Menentukan HP SPLDV Dengan Metode Grafik

Daftar isi

• 1 Pengertian Metode Grafik
• 2 Contoh Soal dan Pembahasan SPLDV Dengan Metode Grafik

Pengertian Metode Grafik

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV atau Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) SPLDV Dengan Metode Grafik serta Contoh Soal dan Pembahasan Super Lengkap. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Persamaan Linear Dua Variabel adalah sebuah persamaan yang mengandung dua buah variabel berpangkat satu. Umumnya bentuk persamaan linear dua variabel ditulis dalam bentuk $ax + by = c$. Variabelnya adalah $x$ dan $y$, sedangkan $a$ adalah koefisien dari $x$ dan $b$ adalah koefisien dari $y$. Adapun $c$ adalah sebuah konstanta. Jika ada dua buah persamaan linear dengan dua variabel yang memiliki penyelesaian, maka kedua persamaan linear tersebut merupakan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV). Bentuk umum dari Sistem persamaan Linear Dua Variabel adalah seperti berikut:

$ax + by = c$ . . . . . (Persamaan 1)
$px + qy = r$ . . . . . (Persamaan 2)
Ilustrasi:
$2x + 3y = 8$
$4x - y = 2$

Catatan:
=> Jika $\dfrac ap = \dfrac bq = \dfrac cr$, maka SPLDV memiliki himpunan penyelesaian yang tak terhingga banyaknya karena kedua garis berimpit.
=> Jika $\dfrac ap = \dfrac bq \ne \dfrac cr$, maka SPLDV tidak memiliki himpunan penyelesaian karena kedua garis adalah sejajar dan tidak berimpit.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel seperti diatas bisa diselasaikan dengan beberapa metode, salah satunya adalah metode Grafik. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik bisa dilakukan dengan menggambarkan kedua garis, kemudian melihat titik potong kedua garis tersebut. Ingat, persamaan linear dua variabel merupakan sebuah garis lurus. Supaya hasilnya jelas terlihat, sebaiknya menggambar garisnya pada kertas berpetak. Perhatikan contoh soal metode grafik yang berikut!

Contoh Soal dan Pembahasan SPLDV Dengan Metode Grafik

Contoh Soal 1:
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) $2x - y = 2$ dan $x + 2y = 6$ dengan metode grafik!

Pembahasan:
Langkah pertama untuk mencari himpunan penyelesaian (HP) adalah dengan mencari titik-titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y, kemudian menghubungkan titik potong sumbu X dengan titik potong sumbu Y dengan sebuah garis.
=> Garis $2x - y = 2$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$2x - y = 2$
$2x - 0 = 2$
$2x = 2$
$x = 1$
Dengan demikian titik potong sumbu X adalah $(1, 0)$.

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$2x - y = 2$
$2.0 - y = 2$
$0 - y = 2$
$-y = 2$
$y = -2$
Dengan demikian titik potong sumbu Y adalah $(0, -2)$.
Hubungkan titik $(1, 0)$ dan titik $(0, -2)$, seperti gambar di bawah!

=> Garis $x + 2y = 6$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$
$x + 2y = 6$
$x + 2.0 = 6$
$x = 6$
Dengan demikian titik potong sumbu X adalah $(6, 0)$.

Titik potong sumbu Y → $x = 0$
$x + 2y = 6$
$0 + 2y = 6$
$2y = 6$
$y = 3$
Dengan demikian titik potong sumbu Y adalah $(0, 3)$.
Hubungkan titik $(6, 0)$ dan titik (0, 3) seperti gambar di bawah!
Perhatikan gambar!

Kedua garis pada gambar diatas berpotongan pada titik $(2, 2)$. Artinya, himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persaamaan linear dua variabel tersebut adalah $\{(2, 2)\}$.

Contoh Soal 2.
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari SPLDV $x - y = 2$ dan $y = 4 - x$ dengan metode grafik!

Pembahasan:
Sama seperti penyelesaian pada soal nomor 1, bahwa hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik-titik potong sumbu X dan sumbu Y, kemudian menghubungkan kedua titik potong dengan garis.
=> Garis $x - y = 2$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$x - y = 2$
$x - 0 = 2$
$x = 2$
Dengan demikian titik potong sumbu X adalah $(2, 0)$.

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$x - y = 2$
$0 - y = 2$
$-y = 2$
$y = -2$
Dengan demikian titik potong sumbu Y adalah $(0, -2)$.
Hubungkan titik $(2, 0)$ dan titik $(0, -2)$ seperti gambar di bawah!

=> Garis $y = 4 - x$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$y = 4 - x$
$0 = 4 - x$ → pindahkan $x$ ke ruas kiri (berubah tanda).
$x = 4$
Dengan demikian titik potong sumbu X adalah $(4, 0)$.

Titik potong sumbu Y → $x = 0$
$y = 4 - x$
$y = 4 - 0$
$y = 4$
Dengan demikian titik potong sumbu Y adalah $(0, 4)$.
Hubungkan titik $(4, 0)$ dan titik $(0, 4)$ seperti gambar di bawah!
Perhatikan gambar!

Kedua garis pada gambar diatas berpotongan di titik $(3, 1)$, sehingga himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(3, 1)\}$.

Contoh Soal 3.
Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)$2x - y = 0$ dan $x + y = 3$ dengan metode grafik!

Pembahasan:
=> Garis $2x - y = 0$
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$2x - y = 0$
$2x - 0 = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Berarti titik potong sumbu X adalah $(0, 0)$.

