = \sqrt{x} → V' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{v^2}$
$= \dfrac{2x.\sqrt{x} - (x^2 + 6).\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}$
$= \dfrac{\dfrac{2x\sqrt{x}.2\sqrt{x} - (x^2 + 6)}{2\sqrt{x}}} {x}$
$= \dfrac{3x^2 - 6}{2x\sqrt{x}}$
$= \dfrac32\sqrt{x} - \dfrac{3}{x\sqrt{x}}$
$= \dfrac32\sqrt{x} - \dfrac{3}{x^2}\sqrt{x}$
jawab: E.

35. UN Mtk IPA 1998

Persamaan garis singgung pada parabola $(y - 3)^2 = 8(x + 5)$ yang tegak lurus garis $x - 2y - 4 = 0$ adalah . . . .
$A.\ 2x + y - 2 = 0$
$B.\ 2x + y + 2 = 0$
$C.\ 2x + y + 8 = 0$
$D.\ 2x - y - 2 = 0$
$E.\ 2x - y - 8 = 0$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Gradien garis singgung:
$(y - 3)^2 = 8(x + 5)$
$(y - 3)^2 = 8x + 40$
$2(y - 3).y' = 8$
$m_1 = y' = \dfrac{8}{2(y - 3)}$
$m_1 = \dfrac{4}{y - 3}$ . . . . (*)

$x - 2y - 4 = 0$
$m_2 = \dfrac12$

$m_1.m_2 = -1$
$m_1.\dfrac12 = -1$
$m_1 = -2 $ . . . . (**)

Dari (*) dan (**)
$-2 = \dfrac{4}{y - 3}$
$-2(y - 3) = 4$
$-2y + 6 = 4$
$-2y = -2$
$y = 1$
$(1 - 3)^2 = 8(x + 5)$
$4 = 8(x + 5)$
$\dfrac12 = x + 5$
$x = -\dfrac92$
$titik\ singgung = \left(-\dfrac92,\ 1\right)$

Persamaan garis singgung:
$y - 1 = -2.\left(x - \left(-\dfrac92\right)\right)$
$y - 1 = -2.\left(x + \dfrac92\right)$
$y - 1 = -2x - 9$
$2x + y + 8 = 0$
jawab: C.

36. SBMPTN Mtk IPA 2018

Jika garis singgung kurva $y = 9 - x^2$ di titik $P(a,\ b)$ dengan $b > 0$ memotong sumbu $x$ di titik $Q(-5,\ 0)$, maka $ab$ adalah . . . .
$A.\ -10$
$B.\ -8$
$C.\ 0$
$D.\ 8$
$E.\ 10$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$y = 9 - x^2$
$b = 9 - a^2$

Gradien garis singgung:
$m = y' = -2x = -2a$
Garis singgung melalui titik $Q(-5,\ 0)$, sehingga persamaan garis singgung menjadi:
$y - 0 = -2a(x - (-5))$
$y = -2a(x + 5)$

$-2a(x + 5) = 9 - x^2$
$-2ax - 10a = 9 - x^2$
$x^2 - 2ax - 10a - 9 = 0$
Karena garis menyinggung kurva, maka:
$D = 0$
$(-2a)^2 - 4.1.(-10a - 9) = 0$
$4a^2 + 40a + 36 = 0$
$a^2 + 10a + 9 = 0$
$(a + 1)(a + 9) = 0$
$a = -1\ atau\ a= -9$
$a = -1 → b = 8 → ab = -8$
$a = -9 → b = -72 →$ Tidak memenuhi syarat.
jawab: B.

37. SBMPTN Mtk IPA 2018

Garis yang melalui titik $O(0,\ 0)$ dan $P(a,\ b)$ berpotongan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y = x^2 - \dfrac92$ di $P(a,\ b)$. Jika titik $P$ berada di kuadran III, maka $a + b$ adalah . . . .
$A.\ -\dfrac92$
$B.\ -\dfrac52$
$C.\ \dfrac{-6 - \sqrt{6}}{2}$
$D.\ \dfrac{-15 - 2\sqrt{3}}{4}$
$E.\ \dfrac{-8 - \sqrt{2}}{2}$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Gradien garis yang melalui titik $O(0,\ 0)$ dan $P(a,\ b)$
$m_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{b - 0}{a - 0}$
$= \dfrac ba$

Gradien garis singgung:
$m_1.m_2 = -1$
$\dfrac ba.m_2 = -1$
$m_2 = -\dfrac ab$ . . . . (*)

$m_2 = y' = 2x = 2a$ . . . . (**)

dari (*) dan (**)
$-\dfrac ab = 2a$
$b = -\dfrac12$

$y = x^2 - \dfrac92$
$b = a^2 - \dfrac92$
$-\dfrac12 = a^2 - \dfrac92$
$a^2 = 4$
$a = \pm 2$

Karena titik P berada di kuadran III, maka a dan b haruslah bernilai negatif.
$a = -2$
$a + b = -2 - \dfrac12 = -\dfrac52$
jawab: B.

