Soal dan Pembahasan UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal dan Pembahasan UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek ini merupakan upaya untuk membantu adik-adik yang ingin melanjutkan pendidikan ke Perguruan Tinggi Negri (PTN) yang adik-adik dambakan. Soal ini sebenarnya sudah lama nangkring di buku catatan admin maretong, yang dikumpulkan dari berbagai media sosial termasuk soal-soal yang dikirim oleh anak-anak yang mengikuti UTBK SBMPTN 2019 ke WA admin untuk menanyakan pembahasannya. Tetapi karena admin ragu tentang keaslian soal-soal tersebut, akhirnya admin memilih untuk menunda mempublikasikannya dengan alasan tertentu. Tetapi karena banyak diantara teman-teman yang mendesak dibuatkan penyelesaian versi maretong, walaupun admin tidak mengerti apa yang dimaksud dengan versi maretong (penyelesaian soal pada dasarnya sama), dan supaya catatan yang ada tidak hilang, maka dengan senang hati admin akan membuatkannya walaupun hal ini sangat melelahkan dan menguras tenaga. Masalah asli atau tidaknya soal ini, tidaklah begitu penting lagi karena ternyata jauh lebih penting untuk mempelajarinya dari pada mempertanyakannya walaupun sebenarnya para peserta test mengaku bahwa soal-soal ini adalah asli atau setidaknya mirip dengan soal asli. Kalau begitu pelajarilah dengan semangat, semoga cita-citamu tercapai !

1. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\Bigr||x| + x\Bigr| \leq 2$ adalah . . . .
$A.\ \{x\ |\ 0 \leq x \leq 1,\ x \in R\}$
$B.\ \{x\ |\ x \leq 1,\ x \in R\}$
$C.\ \{x\ |\ x \leq 2,\ x \in R\}$
$D.\ \{x\ |\ x \leq 0,\ x \in R\}$
$E.\ \{x\ |\ x \geq 0,\ x \in R\}$

$\bullet$ Jika $|f(x)| \leq a → -a \leq f(x) \leq a$
$\bullet$ $|x| = \begin{cases} x ,\ jika\ x \geq 0\\ -x,\ jika\ x < 0 \end{cases}$

$\Bigr||x| + x\Bigr| \leq 2$
$-2 \leq |x| + x \leq 2$
$-2 \leq |x| + x$ dan $|x| + x \leq 2$

Pertama:
$-2 \leq |x| + x$
$\bullet$ Untuk $x < 0$ . . . . (*)
$-2 \leq -x + x$
$-2 \leq 0$ . . . . (**)
dari (*) dan (**) tidak ada solusi.

$\bullet$ Untuk $x \geq 0$ . . . . (*)
$-2 \leq x + x$
$-2 \leq 2x$
$-1 \leq x$
$x \geq -1$ . . . . (**)
$(*) \cap (**) → x \geq 0$ . . . . (1)

Kedua:
$|x| + x \leq 2$
$\bullet$ Untuk $x < 0$ . . . . (*)
$-x + x \leq 2$
$0 \leq 2$ . . . . (**)
dari (*) dan (**) tidak ada solusi.

$\bullet$ Untuk $x \geq 0$ . . . . (*)
$x + x \leq 2$
$2x \leq 2$
$x \leq 1$ . . . . (**)

$(*) \cap (**) → 0 \leq x \leq 1$ . . . . (2)

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan adalah:
$(1) \cap (2) → 0 \leq x \leq 1,\ x \in R$
jawab: A.

Klik Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak untuk pemantapan.

2. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan penyelesaian dari $\Bigr|x - 1\Bigr| < \dfrac 6x$ adalah interval $(a,\ b)$. Nilai $3a + 2b$ adalah . . . .
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 12

Untuk $x < 1$ . . . . (*)
$-(x - 1) < \dfrac 6x$
$-x + 1 - \dfrac 6x < 0$
$\dfrac{-x^2 + x - 6}{x} < 0 → x \ne 0$
$\dfrac{x^2 - x + 6}{x} > 0$
$x(x^2 - x + 6) > 0$
$x^2 - x + 6 →$ definit positif, bisa diabaikan.
$x > 0$ . . . . (**)
$(*) \cap (**) → 0 < x < 1$ . . . . (1)

Untuk $x \geq 1$ . . . . (*)
$x - 1 < \dfrac 6x$
$x - 1 - \dfrac 6x < 0$
$\dfrac{x^2 - x - 6}{x} < 0 → x \ne 0$
$x(x + 2)(x - 3) < 0$
$x < -2\ atau\ 0 < x < 3$ . . . . (**)
$(*) \cap (**) → 1 \leq x < 3$ . . . . (2)

Himpunan penyelesaian Pertidaksamaan adalah:
$(1) \cup (2) → 0 < x < 3 → (0,\ 3)$
$a = 0,\ b = 3$
$3a + 2b = 3.0 + 2.3 = 6$
jawab: D.

3. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\Bigr|3 - |x + 1|\Bigr| < 2$ adalah . . . .
$A.\ -5 < x < -2$ atau $-1 < x < 4$
$B.\ -6 < x < -2$ atau $-1 < x < 4$
$C.\ -5 < x < -2$ atau $0 < x < 5$
$D.\ -6 < x < -2$ atau $0 < x < 4$
$E.\ -5 < x < -2$ atau $-1 < x < 5$

$\Bigr|3 - |x + 1|\Bigr| < 2$
$-2 < 3 - |x + 1| < 2$
$-2 < 3 - |x + 1|$ dan $3 - |x + 1| < 2$

Pertama:
$-2 < 3 - |x + 1|$
$|x + 1| < 5$
$-5 < x + 1 < 5$
$-6 < x < 4$ . . . . (1)

Kedua:
$3 - |x + 1| < 2$
$3 - 2 < |x + 1|$
$1 < |x + 1|$
$|x + 1| > 1$
$x + 1 < -1$ atau $x + 1 > 1$
$x < -2$ atau $x > 0$ . . . . (2)

Himpunan Penyelesaian adalah $(1) \cap (2)$
$-6 < x < -2$ atau $0 < x < 4$
jawab: D.

4. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan penyelesaian dari $|x - 1| < 3 - |x|$ adalah interval $(a,\ b)$. Niali $2a + b$ adalah . . . .
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 3$

$|x - 1| = \begin{cases} x - 1,\ jika x \geq 1 \\ -x + 1,\ jika x < 1 \end{cases}$
$|x| = \begin{cases} x,\ jika x \geq 0 \\ -x,\ jika x < 0 \end{cases}$
Berdasarkan kondisi di atas, ada tiga interval yang harus kita tinjau, yaitu: $x < 0$, $0 \leq x < 1$, dan $x \geq 1$.

Pertama untuk $x < 0$, pertidaksamaan menjadi:
$-(x - 1) < 3 - (-x)$
$-x + 1 < 3 + x$
$-2 < 2x$
$-1 < x$
$x > -1$ . . . . (1)

Kedua untuk $0 \leq x < 1$, pertidaksamaan menjadi:
$-(x - 1) < 3 - x$
$-x + 1 < 3 - x$
$0 < 2$ → tidak ada solusi

Ketiga untuk $x \geq 1$, pertidaksamaan menjadi:
$x - 1 < 3 - x$
$2x < 4$
$x < 2$ . . . . (2)
Himpunan penyelesaian adalah:
$(1) \cup (2) → -1 < x < 2 → (-1,\ 2)$
$a = -1$
$b = 2$
$2a + b = 2.(-1) + 2 = 0$
jawab: C.

5. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2log^2\ x + 2^2log\ 2x > 2$ adalah . . . .
$A.\ \{x|\ 1 < x < 4,\ x \in R\}$
$B.\ \{x|\ \dfrac14 < x < 1,\ x \in R\}$
$C.\ \{x|\ x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
$D.\ \{x|\ 0 < x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
$E.\ \{x|\ 0 < x < 1\ atau\ x > 4,\ x \in R\}$

$^2log^2\ x + 2^2log\ 2x > 2$
$^2log^2\ x + 2(^2log\ 2 +\ ^2log\ x) > 2$
$^2log^2\ x + 2.^2log\ 2 + 2^2log\ x > 2$
$^2log^2\ x + 2.1 + 2^2log\ x > 2$
$^2log^2\ x + 2^2log\ x > 0$
Misalkan $^2log\ x = p$
$p(p + 2) > 0$
$p < -2\ atau\ p > 0$
$^2log\ x < -2 → x < \dfrac14$
$^2log\ x > 0 → x > 1$
Himpunan Penyelesaian:
$\{x|\ x < \dfrac14\ atau\ x > 1,\ x \in R\}$
jawab: C.

Klik Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma serta Rumus dan Sifat Logaritma untuk Pemantapan.

6. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $(^alog\ x)^2 - ^alog\ x - 2 > 0$ dengan $0 < a < 1$ adalah . . . .
$A.\ x < a^2\ atau\ x > a^{-1}$
$B.\ x < a^2\ atau\ x > a^{-2}$
$C.\ a^2 < x < a^{-1}$
$D.\ a^2 < x < a^{-2}$
$E.\ a^{-2} < x < a^2$

Misalkan $^alog\ x = p$
$(^alog\ x)^2 - ^alog\ x - 2 > 0$
$p^2 - p - 2 > 0$
$(p + 1)(p - 2) > 0$
$p < -1\ atau\ p > 2$

$0 < a < 1$
$^alog\ x < -1 → x > a^{-1}$
atau
$^alog\ x > 2 → x < a^2$
jawab: A.

7. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^alog^2\ x + 4^alog\ x + 3 < 0$ dengan $a > 1$ adalah . . . .
$A.\ a^{-3} < x < a^{-1}$
$B.\ a^{-1} < x < a^3$
$C.\ a^{-1} < x < a^{-3}$
$D.\ a^{-3} < x < a$
$E.\ 1 < x < a^{-3}$

Misalkan $^alog\ x = p$
$p^2 + 4p + 3 < 0$
$(p + 3)(p + 1) < 0$
$-3 < p < -1$
$-3 < ^alog\ x < -1$
$^alog\ a^{-3} < ^alog\ x < ^alog\ a^{-1}$
$a^{-3} < x < a^{-1}$
jawab: A.

8. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan:
$\begin{cases}x^2 + y^2 + 2y = 8 \\ x^2 - y^2 - 2y + 4x + 8 = 0 \end{cases}$
Mempunyai solusi $(x,\ y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah . . . .
$A.\ 4$
$B.\ -4$
$C.\ 2$
$D.\ -2$
$E.\ 0$

$x^2 + y^2 + 2y - 8 = 0$
$x^2 - y^2 - 2y + 4x + 8 = 0$
-------------------------------------- +
$2x^2 + 4x = 0$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
$x = 0\ atau\ x = -2$

$jika\ x = 0:$
$0^2 + y^2 + 2y - 8 = 0$
$y^2 + 2y - 8 = 0$
$y_1 + y_2 = -\dfrac ba = -\dfrac21 = -2$

$jika\ x = -2:$
$(-2)^2 + y^2 + 2y - 8 = 0$
$y^2 + 2y - 4 = 0$
$y_3 + y_4 = -\dfrac ba = -\dfrac21 = -2$

$\begin{align}
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 &= -2 + (-2)\\
&= -4
\end{align}$
jawab: B.

9. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $(a,\ b)$ merupakan solusi real dari persamaan kuadrat
$\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x = 19 \\ x + y^2 = 1 \end{cases}$
Maka nilai dari $a + 4b$ yang terbesar adalah . . . .
A. 4
B. 5
C. 10
D. 11
E. 14

$x^2 + y^2 - 2x = 19$
$x + y^2 = 1$
----------------------------- --
$x^2 - 3x = 18$
$x^2 - 3x - 18 = 0$
$(x + 3)(x - 6) = 0$
$x = -3\ atau\ x = 6$

$jika\ x = 6$
$6 + y^2 = 1$
$y^2 = -5$ (tidak memiliki solusi real)

$jika\ x = -3:$
$-3 + y^2 = 1$
$y^2 = 4$
$y = \pm 2$
$a = -3,\ b = -2$
$a + 4b = -3 + 4.(-2) = -11$
$a = -3,\ b = 2$
$a + 4b = -3 + 4.2 = 5$
Dengan demikian nilai terbesar dari $a + 4b$ adalah 5.
jawab: B.

10. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan $(x,\ y)$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$\begin{cases}x^2 + y^2 = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{8} = 3\end{cases}$
Jumlah dari semua nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$

$x^2 + y^2 = 6 → y^2 = 6 - x^2$
$\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{8} = 3$
$\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{6 - x^2}{8} = 3$
$\dfrac12x^2 - \dfrac18x^2 + \dfrac34 = 3$
$\dfrac38x^2 - \dfrac94 = 0$
$3x^2 - 18 = 0$
$x^2 = 6$
$x = \pm \sqrt{6}$
$x_1 + x_2 = 0$

$x^2 + y^2 = 6$
$6 + y^2 = 6$
$y^2 = 0$
$y_1 = 0;\ y_2 = 0$

$x_1 + x_2 + y_1 + y_2 = 0$
jawab: C.

11. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{a^{2x} + 8}{a^x} > 2a^x$ dengan $0 < a < 1$ adalah . . . .
$A.\ \{x|\ x < \dfrac32\ ^alog\ 2,\ x \in R\}$
$B.\ \{x|\ x < \dfrac23\ ^alog\ 2,\ x \in R\}$
$C.\ \{x|\ x > \dfrac32\ ^alog\ 2,\ x \in R\}$
$D.\ \{x|\ x > 2\ ^alog\ \left(\dfrac32\right),\ x \in R\}$
$E.\ \{x|\ x < 2\ ^alog\ \left(\dfrac32\right),\ x \in R\}$

$\dfrac{a^{2x} + 8}{a^x} > 2a^x$
$\dfrac{(a^x)^2 + 8}{a^x} - 2a^x > 0$
Misalkan $a^x = p$
$\dfrac{p^2 + 8}{p} - 2p > 0$
$\dfrac{p^2 + 8 - 2p^2}{p} > 0$
$\dfrac{-p^2 + 8}{p} > 0$
$\dfrac{p^2 - 8}{p} < 0$
$p (p + 2\sqrt{2})(p - 2\sqrt{2}) < 0$
$p < -2\sqrt{2}$ atau $0 < p < 2\sqrt{2}$

Pertama:
$p < -2\sqrt{2}$
$a^x < -2\sqrt{2}$ → (tidak mungkin karena $a^x$ selalu bernilai positif)

Kedua:
$0 < p < 2\sqrt{2}$
$0 < a^x < 2\sqrt{2}$
$0 < a^x$ dan $a^x < 2\sqrt{2}$
Karena $0 < a^x$ selalu benar untuk semua nilai $x$ jika $0 < a < 1$, maka kita hanya perlu meninjau $a^x < 2\sqrt{2}$.
$a^x < 2\sqrt{2}$
$log\ a^x < log\ 2\sqrt{2}$
$x.log\ a < log\ 2^{3/2}$
$x.log\ a < \dfrac32.log\ 2$
$x > \dfrac32.\dfrac{log\ 2}{log\ a}$
$x > \dfrac32\ ^alog\ 2$
jawab: C.

12. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $0 < a < 1$, maka $\dfrac{3 + 3a^x}{1 + a^x} < a^x$ mempunyai penyelesaian . . . .
$A.\ x >\ ^alog\ 3$
$B.\ x < -2^alog\ 3$
$C.\ x <\ ^alog\ 3$
$D.\ x > -^alog\ 3$
$E.\ x < 2^alog\ 3$

Supaya tidak terlalu panjang seperti pada pembahasan nomor 11, kita lakukan kali silang. Hal ini tidak akan mempengaruhi perhitungan karena ruas kiri dan ruas kanan sudah pasti bernilai positif. Hal ini juga berlaku pada soal nomor 11.
$\dfrac{3 + 3a^x}{1 + a^x} < a^x$
$3 + 3a^x < a^x + (a^x)^2$
$0 < (a^x)^2 - 2a^x - 3$
$(a^x)^2 - 2a^x - 3 > 0$
$(a^x + 1)(a^x - 3) > 0$
$a^x < -1\ atau\ a^x > 3$
Tidak mungkin $a^x < -1$, karena $a^x$ selalu bernilai positif untuk semua nilai $a$ dan $x$. Dengan demikian kita cukup meninjau $a^x > 3$.
$a^x > 3$
$log\ a^x > log\ 3$
$x.log\ a > log\ 3$
Karena $0 < a < 1$, maka:
$x < \dfrac{log\ 3}{log\ a}$
$x <\ ^alog\ 3$
jawab: C.

Klik Persamaan dan pertidaksamaan Eksponen untuk Pemantapan.

13. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $\alpha$ dan $\beta$ menyatakan akar-akar persamaan $3^{2x} - 36.3^x + 243 = 0$, maka $|\alpha - \beta| = \cdots$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

$3^{2x} - 36.3^x + 243 = 0$
$(3^x)^2 - 36.3^x + 243 = 0$
$(3^x - 9)(3^x - 27) = 0$
$3^x = 9\ atau\ 3^x = 27$
$\alpha = 2$
$\beta = 3$
$|2 - 3| = 1$
jawab: A.

14. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $x$ memenuhi persamaan $3^{x + 2} - 3^x = 32$, maka nilai $\dfrac{45^x}{5^{x - 1}} = \cdots$
A. 9
B. 20
C. 45
D. 60
E. 80

$3^{x + 2} - 3^x = 32$
$3^2.3^x - 3^x = 32$
$9.3^x - 3^x = 32$
$8.3^x = 32$
$3^x = 4$

$\dfrac{45^x}{5^{x - 1}} = 5^{1 - x}.(5.9)^x$
$= 5.5^{-x}.5^x.\left(3^2\right)^x$
$= 5.5^0.\left(3^x\right)^2$
$= 5.1.4^2$
$= 80$
jawab: E.

15. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}4^x + 5^y = 6 \\ 4^{x/y} = 5 \end{cases}$
nilai $\dfrac 1x + \dfrac 1y = \cdots$
$A.\ ^3log\ 4$
$B.\ ^3log\ 20$
$C.\ ^3log\ 5$
$D.\ ^3log\ 25$
$E.\ ^3log\ 6$

$4^{x/y} = 5$
$\left(4^{x/y}\right)^y = 5^y$
$4^x = 5^y$

$4^x + 5^y = 6$
$4^x + 4^x = 6$
$2.4^x = 6$
$4^x = 3 → x =\ ^4log\ 3$

$4^x = 5^y$
$3 = 5^y → y =\ ^5log\ 3$

$\dfrac 1x + \dfrac 1y = \dfrac{1}{^4log\ 3} + \dfrac{1}{^5log\ 3}$
$=\ ^3log\ 4 +\ ^3log\ 5$
$=\ ^3log\ 20$
jawab: B.

16. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}y = -mx + c \\ y = (x + 4)^2 \end{cases}$
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $m$ adalah . . . .
$A.\ -32$
$B.\ -20$
$C.\ -16$
$D.\ -8$
$E.\ -4$

Karena sistem persamaan memiliki tepat satu penyelesaian, berari garis $y = -mx + c$ hanya bersinggungan dengan kurva parabola dengan persamaan $y = (x + 4)^2$.
$(x + 4)^2 = -mx + c$
$x^2 + 8x + 16 = -mx + c$
$x^2 + 8x + mx + 16 - c = 0$
$x^2 + (8 + m)x + 16 - c = 0$
Karena bersinggungan, maka $D = 0$.
$b^2 - 4ac = 0$
$(8 + m)^2 - 4.1.(16 - c) = 0$
$m^2 + 16m + 64 - 64 + 4c = 0$
$m^2 + 16m + 4c = 0$
$m_1 + m_2 = -\dfrac{16}{1} = -16$
jawab: C.

17. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Garis $y = 2x + 1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(y - a)^2}{4} = 1$, interval nilai $a$ yang memenuhi adalah . . . .
$A.\ -7 < a < 3$
$B.\ -3 < a < 7$
$C.\ a < 3\ atau\ a > 7$
$D.\ a < -7\ atau\ a > 3$
$E.\ 3 < a < 7$

$\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(y - a)^2}{4} = 1$
$\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(2x + 1 - a)^2}{4} = 1$
Misalkan $1 - a = p$
$\dfrac{(x - 2)^2}{2} - \dfrac{(2x + p)^2}{4} = 1$
$\dfrac{(x^2 - 4x + 4)}{2} - \dfrac{(4x^2 + 4px + p^2)}{4} = 1$
$2x^2 - 8x + 8 - (4x^2 + 4px + p^2) = 4$
$-2x^2 - 8x - 4px + 4 - p^2 = 0$
$-2x^2 - (8 + 4p)x + 4 - p^2 = 0$
$2x^2 + (8 + 4p)x + p^2 - 4 = 0$
$D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(8 + 4p)^2 - 4.2.(p^2 - 4) < 0$
$64 + 64p + 16p^2 - 8p^2 + 32 < 0$
$8p^2 + 64p + 96 < 0$
$p^2 + 8p + 12 < 0$
$(p + 6)(p + 2) < 0$
$-6 < p < -2$
$-6 < 1 - a < -2$
$-7 < -a < -3$
$3 < a < 7$
jawab: E.

18. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika garis $y = mx$ tidak berpotongan dengan hiperbola $3x^2 - 4y^2 = 12$, maka nilai $m$ adalah . . . .
$A.\ |m| > \sqrt{\dfrac23}$
$B.\ |m| > \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$
$C.\ |m| < \sqrt{\dfrac32}$
$D.\ |m| > \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$E.\ |m| < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$3x^2 - 4y^2 = 12$
$3x^2 - 4.(mx)^2 - 12 = 0$
$3x^2 - 4m^2x^2 - 12 = 0$
$(3 - 4m^2)x^2 - 12 = 0$
Dari opsi, garis dan parabola saling berjauhan (tidak bersinggungan)
$D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$0 - 4.(3 - 4m^2).(-12) < 0$
$48(3 - 4m^2) < 0$
$3 - 4m^2 < 0$
$4m^2 - 3 > 0$
$m^2 - \dfrac34 > 0$
$\left(m + \dfrac12\sqrt{3}\right)\left(x - \dfrac12\sqrt{3}\right) > 0$
$m < -\dfrac12\sqrt{3}$ atau $m > \dfrac12\sqrt{3}$
$\Bigr|m\Bigr| > \dfrac12\sqrt{3}$
jawab: B.

Ingat-ingat !
$jika\ |x| > a$ maka $x < -a\ atau\ x > a$

19. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika garis $y = 2x - 3$ menyinggung parabola $y = 4x^2 + ax + b$ di titik $(-1,\ -5)$ serta $a$ dan $b$ adalah konstanta, maka $a + b =$ . . . .
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12

Gradien garis singgung:
$m = 2$ . . . . (*)
$m = y' = 8x + a$
$= 8.(-1) + a$
$= -8 + a$ . . . . (**)
dari (*) dan (**)
$2 = -8 + a$
$a = 10$

$y = 4x^2 + 10x + b$
Substitusikan titik $(-1,\ -5)$
$-5 = 4.(-1)^2 + 10.(-1) + b$
$-5 = 4 - 10 + b$
$b = 1$

$a + b = 10 + 1 = 11$
jawab: D.

20. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jarak terdekat titik pada kurva $y = \dfrac12x^2 + 1$ ke garis $2x - y = 4$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{3}{\sqrt{5}}$
$B.\ \dfrac{4}{\sqrt{5}}$
$C.\ \sqrt{5}$
$D.\ \dfrac{6}{\sqrt{5}}$
$E.\ \dfrac{7}{\sqrt{5}}$

Cari titik singgung atau persamaan garis singgung, kemudian hitung jaraknya ke garis $2x - y - 4 = 0$
Gradien garis singgung:
$m = 2$ . . . . (*)
$m = y' = x$ . . . . (**)
dari (*) dan (**)
$x = 2$
$y = \dfrac12.2^2 + 1 = 3$
$titik\ singgung = (2,\ 3)$
$d = \left|\dfrac{2.2 - 3 - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}\right|$
$= \left|\dfrac{-3}{\sqrt{5}}\right|$
$= \dfrac{3}{\sqrt{5}}$
jawab: A.

21. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Misalkan $l_1$ menyatakan garis singgung kurva $y = x^2 + 1$ dititik $(2,\ 5)$ dan $l_2$ menyatakan garis singgung kurva $y = 1 - x^2$ yang sejajar dengan garis $l_1$. Jarak $l_1$ dan $l_2$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{2}{\sqrt{17}}$
$B.\ \dfrac{4}{\sqrt{17}}$
$C.\ \dfrac{6}{\sqrt{17}}$
$D.\ \dfrac{8}{\sqrt{17}}$
$E.\ \dfrac{10}{\sqrt{17}}$

Cari persamaan garis $l_1\ dan\ l_2$ kemudian hitung jaraknya.
Persamaan garis $l_1$:
$y = x^2 + 1$
$m = y' = 2x = 2.2 = 4$
$y - 5 = 4(x - 2)$
$y - 5 = 4x - 8$
$4x - y - 3 = 0$

Persamaan garis $l_2$ // $l_1$:
$m = 4$ . . . . (*)
$m = y' = -2x$ . . . . (**)
dari (*) dan (**)
$4 = -2x$
$x = -2$
$y = 1 - (-2)^2 = -3$
$titik\ singgung = (-2,\ -3)$
$y - (-3) = 4(x - (-2))$
$y + 3 = 4x + 8$
$4x - y + 5 = 0$

Jarak antara dua garis sejajar:
$d = \left|\dfrac{C_2 - C_1}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$
$d = \left|\dfrac{5 - (-3)}{\sqrt{4^2 + 1^2}} \right|$
$= \left|\dfrac{8}{\sqrt{17}} \right|$
$= \dfrac{8}{\sqrt{17}}$
jawab: C.

22. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diberikan fungsi $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 6x + 5$. Garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik dengan absis $x = a$ dan $x = a + 1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah . . . .
$A.\ \dfrac{5}{\sqrt{37}}$
$B.\ \dfrac{4}{\sqrt{37}}$
$C.\ \dfrac{3}{\sqrt{37}}$
$D.\ \dfrac{2}{\sqrt{37}}$
$E.\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 6x + 5$
$m = f'(x) = 6x^2 + 6x + 6$
$= 6(x^2 + x + 1)$
$m_1 = 6(a^2 + a + 1)$
$m_2 = 6((a + 1)^2 + (a + 1) + 1)$
$= 6(a^2 + 2a + 1 + a + 1 + 1)$
$= 6(a^2 + 3a + 3)$
Kedua garis saling sejajar sehingga $m_1 = m_2$
$6(a^2 + a + 1) = 6(a^2 + 3a + 3)$
$-2 = 2a$
$a = -1$

Persamaan garis 1:
$m_1 = 6(a^2 + a + 1)$
$= 6((-1)^2 + (-1) + 1)$
$= 6$
Titik singgung:
$x = a = -1$
$y = 2.(-1)^3 + 3.(-1)^2 + 6.(-1) + 5$
$= -2 + 3 - 6 + 5$
$= 0$
$titik\ singgung = (-1,\ 0)$
$y - 0 = 6(x - (-1))$
$y = 6x + 6$
$6x - y + 6 = 0$

Persamaan garis 2:
$m = 6 → //$ garis 1.
$x = a + 1 = -1 + 1 = 0$
$y = 2.0^3 + 3.0^2 + 6.0 + 5 = 5$
$titik\ singgung = (0,\ 5)$
$y - 5 = 6(x - 0)$
$y - 5 = 6x$
$6x - y + 5 = 0$

Jarak dua garis sejajar:
$d = \left|\dfrac{C_2 - C_1}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$
$d = \left|\dfrac{5 - 6}{\sqrt{6^2 + (-1)^2}} \right|$
$= \left|\dfrac{-1}{\sqrt{37}} \right|$
$= \dfrac{1}{\sqrt{37}}$
jawab: E.

23. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C = \begin{pmatrix}-7 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^3 + B = C$, maka determinan matriks $3A^{-1} =$ . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 1$
$C.\ -1$
$D.\ -2$
$E.\ -3$

$A^3 + B = C$
$A^3 = C - B$
$A^3 = \begin{pmatrix}-7 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}-9 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
$|A| = -18 - 9 = -27$
$\Bigr|A^3\Bigr| = |A|^3 = -27$
$|A| = -3$
$\Bigr|3A^{-1}\Bigr| = 3^2.\dfrac{1}{|A|}$
$= 9.\dfrac{1}{-3}$
$= -3$
jawab: E.

ingat-ingat !
$\bullet$ Jika $A$ merupakan matriks berordo $m \times m$, maka $|nA| = n^m.|A|$
$\bullet$ $\Bigr|A^{-1}\Bigr| = \dfrac{1}{|A|}$

24. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B = \begin{pmatrix}-2 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $C = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Jika $AB = C$, maka determinan dari $(2A^{-1})$ adalah . . . .
$A.\ 4$
$B.\ 2$
$C.\ 1$
$D.\ -2$
$E.\ -4$

$AB = C$
$|AB| = |C|$
$|A|.|B| = |C|$
$|A|.(-6 + 5) = 10 - 12$
$-|A| = -2$
$|A| = 2$
$\Bigr|2A^{-1}\Bigr| = 2^2.\dfrac{1}{|A|} = 4.\dfrac12 = 2$
jawab: B.

25. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui $B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B + C = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A$ adalah matriks berukuran $2 \times 2$ sehingga $AB + AC = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $AB$ adalah . . . .
$A.\ 4$
$B.\ 2$
$C.\ 1$
$D.\ -1$
$E.\ -2$

$AB + AC = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$A(B + C) = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$|A(B + C)| = \begin{vmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}$
$|A|.|(B + C)| = \begin{vmatrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}$
$|A|.(2 + 3) = 4 + 6$
$|A|.5 = 10$
$|A| = 2$

$|AB| = |A|.|B| = 2.(2 - 0) = 4$
jawab: A.

26. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix}1 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku $A^2 + B = \begin{pmatrix}3 & -2 \\4 & -1 \end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^4$ adalah . . . .
A. 1
B. 2
C. 4
D. 16
E. 81

$A^2 + B = \begin{pmatrix}3 & -2 \\4 & -1 \end{pmatrix}$
$A^2 = \begin{pmatrix}3 & -2 \\4 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$
$A^2 = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$|A^2| = 2 + 2 = 4$
$|A^4| = \left(|A^2|\right)^2 = 4^2 = 16$
jawab: D.

27. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}x = sin\ \alpha + \sqrt{3}sin\ \beta \\ y = cos\ \alpha + \sqrt{3}cos\ \beta \end{cases}$
Nilai maksimum dari $x^2 + y^2$ adalah $a + b\sqrt{3}$. Nilai $a + b =$ . . . .
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8

$x^2 = (sin\ \alpha + \sqrt{3}sin\ \beta)^2$
$y^2 = (cos\ \alpha + \sqrt{3}cos\ \beta)^2$

$x^2 = sin^2\ \alpha + 2\sqrt{3}sin\ \alpha sin\ \beta + 3sin^2\ \beta$
$y^2 = cos^2\ \alpha + 2\sqrt{3}cos\ \alpha cos\ \beta + 3cos^2\ \beta$
----------------------------------------------------------------- +
$x^2 + y^2 = 1 + 2\sqrt{3}cos\ (\alpha - \beta) + 3$
$x^2 + y^2 = 2\sqrt{3}cos\ (\alpha - \beta) + 4$
$(x^2 + y^2)_{maks} = 4 + \Bigr|2\sqrt{3}\Bigr|$
$(x^2 + y^2)_{maks} = 4 + 2\sqrt{3}$
$a = 4,\ b = 2 → a + b = 6$
jawab: C.

Ingat-ingat !
$sin^2\ x + cos^2\ x = 1$
$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$

28. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}x = cos A - 2sin B \\ y = sin A - 2cos B \end{cases}$
Nilai minimum dari $x^2 + y^2 =$ . . . .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
E. 7

$x^2 = (cos\ A - 2sin\ B)^2$
$y^2 = (sin\ A - 2cos\ B)^2$

$x^2 = cos^2\ A - 4cos\ Asin\ B + 4sin^2\ B$
$y^2 = sin^2\ A - 4sin\ Acos\ B + 4cos^2\ B$
------------------------------------------------------------ +
$x^2 + y^2 = 1 - 4sin\ (A + B) + 4$
$x^2 + y^2 = -4sin\ (A + B) + 5$
$(x^2 + y^2)_{min} = -|-4| + 5 = 1$
jawab: A.