38. SBMPTN Mtk IPA 2017

Misalkan $f(x) = sin(sin^2x)$, maka $f'(x) = \cdots$
$A.\ 2sinx.cos(sin^2x)$
$B.\ 2sin2x.cos(sin^2x)$
$C.\ sin^2x.cos(sin^2x)$
$D.\ sin^22x.cos(sin^2x)$
$E.\ sin2x.cos(sin^2x)$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$y = f(g(x))$
$y' = f'(g(x)).g'(x)$

$f(x) = sin(sin^2x)$
$f'(x) = cos(sin^2x).2sinx.cosx$
$= cos(sin^2x).sin2x$
$= sin2x.cos(sin^2x)$
jawab: E.

39. SBMPTN Mtk IPA 2017

Garis singgung dari kurva $y = \dfrac{x}{2 - 2x}$ yang melalui titik $(1,\ -1)$ adalah . . . .
$A.\ x - 8y - 9 = 0$
$B.\ x + 4y + 3 = 0$
$C.\ 2x - 8y - 10 = 0$
$D.\ x + 8y + 7 = 0$
$E.\ x - 4y - 5 = 0$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$y = \dfrac{x}{2 - 2x}$ . . . . (*)
Titik $(1,\ -1)$ tidak terletak pada kurva, sehingga titik $(1,\ -1)$ bukanlah titik singgung.
Persamaan garis yang melalui titik $(1,\ -1)$ dengan gradien $m$.
$y - (-1) = m(x - 1)$
$y + 1 = mx - m$
$y = mx - (m + 1)$ . . . . (**)

dari pers (*) dan (**)
$mx - (m + 1) = \dfrac{x}{2 - 2x}$
$(mx - (m + 1))(2 - 2x) = x$
$2mx - 2mx^2 - 2(m + 1) + 2x(m + 1) = x$
$2mx^2 - (4m + 1)x + 2m + 2 = 0$

$D = 0$
$(-(4m + 1))^2 - 4.2m.(2m + 2) = 0$
$16m^2 + 8m + 1 - 16m^2 - 16m = 0$
$8m = 1$
$m = \dfrac18$

Masukkan nilai $m$ ke persamaan (**)
$y = \dfrac18x - (\dfrac18 + 1)$
$y = \dfrac18x - \dfrac98$
$8y = x - 9$
$x - 8y - 9 = 0$
jawab: A.

40. SBMPTN Mtk IPA 2016

Diketahui fungsi $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ pada interval $[-4,\ 2]$ memotong $sumbu-x$ di $-2$ dan memotong $sumbu-y$ di $26$. Jika diketahui $f''(-3) = 0$ maka nilai minimum $f(x)$ adalah . . . .
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ -1$
$D.\ 2$
$E.\ 3$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$
$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$
$f''(x) = 6x + 2b$
$f''(-3) = 0$
$6.(-3) + 2b = 0$
$b = 9$

Titik potong $sumbu-y → x = 0$
$26 = 0^3 + b.0^2 + c.0 + d$
$d = 26$

Titik potong $sumbu-x → y = 0$
$f(x) = x^3 + 9x^2 + cx + 26$
$0 = (-2)^3 + 9.(-2)^2 + c.(-2) + 26$
$0 = -8 + 36 - 2c + 26$
$2c = 54$
$c = 27$

$f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 26$
$f'(x) = 3x^2 + 18x + 27$
$= 3(x^2 + 6x + 9)$
$= 3(x + 3)^2$
$f'(x) > 0\ jika\ x \ne 3$
Berarti kurva selalu naik dan belok pada saat $x = 3$ dan kemudian naik lagi. Dengan demikian pada interval $[-4,\ 2]$ nilai minimumnya adalah pada $x = -4$
$f(-4) = (-4)^3 + 9.(-4)^2 + 27.(-4) + 26$
$= -64 + 144 - 108 + 26$
$= -2$
jawab: B.