Ingat-ingat !
$sin\ (A + B) = sin\ Acos\ B + cos\ Asin\ B$

29. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}sin\ (x + y) = 1 + \dfrac15cos\ y \\ sin\ (x - y) = -1 + cos\ y \end{cases}$
Dengan $0 < y < \dfrac{\pi}{2}$. Nilai $sin\ x =$ . . . .
$A.\ \dfrac25$
$B.\ \dfrac35$
$C.\ \dfrac45$
$D.\ 1$
$E.\ \dfrac65$

$sin(x + y) = 1 + \dfrac15cos\ y$
$sin(x - y) = -1 + cos\ y$
--------------------------------------- +
$sin(x + y) + sin(x - y) = \dfrac65cos\ y$
$2sin\dfrac12(x + y + x - y)cos\dfrac12(x + y - (x - y))$ $= \dfrac65cos\ y$
$2sin\ xcos\ y = \dfrac65cos\ y$
$2sin\ x = \dfrac65$
$sin\ x = \dfrac{6}{10} = \dfrac35$
jawab: B.

30. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}cos\ 2x + cos 2y = \dfrac25 \\ sin\ x = 2sin\ y\end{cases}$
Untuk $x > 0$ dan $y > \pi$. Nilai $3sin\ x - 5sin\ y =$ . . . .
$A.\ -\dfrac35$
$B.\ -\dfrac25$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac25$
$E.\ \dfrac35$

$cos\ 2x + cos\ 2y = \dfrac25$
$1 - 2sin^2\ x + 1 - 2sin^2\ y = \dfrac25$
$-2(2sin\ y)^2 - 2sin^2\ y = -2 + \dfrac25$
$-2.4sin^2\ y - 2sin^2\ y = -\dfrac85$
$10sin^2\ y = \dfrac85$
$sin^2\ y = \dfrac{4}{25}$
$sin\ y = \pm \dfrac25$
Karena $y > \pi$ maka $sin\ y$ harus bernilai negatif (kw III atau kw IV).
$sin\ y = -\dfrac25$
$sin\ x = 2sin\ y = -\dfrac45$

$3sin\ x - 5sin\ y = 3.\left(-\dfrac45\right) - 5.\left(-\dfrac25\right)$
$= -\dfrac{12}{5} + \dfrac{10}{5}$
$= -\dfrac25$
jawab: B.

31. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}cos(a - b) = \dfrac45sin(a + b) \\ sin\ 2a + sin\ 2b = \dfrac{9}{10} \end{cases}$
Nilai dari $sin(a + b) =$ . . . .
$A.\ \dfrac57$
$B.\ \dfrac{7}{10}$
$C.\ \dfrac25$
$D.\ \dfrac34$
$E.\ \dfrac35$

$sin\ 2a + sin\ 2b = \dfrac{9}{10}$
$2sin\dfrac12(2a + 2b)cos\dfrac12(2a - 2b) = \dfrac{9}{10}$
$2sin(a + b)cos(a - b) = \dfrac{9}{10}$
$2sin(a + b).\dfrac45sin(a + b) = \dfrac{9}{10}$
$\dfrac85sin^2(a + b) = \dfrac{9}{10}$
$sin^2(a + b) = \dfrac{9}{16}$
$sin(a + b) = \pm \dfrac34$
jawab: D.

32. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $(x,\ y)$ dengan $0 < y < \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases}cos\ 2x + cos\ 2y = -\dfrac25 \\ cos\ y = 2cos\ x \end{cases}$
Maka $cos\ x + cos\ y =$ . . . .
$A.\ -\dfrac65$
$B.\ -\dfrac35$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac35$
$E.\ \dfrac65$

$cos\ 2x + cos\ 2y = -\dfrac25$
$2cos^2x - 1 + 2cos^2y - 1 = -\dfrac25$
$2cos^2x + 2(2cos\ x)^2 = 2 - \dfrac25$
$2cos^2x + 8cos^2x = \dfrac85$
$10cos^2x = \dfrac85$
$cos^2x = \dfrac{4}{25}$
$cos\ x = \pm \dfrac25$
Karena $0 < y < \dfrac{\pi}{2}$, maka $cos\ y$ harus bernilai positif.
Dengan demikian $cos\ x = \dfrac25$
$cos\ y = 2.cos\ x = 2.\dfrac25 = \dfrac45$
$cos\ x + cos\ y = \dfrac25 + \dfrac45 = \dfrac65$
jawab: E.

33. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases}a = sin\ x + cos\ y \\b = cos\ x - sin\ y \end{cases}$
Nilai minimum dari $2a^2 + 2b^2 + 2$ adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ 4$
$C.\ 6$
$D.\ 8$
$E.\ 12$

$a = sin\ x + cos\ y$
$b = cos\ x - sin\ y$

$a^2 = sin^2\ x + 2sin\ xcos\ y + cos^2\ y$
$b^2 = cos^2\ x - 2cos\ xsin\ y + sin^2\ y$
---------------------------------------------------- +
$a^2 + b^2 = 1 + 2sin(x - y) + 1$
$a^2 + b^2 = 2sin(x - y) + 2$
$(a^2 + b^2)_{min} = -|2| + 2 = 0$

$\begin{align}
(2a^2 + 2b^2 + 2)_{min} &= 2(a^2 + b^2)_{min} + 2\\
&= 2.0 + 2\\
&= 2
\end{align}$
jawab: A.

34. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui $g(x) = x^3 + px^2 + qx + 10$ dan $h(x) = x^2 - 3x + 2$ merupakan faktor dari $g(x)$. Nilai dari $5p + q$ adalah . . . .
$A.\ 2$
$B.\ -13$
$C.\ 13$
$D.\ -3$
$E.\ 3$

Karena $x^2 - 3x + 2$ merupakan faktor dari $g(x)$ dan misalkan faktor yang lainnya adalah $x + 5$, karena $x^3 = x^2.x$ dan $10 = 5.2$, maka:
$x^3 + px^2 + qx + 10$ $= (x + 5)(x^2 - 3x + 2)$
$= x^3 - 3x^2 + 2x + 5x^2 - 15x + 10$
$= x^3 + 2x^2 - 13x + 10$
$p = 2 → q = -13$
$5p + q = 5.2 - 13 = -3$
jawab: D.

35. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $p(x) = ax^3 + bx^2 + 2x - 3$ habis dibagi $x^2 + 1$, maka nilai $3a - b$ adalah . . . .
$A.\ -9$
$B.\ -3$
$C.\ 3$
$D.\ 9$
$E.\ 12$

$p(x)$ habis dibagi $x^2 + 1$ maka $x^2 + 1$ adalah salah satu faktor, dan misalkan faktor yang lain adalah $ax - 3$, karena $ax^3 = ax.x^2$ dan $-3 = -3.1$.
$ax^3 + bx^2 + 2x - 3$ $= (ax - 3)(x^2 + 1)$
$= ax^3 + ax - 3x^2 - 3$
$= ax^3 - 3x^2 + ax - 3$
$a = 2,\ b = -3$
$3a - b = 3.2 - (-3) = 9$
jawab: D.

36. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Suku banyak $Q(x) = ax^3 - bx^2 + (a - 2b)x + a$ habis dibagi $(x^2 + 2)$ dan $(x - b)$. Nilai $2ab =$ . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$

$Q(x)$ habis dibagi oleh $(x^2 + 2)$ dan $(x - b)$, berarti $(x^2 + 2)$ dan $(x - b)$ adalah faktor dari $Q(x)$, maka:
$ax^3 - bx^2 + (a - 2b)x + a$ $= (x^2 + 2)(x - b)$
$= x^3 - bx^2 + 2x - 2b$
$a = 1$
$a = -2b → b = -\dfrac12a = -\dfrac12$
$2ab = 2.1.\left(-\dfrac12\right) = -1$
jawab: B.

37. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Suku banyak $f(x) = ax^3 - ax^2 + bx - a$ habis dibagi $x^2 + 1$ dan apabila dibagi oleh $x - 4$ bersisa $51$. Nilai $a + b$ adalah . . . .
$A.\ -2$
$B.\ -1$
$C.\ 0$
$D.\ 1$
$E.\ 2$

$x^2 + 1$ merupakan faktor dari $f(x)$, misalkan faktor yang lain adalah $ax - a$, maka:
$ax^3 - ax^2 + bx - a$ $= (ax - a)(x^2 + 1)$
$= ax^3 - ax^2 + ax - a$
$a = b$

$f(4) = 51$
$a.4^3 - a.4^2 + a.4 - a = 51$
$64a - 16a + 4a - a = 51$
$51a = 51$
$a = 1$
$b = a = 1$
$a + b = 1 + 1 = 2$
jawab: E.

38. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Suku banyak $P(x) = x^3 + bx^2 - 2x - 6$ dibagi $(x - 2)^2$ bersisa $-2x + a$. Nilai $a + b$ adalah . . . .
$A.\ 15$
$B.\ 13$
$C.\ 0$
$D.\ -13$
$E.\ -5$

$x^3 + bx^2 - 2x - 6$ $= (x - 2)^2.H(x) - 2x + a$
Misalkan $H(x) = (x + c)$
$x^3 + bx^2 - 2x - 6$ $= (x - 2)^2(x + c) - 2x + a$
$= (x^2 - 4x + 4)(x + c) - 2x + a$
$= x^3 + (c - 4)x^2 + (2 - 4c)x + 4c + a$

$2 - 4c = -2 → c = 1$
$4c + a = -6 → a = -10$
$b = c - 4 → b = -3$
$a + b = -10 - 3 = -13$
jawab: D.

39. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika suku banyak $P(x) = ax^3 + x^2 + bx + 1$ habis dibagi $x^2 + 1$ dan $x + a$, maka nilai $ab$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac14$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ 1$
$D.\ 2$
$E.\ 4$

$(x^2 + 1)$ dan $(x + a)$ adalah faktor dari $P(x)$, sehingga:
$ax^3 + x^2 + bx + 1 = (x^2 + 1)(x + a)$
$= x^3 + ax^2 + x + a$
$a = 1,\ b = 1$
$ab = 1.1 = 1$
jawab: C.

40. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui $P(x) = (x + 1)(x^2 + x - 2)q(x) + (ax + b)$ dengan $q(x)$ adalah suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi $(x + 1)$ bersisa 10 dan dibagi $(x - 1)$ bersisa 20, maka sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x + 2)$ adalah . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 10$
$C.\ 15$
$D.\ 20$
$E.\ 25$

$P(x) = (x + 1)(x^2 + x - 2)q(x) + (ax + b)$
$P(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 2)q(x) + (ax + b)$

$P(-1) = -a + b = 10$
$P(1) = a + b = 20$
-------------------------------- +
$2b = 30 → b = 15$
$a = 5$

$\begin{align}
P(-2) &= -2a + b\\
&= -2.5 + 15\\
&= 5\\
\end{align}$
jawab: A.

41. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap, jika nilai $\displaystyle \int_{-5}^5(f(x) + 3x^2)dx = 260$ dan $\displaystyle \int_2^4 f(x)dx = 2$ maka nilai $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = \cdots$
$A.\ -7$
$B.\ -3$
$C.\ 0$
$D.\ 3$
$E.\ 7$

$\bullet$ Fungsi genap adalah fungsi yang simetris terhadap sumbu Y dimana $f(x) = f(-x)$, contohnya $y = ax^2$. Jika $f(x)$ adalah fungsi genap maka $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx = \displaystyle 2\int_0^a f(x)dx$. Dalam hal ini $y = f(x)$ dan $y = 3x^2$ adalah fungsi genap.
$\bullet$ $\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$

Dengan demikian:
$\displaystyle \int_{-5}^5(f(x) + 3x^2)dx = 260$
$\displaystyle 2\int_0^5(f(x) + 3x^2)dx = 260$
$\displaystyle \int_0^5(f(x) + 3x^2)dx = 130$

$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + \displaystyle \int_0^5 3x^2dx = 130$
$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + x^3\Bigr|_0^5 = 130$
$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + 5^3 - 0^3 = 130$
$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx + 125 = 130$
$\displaystyle \int_0^5 f(x)dx = 5$

$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + \displaystyle \int_2^4 f(x)dx + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = 5$
$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + 2 + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = 5$
$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx + \displaystyle \int_4^5 f(x)dx = 3$
jawab: D.

42. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika nilai $\displaystyle \int_b^a f(x)dx = 5$ dan $\displaystyle \int_c^a f(x)dx = 0$, maka $\displaystyle \int_c^b f(x)dx = \cdots$
$A.\ -5$
$B.\ -3$
$C.\ 0$
$D.\ 4$
$E.\ 6$

$\bullet$ $\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$
$\bullet$ $\displaystyle \int_a^bf(x)dx = \displaystyle -\int_b^af(x)dx$

Dengan demikian:
$\displaystyle \int_b^a f(x)dx = 5 → \displaystyle \int_a^b f(x)dx = -5$
$\displaystyle \int_c^a f(x)dx = 0 → \displaystyle \int_a^c f(x)dx = 0$

$\displaystyle \int_a^c f(x)dx = \displaystyle \int_a^b f(x)dx + \displaystyle \int_b^c f(x)dx$
$0 = -5 + \displaystyle \int_b^c f(x)dx$
$\displaystyle \int_b^c f(x)dx = 5$
$\displaystyle \int_c^b f(x)dx = -5$
jawab: A.

43. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x) = f(-x)$. Jika nilai $\displaystyle \int_{-3}^3 f(x)dx = 6$, $\displaystyle \int_{2}^3 f(x)dx = 1$, maka nilai $\displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx = \cdots$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Dasar Maretong:
$\bullet$ Jika $f(x) = f(-x)$ maka fungsi tersebut adalah fungsi genap dan simetris terhadap sumbu Y. Jika $f(x)$ adalah fungsi genap maka $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx = \displaystyle 2\int_0^a f(x)dx$.
$\bullet$ $\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$

Dengan demikian:
$\displaystyle \int_{-3}^3 f(x)dx = 6$
$\displaystyle 2\int_{0}^3 f(x)dx = 6$
$\displaystyle \int_{0}^3 f(x)dx = 3$

$\displaystyle \int_{0}^3 f(x)dx = \displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx + \displaystyle \int_{2}^3 f(x)dx$
$3 = \displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx + 1$
$\displaystyle \int_{0}^2 f(x)dx = 2$
jawab: B.

44. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Misalkan fungsi $f$ memenuhi $f(x + 5) = f(x)$ untuk setiap $x \in R$. Jika $\displaystyle \int_1^5 f(x)dx = 3$ dan $\displaystyle \int_{-5}^{-4} f(x)dx = -2$ maka nilai $\displaystyle \int_5^{15} f(x)dx = \cdots$

Jika $f(x) = f(x + c)$ maka $f(x)$ adalah fungsi periodik dengan periode $c$, sehingga berlaku:
$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = \displaystyle \int_{a + c}^{b + c}f(x)dx = \displaystyle \int_{a + 2c}^{b + 2c}f(x)dx = \cdots$

$f(x) = f(x + 5)$, Berarti $f(x)$ adalah fungsi periodik dengan periode 5.
Dengan demikian:
$\displaystyle \int_1^5 f(x)dx$ $= \displaystyle \int_6^{10} f(x)dx$ $= \displaystyle \int_{11}^{15} f(x)dx = 3$
$\displaystyle \int_{-5}^{-4} f(x)dx$ $= \displaystyle \int_0^{1} f(x)dx$ $= \displaystyle \int_5^6 f(x)dx$ $= \displaystyle \int_{10}^{11} f(x)dx = -2$
$\displaystyle \int_5^{15} f(x)dx = \displaystyle \int_5^6 f(x)dx$ $+ \displaystyle \int_6^{10} f(x)dx + \displaystyle \int_{10}^{11} f(x)dx + \displaystyle \int_{11}^{15} f(x)dx$
$= -2 + 3 -2 + 3$
$= 2$
jawab: D.

45. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi genap, jika $\displaystyle \int_{-4}^{4} f(x)dx = 16$, $\displaystyle \int_{3}^{4} f(2x - 2)dx = 11$ dan $\displaystyle \int_{-5}^{-1} f(1 - x)dx = 6$, maka $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = \cdots$
A. 22
B. 23
C. 24
D. 25
E. 26

$\bullet$ Jika $f(x)$ adalah fungsi genap maka $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx = \displaystyle 2\int_0^a f(x)dx$.
$\bullet$ $\displaystyle \int_a^cf(x)dx = \displaystyle \int_a^bf(x)dx + \displaystyle \int_b^cf(x)dx$

$\displaystyle \int_{-4}^{4} f(x)dx = 16$
$\displaystyle 2\int_{0}^{4} f(x)dx = 16$
$\displaystyle \int_{0}^{4} f(x)dx = 8$

$\displaystyle \int_{3}^{4} f(2x - 2)dx = 11$
Misalkan:
$u = 2x - 2$
$\dfrac{du}{dx} = 2$
$\dfrac12du = dx$

$x = 3 → u = 4;\ x = 4 → u = 6$
$\displaystyle \int_{3}^{4} f(2x - 2)dx = 11$
$\displaystyle \dfrac12\int_{4}^{6} f(u)du = 11$
$\displaystyle \int_{4}^{6} f(u)du = 22$
$\displaystyle \int_{4}^{6} f(x)dx = 22$

$\displaystyle \int_{-5}^{-1} f(1 - x)dx = 6$
Misalkan:
$u = 1 - x$
$-du = dx$

$x = -1 → u = 2;\ x = -5 → u = 6$
$\displaystyle \int_{-5}^{-1} f(1 - x)dx = 6$
$\displaystyle -\int_{6}^{2} f(u)du = 6$
$\displaystyle \int_{2}^{6} f(u)du = 6$
$\displaystyle \int_{2}^{6} f(x)dx = 6$

$\displaystyle \int_{2}^{6} f(x)dx = \displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx + \displaystyle \int_{4}^{6} f(x)dx$
$6 = \displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx + 22$
$\displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx = -16$

$\displaystyle \int_{0}^{4} f(x)dx = \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx + \displaystyle \int_{2}^{4} f(x)dx$
$8 = \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx - 16$
$\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = 24$
jawab: C.

46. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Parabola $y = x^2 - 6x + 8$ digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu X dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu X di $x_1$ dan $x_2$ maka nilai $x_1 + x_2 =$ . . . .
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12

Persamaan parabola setelah digeser.
$\begin{align}
y &= (x - 2)^2 - 6(x - 2) + 8 - 3\\
&= x^2 - 4x + 4 - 6x + 12 + 5\\
&= x^2 - 10x + 21
\end{align}$
Titik potong sumbu $x → y = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$
$x_1 + x_2 = -\dfrac ba = 10$
jawab: C.

47. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Garis $y = 2x + 1$ digeser sejauh $a$ satuan ke kanan dan sejauh $b$ satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu X, bayangannya menjadi $y = ax - b$. Nilai $a + b =$ . . . .
$A.\ -\dfrac12$
$B.\ -3$
$C.\ 4$
$D.\ 3$
$E.\ \dfrac12$

Persamaan garis setelah digeser:
$y = 2(x - a) + 1 - b$
$y = 2x + 1 - 2a - b$

Dicerminkan terhadap sumbu X:
$(x,\ y) \xrightarrow[sb\ x]{refleksi} (x',\ y')$
$x' = x$
$y' = -y → y = -y'$

Masukkan $x = x'$ dan $y = y'$ ke persamaan garis hasil pergeseran !
$y = 2x + 1 - 2a - b$
$-y' = 2x' + 1 - 2a - b$
Hapus tanda ' !
$-y = 2x + 1 - 2a - b$
$y = -2x + 2a + b - 1$

Kesamaan dengan $y = ax - b$ !
$a = -2$
$2a + b - 1 = -b$
$2b = 1 - 2a$
$2b = 1 - 2.(-2)$
$2b = 5 → b = \dfrac52$

$a + b = -2 + \dfrac52 = \dfrac12$
jawab: E.

48. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika garis $y = ax + b$ digeser ke atas sejauh 2 satuan kemudian dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah garis $y = -2x + 1$. Nilai $3a - 2b$ adalah . . . .
$A.\ -8$
$B.\ -4$
$C.\ -1$
$D.\ 8$
$E.\ 12$

Persamaan garis hasil pergeseran:
$y = ax + b + 2$

Dicerminkan terhadap sumbu X:
$x' = x$
$y' = -y → y = -y'$

Masukkan $x = x'$ dan $y = -y'$ ke dalam persamaan garis hasil pergeseran !
$y = ax + b + 2$
$-y' = ax' + b + 2$
Hilangkan tanda ' !
$-y = ax + b + 2$
$y = -ax - b - 2$

Kesamaan dengan $y = -2x + 1$
$a = 2$
$-b - 2 = 1 → b = -3$
$3a - 2b = 3.2 - 2.(-3) = 12$
jawab: E.

49. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Garis $y = 2x + 1$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^o$ terhadap titik asal, kemudian digeser sejauh $b$ satuan ke atas dan $a$ satuan ke kiri, bayangan menjadi $x - ay = b$. Nilai $a + b$ adalah . . . .
$A.\ 5$
$B.\ 2$
$C.\ 0$
$D.\ -2$
$E.\ -5$

Rotasi sejauh $90^o$ searah jarum jam dengan pusat rotasi $O(0,0)$:
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\ \alpha & -sin\ \alpha \\ sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\ (-90^o) & -sin\ (-90^o) \\ sin\ (-90^o) & cos\ (90^o) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y \\ -x\end{pmatrix}$
$x' = y$
$y' = -x → x = -y'$

Persamaan garis akibat rotasi:
$y = 2x + 1$
$x' = -2y' + 1$
$x = -2y + 1$
$x + 2y = 1$

Hasil rotasi digeser sejau $b$ ke atas dan sejauh $a$ ke kiri:
$x' = x - a → x = x' + a$
$y' = y + b → y = y' - b$
Masukkan ke dalam persamaan garis hasil rotasi !
$x' + a + 2(y' - b) = 1$
$x + a + 2y - 2b = 1$
$x + 2y = 1 + 2b - a$
Kesamaan dengan $x - ay = b$
$a = -2$
$1 + 2b - a = b$
$b = a - 1$
$b = -2 - 1 = -3$
$a + b = -2 - 3 = -5$
jawab: E.

50. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui titik $P(4,\ a)$ dan lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$. Jika titik P berada di dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah . . . .
$A.\ -1 < a < 3$
$B.\ -3 < a < 1$
$C.\ 3 < a < 5$
$D.\ 1 < a < 3$
$E.\ -3 < a < 5$

Karena titik $P(4,\ a)$ berada di dalam lingkaran, maka:
$4^2 + a^2 - 8.4 - 2.a + 1 < 0$
$16 + a^2 - 32 - 2a + 1 < 0$
$a^2 - 2a - 15 < 0$
$(a + 3)(a - 5) < 0$
$-3 < a < 5$
jawab: E.

51. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Lingkaran yang berpusat di $(a,\ b)$ dengan $a,\ b > 3$ menyinggung garis $3x + 4y = 12$. Jika lingkaran tersebut berjari-jari 12, maka $3a + 4b =$ . . . .
A. 24
B. 36
C. 48
D. 60
E. 72

Jarak antara pusat lingkaran dengan garis singgung adalah jari-jari, sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak antara titik $(a,\ b)$ dengan garis $3x + 4y - 12 = 0$.
$R = \begin{vmatrix}\dfrac{3a + 4b - 12 }{\sqrt{3^2 + 4^2}} \end{vmatrix}$
$12 = \begin{vmatrix}\dfrac{3a + 4b - 12 }{\sqrt{25}} \end{vmatrix}$
$12 = \begin{vmatrix}\dfrac{3a + 4b - 12 }{5} \end{vmatrix}$
$60 = 3a + 4b - 12$
$72 = 3a + 4b$
jawab: E.

52. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika lingkaran $x^2 + y^2 = 1$ menyinggung garis $ax + by = 2b$, maka $\dfrac{a^2}{a^2 + b^2} =$ . . . .
$A.\ \dfrac14$
$B.\ \dfrac12$
$C.\ \dfrac34$
$D.\ 1$
$E.\ 2$

$x^2 + y^2 = 1$ adalah lingkaran dengan pusat $O(0,0)$ dan berjari-jari 1. Jari-jari lingkaran adalah jarak antara pusat lingkaran $O(0,0)$ dengan garis singgung $ax + by - 2b = 0$.
$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{a.0 + b.0 - 2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{vmatrix}$
$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{-2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{vmatrix}$
$1 = \dfrac{4b^2}{a^2 + b^2}$
$a^2 + b^2 = 4b^2$
$a^2 = 3b^2$

$\begin{align}
\dfrac{a^2}{a^2 + b^2} &= \dfrac{3b^2}{3b^2 + b^2}\\
&= \dfrac{3b^2}{4b^2}\\
&= \dfrac34\\
\end{align}$
jawab: C.

53. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika garis $y = mx + b$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 = 1$, maka nilai $b^2 - m^2 + 1 =$ . . . .
$A.\ -3$
$B.\ -2$
$C.\ 0$
$D.\ 2$
$E.\ 3$

Sama seperti soal nomor 52. Jarak titik $O(0,0)$ dengan garis $mx - y + b$ sama dengan jari-jari lingkaran.
$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{m.0 - 0 + b}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \end{vmatrix}$
$1 = \begin{vmatrix}\dfrac{b}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \end{vmatrix}$
$1 = \dfrac{b^2}{m^2 + 1}$
$m^2 + 1 = b^2$
$1 = b^2 - m^2$
$1 + 1 = b^2 - m^2 + 1$
$2 = b^2 - m^2 + 1$
jawab: D.

54. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x + 3y - 5 = 0$ serta menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y positif adalah . . . .
$A.\ x^2 + y^2 + 10x - 10y + 25 = 0$
$B.\ x^2 + y^2 - 10x + 10y + 25 = 0$
$C.\ x^2 + y^2 - 10x + 10y - 15 = 0$
$D.\ x^2 + y^2 + 5x + 10y + 15 = 0$
$E.\ x^2 + y^2 + 5x - 10y + 15 = 0$

Jika lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka jarak pusat ke sumbu X dan sumbu Y adalah jari-jari dan haruslah sama. Misalkan jarak antara pusat lingkaran dengan kedua sumbu (R) adalah $p$, maka pusat lingkaran adalah $(-p,\ p)$ pada kuadran II. Karena pusat lingkaran terletak pada garis $2x + 3y - 5 = 0$, maka:
$2.(-p) + 3p - 5 = 0$
$p = 5$
$Pusat = (-5,\ 5)$
$Jari-jari = 5$

Persamaan lingkaran:
$(x - (-5))^2 + (y - 5)^2 = 5^2$
$(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$
$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 10y + 25 = 25$
$x^2 + y^2 + 10x - 10y + 25 = 0$
jawab: A.

55. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$ yang tegak lurus dengan garis $x + 2y = 5$ adalah . . . .
$A.\ y = 2x - 2$
$B.\ y = 2x - 10$
$C.\ y = 2x - 4$
$D.\ y = 2x - 10$
$E.\ y = 2x - 12$

$x + 2y = 5 → m_1 = -\dfrac12$. Jika gradien garis singgung adalah $m_2$, maka:
$m_1.m_2 = -1$
$-\dfrac12.m_2 = -1$
$m_2 = 2$

$Pusat\ lingkaran = (2,\ -1)$
$\begin{align}
r^2 &= \dfrac14.(-4)^2 + \dfrac14.2^2\\
&= 4 + 1\\
&= 5\\
r &= \sqrt{5}\\
\end{align}$

Persamaan garis singgung lingkaran:
$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$
$y - (-1) = 2(x - 2) \pm \sqrt{5}\sqrt{1 + 2^2}$
$y + 1 = 2x - 4 \pm \sqrt{5}.\sqrt{5}$
$y = 2x - 5 \pm 5$

$y = 2x$ atau $y = 2x - 10$
jawab: D.

56. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Anton menabung di bank dengan saldo awal $A$ dengan sistem bunga majemuk, tiga tahun kemudian saldonya menjadi $B$. Dewi menabung di bank yang sama dengan saldo awal $x$, saldo Dewi 6 tahun kemudian menjadi 3 kali dari saldo akhir Anton. Besarnya saldo awal Dewi adalah . . . .
$A.\ \dfrac{A^2}{4B}$
$B.\ \dfrac{A^2}{3B}$
$C.\ \dfrac{3A^2}{B}$
$D.\ 3A^2B$
$E.\ 4AB^2$

$M_n = M_o(1 + p)^n$

Tabungan Anton:
$B = A(1 + p)^3$
$(1 + p)^3 = \dfrac BA$ . . . . (*)

Tabungan Dewi:
$3B = x(1 + p)^6$
$3B = x\left((1 + p)^3\right)^2$ . . . . (**)

dari (*) dan (**)
$3B = x.\left(\dfrac BA\right)^2$
$3B = x.\dfrac{B^2}{A^2}$
$x = \dfrac{3A^2B}{B^2}$
$x = \dfrac{3A^2}{B}$
jawab: C.

57. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Ratna menabung di bank A dalam $x$ tahun dan uangnya menjadi sebesar $M$. Wati juga menabung di bank A dalam $x$ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uang Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp2.700.000,00 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna adalah . . . .
A. Rp8.100.000,00
B. Rp5.000.000,00
C. Rp2.400.000,00
D. Rp2.700.000,00
E. Rp900.000,00

$M_n = M_o(1 + p)^n$

Tabungan Ratna:
$M = M_o(1 + p)^x$

Tabungan Wati:
$3M = 2700000(1 + p)^x$

$\dfrac{3M}{M} = \dfrac{2700000(1 + p)^x}{M_o(1 + p)^x}$
$3M_o = 2700000$
$Mo = 900000$
jawab: E.

58. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Ita menabung uang senilai $A$ di suatu bank dengan sistem bunga majemuk. Jika saldo rekening 6 tahun yang akan datang adalah $B$, sedangkan saldo rekeningnya 9 tahun yang akan datang adalah $3A$, maka $B =$ . . . .
$A.\ A\sqrt[6]{3}$
$B.\ A\sqrt[6]{9}$
$C.\ A\sqrt[3]{3}$
$D.\ A\sqrt[3]{9}$
$E.\ 2A$

$M_n = M_o(1 + p)^n$

Saldo setelah 6 tahun:
$B = A(1 + p)^6$
$(1 + p)^6 = \dfrac BA$ . . . . (*)

Saldo setelah 9 tahun:
$3A = A(1 + p)^9$
$3 = \left((1 + p)^6\right)^{3/2}$ . . . . (**)

dari (*) dan (**)
$3 = \left(\dfrac BA\right)^{3/2}$
$9 = \left(\dfrac BA\right)^3$
$9 = \dfrac{B^3}{A^3}$
$B^3 = 9A^3$
$B = \sqrt[3]{9A^3} = A\sqrt[3]{9}$
jawab: D.

59. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika diketahui suku barisan aritmetika bersifat $x_{k + 2} = x_k + p$ dengan $p \ne 0$ untuk sembarang bilangan asli positif $k$, maka $x_3 + x_5 + x_7 + \cdots + x_{2n + 1} =$ . . . .
$A.\ \dfrac{pn^2 + 2nx_2}{2}$
$B.\ \dfrac{2pn^2 + nx_2}{2}$
$C.\ \dfrac{pn^2 + nx_2}{2}$
$D.\ \dfrac{pn^2 + 2x_2}{2}$
$E.\ \dfrac{pn^2 + 2pnx_2}{2}$

$x_3 + x_5 + x_7 + \cdots + x_{2n + 1} = \cdots$

Dari $x_{k + 2} = x_k + p$, maka:
$x_3 = x_2 + \dfrac12p$

$U_1 = x_3$
$U_2 = x_5 = x_3 + p$
$U_3 = x_7 = x_3 + 2p$
dst
$U_n = x_{2n + 1} = x_3 + (n - 1)p$

$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2(U_1 + U_n)\\
&= \dfrac n2(x_3 + x_3 + (n - 1)p)\\
&= \dfrac n2(2x_3 + pn - p)\\
&= \dfrac n2\left(2\left(x_2 + \dfrac12p\right) + pn - p\right)\\
&= \dfrac n2(2x_2 + p + pn - p)\\
&= \dfrac{2nx_2 + pn^2}{2}\\
\end{align}$
jawab: A.

60. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui barisan aritmetika dengan $U_k$ menyatakan suku ke $k$. Jika $U_{k + 2} = U_2 + kU_{16} - 2$, maka nilai $U_6 + U{12} + U_{18} + U_{24} =$ . . . .
$A.\ \dfrac 2k$
$B.\ \dfrac 3k$
$C.\ \dfrac 4k$
$D.\ \dfrac 6k$
$E.\ \dfrac 8k$

Pengertian:
$U_{n + m} = U_n + mb$
$U_n = a + (n - 1)b$

$U_{k + 2} = U_2 + kU_{16} - 2$
$U_k + 2b = a + b + k(a + 15b) - 2$
$a + (k - 1)b + 2b = a + b + k(a + 15b) - 2$
$a + kb + b = a + b + ka + 15kb - 2$
$2 = ka + 14kb$
$2 = k(a + 14b)$
$\dfrac 2k = a + 14b$

$U_6 + U{12} + U_{18} + U_{24}$
$= a + 5b + a + 11b + a + 17b + a + 23b$
$= 4a + 56b$
$= 4(a + 14b)$
$= 4.\dfrac 2k$
$= \dfrac 8k$
jawab: E.

61. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $U_n$ menyatakan suku ke $n$ suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda $2a$. Apabila $U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 = 100$, maka nilai dari $U_2 + U_4 + U_6 + \cdots + U_{20}$ adalah . . . .
A. 720
B. 840
C. 960
D. 1080
E. 1200

$S_n = \dfrac n2(U_1 + U_n)$

$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 = 100$
$S_5 = 100$
$\dfrac52(U_1 + U_5) = 100$
$\dfrac 52(a + a + 4b) = 100$
$\dfrac 52(a + a + 4.2a) = 100$
$\dfrac 52(10a) = 100$
$a = 4$
$b = 2a = 8$

Jumlah $n$ suku pertama suku-suku genap:
$S_n = n(a + nb)$

$U_2 + U_4 + U_6 + \cdots + U_{20} = \cdots$
$n = 10$
$S_{10} = 10(4 + 10.8)$
$S_{10} = 10.84 = 840$
jawab: B.

62. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui deret aritmetika dengan $U_n$ adalah suku ke $n$, suku pertama adalah $a$ dan beda adalah $b$. Jika $b = 2a$ dan $U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + U_9 = 90$ maka nilai dari $U_8 + U_{10} + U_{12} + U_{14} + U_{16} = \cdots$
$A.\ 210$
$B.\ 220$
$C.\ 230$
$D.\ 240$
$E.\ 250$

$U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + U_9 = 90$
Jumlah $n$ suku pertama suku-suku ganjil:
$S_n = n(a - b + nb)$
$90 = 5(a - 2a + 5.2a)$
$90 = 5.9a$
$a = 2$
$b = 4$

$U_8 + U_{10} + U_{12} + U_{14} + U_{16} = \cdots$
Jumlah $n$ suku pertama suku-suku genap:
$S_n = n(a + nb)$
$S_8 = 8(2 + 8.4) = 272$
$S_3 = 3(2 + 3.4) = 42$

$S_8 - S_3 = 272 - 42 = 230$
jawab: C.

63. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui deret aritmetika:
$U_1 + U_3 + U_5 + \cdots + U_{2n - 1} = \dfrac{n(n + 1)}{2}$
Untuk setiap $n \geq 1$.
Beda deret tersebut adalah . . . .
$A.\ \dfrac12$
$B.\ 1$
$C.\ \dfrac32$
$D.\ 2$
$E.\ \dfrac52$

$S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$
$S_1 = U_1 = \dfrac{1(1 + 1)}{2} = 1$
$S_2 = U_1 + U_3 = \dfrac{2(2 + 1)}{2} = 3$
$1 + U_3 = 3$
$U_3 = 2$
$b = U_3 - U_1 = 2 - 1 = 1$
jawab: B.

64. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah $2 : 3$, maka perbandingan suku kedua dan suku keempat adalah . . . .
$A.\ 1 : 3$
$B.\ 3 : 4$
$C.\ 4 : 5$
$D.\ 5 : 6$
$E.\ 5 : 7$

$\dfrac{a}{a + 2b} = \dfrac23$
$3a = 2a + 4b$
$a = 4b$

$\begin{align}
\dfrac{U_2}{U_4} &= \dfrac{a + b}{a + 3b}\\
&= \dfrac{4b + b}{4b + 3b}\\
&= \dfrac{5b}{7b}\\
&= \dfrac57\\
&= 5 : 7\\
\end{align}$
jawab: E.

65. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dari angka-angka 2, 4, 6, 7, dan 8 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 6 angka. Jika hanya angka 6 yang boleh muncul dua kali, maka banyak bilangan yang dapat dibuat adalah . . . .
A. 504
B. 440
C. 384
D. 360
E. 180

Karena angka 6 dapat muncul 2 kali, maka jika disusun ulang angka-angkanya adalah: 2, 4, 6, 6, 7, dan 8. Ingat permutasi dengan elemen yang sama !
$\begin{align}
Banyak\ susunan &= \dfrac{6 !}{2 !}\\
&= \dfrac{6.5.4.3.2!}{2!}\\
&= 6.5.4.3\\
&= 360\\
\end{align}$
jawab: D.

66. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dari angka-angka 2, 3, 5, 7, 9 akan dibentuk bilangan kelipatan 5 yang terdiri dari 6 digit. Jika angka 5 muncul 2 kali, maka banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah . . . .
A. 240
B. 120
C. 50
D. 40
E. 30

Ciri-ciri bilangan kelipatan 5 adalah angka satuannya 0 atau 5. Karena angka satuannya harus angka 5, maka tugas kita tinggal menyusun angka 2, 3, 5, 7, 9 dengan susunan 5 angka.
$\begin{align}
Banyak\ susunan &= 5!\\
&= 5.4.3.2.1\\
&= 120\\
\end{align}$
jawab: B.

67. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dari angka 1, 3, 5, dan 6 akan disusun bilangan terdiri dari 5 digit dengan syarat angka 5 boleh muncul dua kali. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah . . . .
A. 360
B. 210
C. 180
D. 120
E. 60

Angka yang akan disusun adalah 1, 3, 5, 5, dan 6 dengan susunan 5 angka.
$\begin{align}
Banyak\ susunan &= \dfrac{5!}{2!}\\
&= \dfrac{5.4.3.2!}{2!}\\
&= 5.4.3\\
&= 60\\
\end{align}$
jawab: E.

68. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dari angka 2, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari tiga digit berbeda. Banyak bilangan yang dapat dibentuk yang nilainya kurang dari 500 adalah . . . .
A. 144
B. 72
C. 24
D. 20
E. 16

Ciri-ciri bilangan ganjil adalah angka satuannya harus bilangan ganjil.
Ada 2 angka yang bisa menempati satuan yaitu 5 atau 9.
Ada 2 angka yang bisa menempati ratusan yaitu 2 atau 4.
Jika satuan dan ratusan sudah berisi, hanya ada 4 angka yang bisa menempati posisi puluhan.
Dengan demikian:
$Banyak\ bilangan = 2.4.2 = 16$
jawab: E.

69. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dinda memiliki sebuah pasword yang terdiri dari satu huruf diantara huruf-huruf a, i, u, e, o. Peluang dinda gagal mengetikkan paswordnya tiga kali berturut-turut adalah . . . .
$A.\ \dfrac57$
$B.\ \dfrac45$
$C.\ \dfrac35$
$D.\ \dfrac25$
$E.\ \dfrac15$

Peluang gagal pada percobaan pertama dengan pilihan 5 huruf:
$P(G\ I) = \dfrac45$
Peluang gagal pada percobaab kedua dengan pilihan tinggal 4 huruf:
$P(G\ II) = \dfrac34$
Peluang gagal pada percobaan ketiga dengan pilihan tinggal 3 huruf:
$P(G\ III) = \dfrac23$

Dengan demikian, peluang gagal tiga kali berturut-turut adalah:
$P(G) = \dfrac45.\dfrac34.\dfrac23 = \dfrac25$
jawab: D.

70. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn = 54$. Jika diambil dua bola secara acak sekaligus dan peluang terambilnya kedua bola berbeda warna adalah $\dfrac{18}{35}$, maka $m + n =$ . . . .
A. 9
B. 15
C. 21
D. 29
E. 55

$n(A) = mn = 54$
$\begin{align}
n(S) &= \dfrac{(m + n)!}{(m + n - 2)!.2!}\\
&= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)(m + n - 2)!}{(m + n - 2)!.2!}\\
&= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)}{2}\\
\end{align}$

Misalkan $m + n = p$
$\begin{align}
P(A) &= \dfrac{n(A)}{n(S)}\\
\dfrac{18}{35} &= \dfrac{54.2}{p(p - 1)}\\
\dfrac{1}{35} &= \dfrac{6}{p(p - 1)}\\
p(p - 1) &= 6.35\\
&= 2.3.5.7\\
&= 15.14\\
p &= 15\\
m + n &= 15\\
\end{align}$
jawab: B.

71. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dalam sebuah kantong terdapat bola merah dengan jumlah $2n$ dan bola putih dengan jumlah $3n$. Jika dilakukan pengambilan dua bola sekaligus dengan peluang terambilnya warna berbeda adalah $\dfrac{18}{35}$, maka nilai $\dfrac{5n - 1}{n}$ adalah . . . .
$A.\ \dfrac{12}{3}$
$B.\ \dfrac{13}{3}$
$C.\ \dfrac{14}{3}$
$D.\ \dfrac{15}{3}$
$E.\ \dfrac{16}{3}$

$n(A) = 2n.3n = 6n^2$
$\begin{align}
n(S) &= \dfrac{5n!}{(5n - 2)!.2!}\\
&= \dfrac{5n(5n - 1)(5n - 2)!}{(5n - 2)!.2!}\\
&= \dfrac{5n(5n - 1)}{2}\\
\end{align}$

$\begin{align}
P(A) &= \dfrac{n(A)}{n(S)}\\
\dfrac{18}{35} &= \dfrac{6n^2.2}{5n(5n - 1)}\\
\dfrac{18.5}{35.12} &= \dfrac{n}{5n - 1}\\
\dfrac{3}{14} &= \dfrac{n}{5n - 1}\\
\dfrac{14}{3} &= \dfrac{5n - 1}{n}
\end{align}$
jawab: C.

72. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $m.n = 120$ dan $m < n$. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $\dfrac57$, maka nilai $m + n =$ . . . .
A. 34
B. 26
C. 23
D. 22
E. 21

Karena peluang terambilnya paling sedikit satu bola warna putih adalah $\dfrac57$, maka peluang terambilnya dua-duanya bola warna merah adalah:
$P(2M) = 1 - \dfrac57 = \dfrac27$.