41. SBMPTN Mtk IPA 2015

Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi $f(x) = -\dfrac13x^3 + x + c$ untuk $-1 \leq x \leq 2$. Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $-2f'(0)$. Jika rasio deret geometri tersebut $1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, maka nilai $c$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{10}{3}$
$B.\ \dfrac83$
$C.\ \dfrac73$
$D.\ \dfrac53$
$E.\ \dfrac43$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$f(x) = -\dfrac13x^3 + x + c$
$f'(x) = -x^2 + 1$
$f'(0) = -0^2 + 1 = 1$

Syarat stasioner:
$f'(x) = 0$
$-x^2 + 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$

$f''(x) = -2x$
$f''(1) = -2.1 = -2 < 0$ → maksimum pada $x = 1$
$f''(-1) = -2.(-1) = 2 > 0$ → minimum pada $x = -1$

$U_2 - U_1 = -2f'(0)$
$ar - a = -2.1$
$a\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) - a = -2$
$-\dfrac{a}{\sqrt{2}} = -2$
$a = 2\sqrt{2}$

$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$= \dfrac{2\sqrt{2}}{1 - (1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}})}$
$= 2\sqrt{2}.\sqrt{2}$
$= 4$

Dengan demikian:
$f(1) = 4$
$-\dfrac13.1^3 + 1 + c = 4$
$c = 4 - 1 + \dfrac13$
$c = 3\dfrac13 = \dfrac{10}{3}$
jawab: A.

42. SBMPTN Mtk IPA 2015

Fungsi $f(x) = \sqrt{2 + \dfrac{x}{\sqrt{2}} - sinx}$, $-\pi \leq x \leq \pi$ turun pada interval . . . .
$A.\ 0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$
$B.\ 0 < x < \pi$
$C.\ -\dfrac{\pi}{3} \leq x \leq 0$
$D.\ -\dfrac{\pi}{3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3}$
$E.\ -\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{4}$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar dan Geometri]

Fungsi turun:
$f'(x) < 0$

$\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} - cosx}{2\sqrt{2 + \dfrac{x}{\sqrt{2}} - sinx}} < 0$

Karena $\sqrt{2 + \dfrac{x}{\sqrt{2}} - sinx}$ selalu bernilai positif, bisa diabaikan.
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} - cosx < 0$
$\dfrac12\sqrt{2} < cosx$
$cosx > \dfrac12\sqrt{2}$
Pembuat nol:
$cosx = \dfrac12\sqrt{2}$
$x = -\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{4}$

$-\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{4}$
jawab: E.

43. SBMPTN Mtk IPA 2013

Diketahui $F(x) = bx^3 - 3(1 + a)x^2 - 3x$. Jika $F(x)$ habis dibagi $x - 1$ dan kurva $y = F(x)$ mempunyai titik ekstrem lokal, maka . . . .
$A.\ 0 \leq a < 1$
$B.\ a \leq 0\ atau\ a \geq 1$
$C.\ -1 < a < 0$
$D.\ a < 1\ atau\ a > 0$
$E.\ a \leq -2\ atau\ a \geq -1$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar dan Geometri]

$F(x) = bx^3 - 3(1 + a)x^2 - 3x$
$F'(x) = 3bx^2 - 6(1 + a)x - 3$
$F''(x) = 6bx - 6(1 + a)$

$F''(x)$ habis dibagi oleh $x - 1$
$F''(1) = 0$
$6b.1 - 6(1 + a) = 0$
$6b = 6(1 + a)$
$b = 1 + a$ . . . . (*)

$F'(x) = 3bx^2 - 6(1 + a)x - 3$
$F'(x) = 0$
$3(1 + a)x^2 - 6(1 + a)x - 3 = 0$
$(1 + a)x^2 - 2(1 + a)x - 1 = 0$
Supaya $x$ real, sehingga ada nilai ekstrem relatif (nilai ekstrem lokal), maka $D \geq 0$.
$(-2(1 + a))^2 - 4(1 + a).(-1) \geq 0$
$4(a^2 + 2a + 1) + 4 + 4a \geq 0$
$4a^2 + 8a + 4 + + 4 + 4a \geq 0$
$4a^2 + 12a + 8 \geq 0$
$a^2 + 3a + 2 \geq 0$
$(a + 2)(a + 1) \geq 0$
$a \leq -2\ atau\ a \geq -1$
jawab: E.