$\begin{align}
n(2M) &= \dfrac{n!}{(n - 2)!.2!}\\
&= \dfrac{n(n - 1)(n - 2)!}{(n - 2)!.2}\\
&= \dfrac{n(n - 1)}{2}\\
\end{align}$

$\begin{align}
n(S) &= \dfrac{(m + n)!}{(m + n - 2)!.2!}\\
&= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)(m + n - 2)!}{(m + n - 2)!.2}\\
&= \dfrac{(m + n)(m + n - 1)}{2}\\
\end{align}$

$\begin{align}
P(2M) &= \dfrac{n(2M)}{n(S)}\\
\dfrac27 &= \dfrac{n(n - 1)}{(m + n)(m + n - 1)}\\
\end{align}$

Perhatikan !
$(m + n)$ atau $(m + n - 1)$ haruslah kelipatan 7 dan $m.n = 120$. Satu-satunya opsi yang memenuhi hanyalah opsi D.
Perhatikan opsi D !
$m + n = 22,\ mn = 120$
$m = 10,\ n = 12$
$m + n - 1 = 21$ ← kelipatan 7.
jawab: D.

73. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Dalam sebuah kotak terdapat $m$ bola merah dan $n$ bola putih dengan $m + n = 16$. Jika bola diambil sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambilnya dua bola tersebut berbeda warna adalah $\dfrac12$. Nilai dari $m^2 + n^2$ adalah . . . .
A. 200
B. 160
C. 146
D. 136
E. 128

$n(A) = mn$
$\begin{align}
n(S) &= \dfrac{16!}{14!.2!}\\
&= \dfrac{16.15.14!}{14!.2}\\
&= 120\\
\end{align}$

$\begin{align}
P(A) &= \dfrac{n(A)}{n(S)}\\
\dfrac12 &= \dfrac{mn}{120}\\
mn &= 60\\
\end{align}$
$\begin{align}
m^2 + n^2 &= (m + n)^2 - 2mn\\
&= 16^2 - 2.60\\
&= 256 - 120\\
&= 136\\
\end{align}$
jawab: D.

74. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui data $3,\ x,\ 6,\ 6, 7, 8, y$, dengan $x < y$. Jika rata-rata dari data tersebut adalah 6 dan standar deviasi $\sqrt{\dfrac{22}{7}}$ maka $x^2 - y =$ . . . .
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11

$\dfrac{3 + x + 2.6 + 7 + 8 + y}{7} = 6$
$x + y + 30 = 42$
$x + y = 12$
$y = 12 - x$

$S^2 = \dfrac1n\displaystyle \sum_{i = 1}^n f_i(x_i - \bar{x})^2$
$\left(\sqrt{\dfrac{22}{7}}\right)^2 = \dfrac17[(3 - 6)^2 + (x - 6)^2 +$ $2.(6 - 6)^2 + (7 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (y - 6)^2]$
$\dfrac{22}{7} = \dfrac17[9 + (x - 6)^2 + 0 + 1 + 4 + (y - 6)^2]$
$22 = (x - 6)^2 + (6 - x)^2 + 14$
$22 = x^2 - 12x + 36 + 36 - 12x + x^2 + 14$
$2x^2 - 24x + 64 = 0$
$x^2 - 12x + 32 = 0$
$(x - 4)(x - 8) = 0$
$x = 4$
$y = 8$
$x^2 - y = 4^2 - 8 = 8$
jawab: B.

75. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Diketahui bilangan $a,b,5,3,7,6,6,6,6,6$ dengan rata-rata 5 dan varians $\dfrac{13}{5}$. Nilai $ab =$ . . . .
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10

$\dfrac{a + b + 5 + 3 + 7 + 5.6}{10} = 5$
$a + b + 45 = 50$
$a + b = 5$
$a = 5 - b$

Ragam atau Varians:
$R = \displaystyle \dfrac1n\sum_{i = 1}^nf_i(x_i - \bar{x})^2$
$\dfrac{13}{5} = \dfrac{1}{10}[(a - 5)^2 + (b - 5)^2 +$ $(5 - 5)^2 + (3 - 5)^2 + (7 - 5)^2 + 5.(6 - 5)^2]$
$26 = (-b)^2 + (b - 5)^2 + 0 + 4 + 4 + 5.1$
$26 = b^2 + b^2 - 10b + 25 + 13$
$2b^2 - 10b + 12 = 0$
$b^2 - 5b + 6 = 0$
$(b - 2)(b - 3) = 0$
$b = 2 → a = 3$
$b = 3 → a = 2$
$ab = 6$
jawab: C.

76. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Bilangan-bilangan bulat $a,a + 1,a + 1,7,b,b,9$ sudah diurutkan dari terkecil ke besar. Jika rata-rata semua bilangan itu 7 dan simpangan rata-ratanya $\dfrac87$ maka nilai $a + b - 1 =$ . . . .
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14

$\dfrac{a + 2(a + 1) + 7 + 2b + 9}{7} = 7$
$3a + 2b + 18 = 49$
$3a + 2b = 31$
$2b = 31 - 3a$

Simpangan rata-rata:
$SR = \displaystyle \dfrac1n \sum_{i = 1}^n f_i|x_i - \bar{x}|$
$\dfrac87 = \dfrac17[|a - 7| + 2.|a + 1 - 7| +$ $|7 - 7| + 2.|b - 7| + |9 - 7|]$
$8 = |a - 7| + 2.|a - 6| + 0 + 2.|b - 7| + 2$
$6 = |a - 7| + 2.|a - 6| + 0 + 2.|b - 7|$
Dari soal terlihat bahwa $a < 7$ dan jika $a \ne 6$ maka $a < 6$, sedangkan $b > 7$. Persamaan menjadi:
$6 = -(a - 7) - 2(a - 6) + 2b - 14$
$6 = 7 - a + 12 - 2a + 31 - 3a - 14$
$6a = 30$
$a = 5$

$2b = 31 - 3a$
$2b = 31 - 3.5$
$2b = 16$
$b = 8$

$a + b - 1 = 5 + 8 - 1 = 12$
jawab: C.

77. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Nilai matematika 7 orang siswa setelah diurutkan adalah sebagai berikut: $a,b,c,7,d,d,9$. Jika nilai rata-rata semua siswa adalah 7 dan rata-rata 3 siswa terendah adalah $\dfrac{17}{3}$, maka rata-rata 3 nilai terbaik adalah . . . .
$A.\ 8$
$B.\ \dfrac{25}{3}$
$C.\ \dfrac{26}{3}$
$D.\ 9$
$E.\ \dfrac{28}{3}$

Rata-rata 3 nilai terendah:
$\dfrac{a + b + c}{3} = \dfrac{17}{3}$
$a + b + c = 17$

$\dfrac{a + b + c + 7 + 2d + 9}{7} = 7$
$\dfrac{17 + 7 + 2d + 9}{7} = 7$
$2d = 49 - 33$
$2d = 16$
$d = 8$

Rata-rata 3 nilai terbaik:
$\bar{x} = \dfrac{8 + 8 + 9}{3} = \dfrac{25}{3}$
jawab: B.

78. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2 - x + a) - a^3}{x^2 + x - 2} = L$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{2x(x^2 - x + a) - 2a^3x}{x^2 + x - 2} =$ . . . .
$A.\ \dfrac13L$
$B.\ \dfrac12L$
$C.\ L$
$D.\ 2L$
$E.\ 3L$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{2x(x^2 - x + a) - 2a^3x}{x^2 + x - 2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{((x^2 - x + a) - a^3).2x}{x^2 + x - 2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{((x^2 - x + a) - a^3)}{x^2 + x - 2}.\displaystyle \lim_{x \to 1}2x$
$= L.2.1$
$= 2L$
jawab: D.

79. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax + b}}{x + 1} = 2$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8} + \dfrac b8} - 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} =$ . . . .
$A.\ \dfrac{-2}{15}$
$B.\ \dfrac{-1}{15}$
$C.\ 0$
$D.\ \dfrac{1}{15}$
$E.\ \dfrac{2}{15}$

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8} + \dfrac b8} - 2x + 1}{x^2 + 4x + 3}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{\frac12.\sqrt[3]{ax + b}}{x^2 + 4x + 3} +$ $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{-2x + 1}{x^2 + 4x + 3}$
$= \dfrac12.\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax + b}}{(x + 1)}.\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{1}{(x + 3)} +$ $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{-2x + 1}{x^2 + 4x + 3}$
$= \dfrac12.2.\dfrac{1}{2 + 3} + \dfrac{-2.2 + 1}{2^2 + 4.2 + 3}$
$= \dfrac15 - \dfrac{3}{15}$
$= \dfrac15 - \dfrac15$
$= 0$
jawab: A.

80. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

Jika $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2}{x - 1} = A$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2x}{x^2 + 2x - 3} =$ . . . .
$A.\ \dfrac{2 - A}{2}$
$B.\ -\dfrac A2$
$C.\ \dfrac{A - 2}{4}$
$D.\ \dfrac A4$
$E.\ \dfrac{A + 2}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2x}{x^2 + 2x - 3}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2 + 2 - 2x}{(x - 1)(x + 3)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2}{(x - 1)(x + 3)} +$ $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2 - 2x}{x^2 + 2x - 3}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4 + b} - 2}{(x - 1)}.\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x + 3} +$ $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{2 - 2x}{x^2 + 2x - 3}$
$= A.\dfrac{1}{1 + 3} + \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{-2}{2x + 2}$
$= A.\dfrac{1}{4} + \dfrac{-2}{2.1 + 2}$
$= \dfrac14A - \dfrac12$
$= \dfrac{A - 2}{4}$
jawab: C.

81. UTBK SBMPTN 2019 Matematika Saintek

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{cot\ 2x - csc\ 2x}{cos\ 3x\ tan\ \dfrac13x} =$ . . . .
$A.\ 3$
$B.\ 2$
$C.\ 0$
$D.\ -2$
$E.\ -3$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{cot\ 2x - csc\ 2x}{cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{cos\ 2x}{sin\ 2x} - \dfrac{1}{sin\ 2x}}{cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{cos\ 2x - 1}{sin\ 2x\ cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-2sin^2\ x}{2sin\ x\ cos\ x\ cos\ 3x\ tan\ \frac13x}$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{sin\ x}{cos\ x\ cos\ 3x\ tan\ \dfrac13x}$
$= -\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cos\ x\ cos\ 3x}.\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{sin\ x}{tan\frac13x}$
$= -1.3$
$= -3$
jawab: E.

Demikianlah Soal dan Pembahasan UTBK SBMPTN 2019, semoga bermanfaat buat adik-adik.
Disusun oleh:
Joslin Sibarani
Alumni Teknik Sipil ITB

www.maretong.com

Share :