44. SIMAK UI Mtk IPA 2018

Misalkan $f(1) = 2,\ f'(1) = -1,\ g(1) = 0,\ dan\ g'(1) = 1$. Jika $F(x) = f(x)cos(g(x))$, maka $F'(1) = \cdots$
$A.\ 2$
$B.\ 1$
$C.\ 0$
$D.\ -1$
$E.\ -2$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

$F(x) = f(x)cos(g(x))$
$F'(x) = f'(x).cos(g(x)) + f(x).(-sin(g(x))).g'(x)$
$F'(1) = f'(1).cos(g(1)) + f(1).(-sin(g(1))).g'(1)$
$= -1.cos(0) + 2.(-sin(0)).1$
$= -1.1 + 2.0.1$
$= -1$
jawab: D.

45. SIMAK UI Mtk IPA 2012

Diberikan $f(x) = sin^2x$. Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$, maka $\displaystyle \lim_{h \to \infty}\ h\left(f'(x + \dfrac 1h) - f'(x)\right) = \cdots$
$A.\ sin2x$
$B.\ -cos2x$
$C.\ 2cos2x$
$D.\ 2sinx$
$E.\ -2cosx$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar dan Geometri]

$f(x) = sin^2x$
$f'(x) = 2.sinx.cosx$
$= sin2x$

$\displaystyle \lim_{h \to \infty}\ h\left(f'(x + \dfrac 1h) - f'(x)\right)$
$= \displaystyle \lim_{\dfrac 1h \to 0}\ \dfrac{\left(f'(x + \dfrac 1h) - f'(x)\right)}{\dfrac 1h}$
$= f''(x)$
$= 2cos2x$
jawab: C.

46. SIMAK UI Mtk IPA 2010

Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung (sesuai gambar). Bagian atas terbuka dan kapasitasnya $125\pi\ liter$. Agar bahan pembuatnya sehemat mungkin, nilai $h = \cdots$ meter.
$A.\ 1$
$B.\ 5$
$C.\ 10$
$D.\ 50$
$E.\ 100$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Volume:
$V = \dfrac12\pi r^2h$
$125\pi = \dfrac12\pi r^2h$
$2.125\pi = \pi r^2h$
$r^2 = \dfrac{250}{h}$
$r = \sqrt{\dfrac{250}{h}}$

Luas Permukaan:
$L = \pi r^2 + \pi rh $
$= \pi \dfrac{250}{h} + \pi \sqrt{\dfrac{250}{h}}.h$
$= \pi \dfrac{250}{h} + \pi \sqrt{250h}$
$L' = 0$
$-\pi \dfrac{250}{h^2} + \pi \dfrac{\sqrt{250}}{2\sqrt{h}} = 0$
$\pi \dfrac{250}{h^2} = \pi \dfrac{\sqrt{250}}{2\sqrt{h}}$
$250.2\sqrt{h} = h^2.\sqrt{250}$
$\sqrt{250}.2 = h^{3/2}$
$250.4 = h^3$
$10^3 = h^3$
$h = 10$
jawab: C.

47. UN Mtk IPA 2010

Garis singgung kurva $y = (x^2 + 2)^2$ yang melalui titik $(1,\ 9)$ memotong sumbu Y di titik . . . .
$A.\ (0,\ 8)$
$B.\ (0,\ 4)$
$C.\ (0,\ -3)$
$D.\ (0,\ -12)$
$E.\ (0,\ -21)$
[Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar]

Titik $(1,\ 9)$ terletak pada kurva, sehingga titik singgung pada kurva adalah $(1,\ 9)$.
$m = y'$
$= 2.(x^2 + 2).2x$
$= 4x(x^2 + 2)$
$= 4.1.(1^2 + 2)$
$= 4.3$
$= 12$

Persamaan garis singgung:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 9 = 12(x - 1)$
$y - 9 = 12x - 12$
$y = 12x - 3$

Titik potong sumbu $y → x = 0$
$y = 12.0 - 3$
$y = -3$
$Titik\ potong\ sumbu\ y = (0,\ -3)$
jawab: C.

Sekian Pembahasan soal UNBK dan SBMPTN Turunan Fungsi Aljabar, semoga bermanfaat. Selamat Belajar !

Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

BAGIKAN ARTIKEL

www.maretong.com

MARETONG