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$2x - y = 0$
$2.0 - y = 0$
$0 - y = 0$
$-y = 0$
$y = 0$
Berarti titik potong sumbu Y adalah $(0, 0)$.

Jika kita perhatikan titik potong sumbu X dan sumbu Y, keduanya pada titik $(0, 0)$, sementara sebuah garis membutuhkan minimal dua titik untuk dihubungkan. Tidak mungkin terbentuk sebuah garis dengan menghubungkan titik $(0, 0)$ dan titik $(0, 0)$. Lalu bagaimana cara menggambar garis $2x - y = 0?$. Tentu sangat mudah, kita cukup mengambil $x = 1$, kemudian mencari nilai dari $y$ dengan memasukkan nilai dari $x = 1$ ke $2x - y = 0$.
$x = 1$
$2x - y = 0$
$2.1 - y = 0$ → pindahkan $y$ ke ruas kanan (berubah tanda).
$2 = y$
Dengan demikian garis melalui titik $(1, 2)$.
Hubungkan titik $(0, 0)$ dan titik $(1, 2)$, maka didapat grafik garis $2x - y = 0$ seperti gambar di bawah.

=> Garis $x + y = 3$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$x + y = 3$
$x + 0 = 3$
$x = 3$
Titik potong sumbu X adalah $(3, 0)$.

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$x + y = 3$
$0 + y = 3$
$y = 3$
Titik potong sumbu Y adalah $(0, 3)$.
Hubungkan titik $(3, 0)$ dan titik $(0, 3)$ seperti gambar di bawah!
Perhatikan gambar !

Kedua garis berpotongan di titik $(1, 2)$, dengan demikian himpunan penyelesaian (HP) dari SPLDV tersebut adalah $\{(1, 2)\}$.

Contoh Soal 4.
Tentukanlah Himpunan Penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) $x = 3$ dan $2x - 3y = 3$ dengan metode grafik!

Pembahasan:
=> Garis $x = 3$
Garis $x = k$ adalah sebuah garis vertikal yang memotong secara tegak lurus sumbu X di titik $(k, 0)$. Berarti, garis $x = 3$ adalah sebuah garis yang memotong sumbu X di titik $(3, 0)$ secara tegak lurus seperti gambar di bawah.

=> Garis $2x - 3y = 3$
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$2x - 3y = 3$
$2x - 3.0 = 3$
$2x = 3$
$x = \dfrac32$
Titik potong sumbu X adalah $\left(\dfrac32, 0\right)$

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$2x - 3y = 3$
$2.0 - 3y = 3$
$0 - 3y = 3$
$-3y = 3$
$y = -1$
Titik potong sumbu Y adalah $(0, -1)$.
Hubungkan titik $\left(\dfrac32, 0\right)$ dan titik $(0, -1)$ seperti gambar di bawah!
Perhatikan gambar!

Kedua garis berpotongan di titik $(3, 1)$, sehingga himpunan penyelesaian (HP) dari SPLDV tersebut adalah $\{(3, 1)\}$.

Contoh Soal 5.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $2x + y = 4$ dan $y = 2$ dengan metode grafik!

Pembahasan:
=> Garis $2x + y = 4$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$2x + y = 4$
$2x + 0 = 4$
$2x = 4$
$x = 2$
Titik potong sumbu X adalah $(2, 0)$

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$2x + y = 4$
$2.0 + y = 4$
$0 + y = 4$
$y = 4$
Titik potong sumbu Y adalah $(0, 4)$.

=> Garis $y = 2$:
Garis $y = h$ adalah garis horizontal yang memotong sumbu Y secara tegak lurus di titik $(0, h)$. Berarti, garis $y = 2$ adalah garis horizontal yang memotong sumbu Y di titik $(0, 2)$ seperti gambar di bawah.
Perhatikan gambar!

Kedua garis berpotongan di titik $(1, 2)$, dengan demikian himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(1, 2)\}$.

Contoh Soal 6.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $4x - 3y = 12$ dan $8x - 6y = 24$ dengan metode grafik!

Pembahasan:
Perhatikan perbandingan koefisien $x$, koefisien $y$, dan konstanta antara $4x - 3y = 12$ dengan $8x - 6y = 24$.
$\dfrac48 = \dfrac{-3}{-6} = \dfrac{12}{24} = \dfrac12$. Berarti, kedua garis adalah berimpit. Dengan demikian ada banyak sekali himpunan penyelesaiannya.
=> Garis $4x - 3y = 12$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$4x - 3y = 12$
$4x - 3.0 = 12$
$4x - 0 = 12$
$4x = 12$
$x = 3$
Titik potong sumbu X adalah $(3, 0)$

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$4x - 3y = 12$
$4.0 - 3y = 12$
$0 - 3y = 12$
$-3y = 12$
$y = -4$
Titik potong sumbu Y adalah $(0, -4)$.
Hubungkan titik $(3, 0)$ dan titik $(0, -4)$ seperti gambar di bawah.

=> Garis $8x - 6y = 24$
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$8x - 6y = 24$
$8x - 6.0 = 24$
$8x - 0 = 24$
$8x = 24$
$x = 3$
Titik potong sumbu X adalah $(3, 0)$

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$8x - 6y = 24$
$8.0 - 6y = 24$
$0 - 6y = 24$
$-6y = 24$
$y = -4$
Titik potong sumbu Y adalah $(0, -4)$
Hubungkan titik $(3, 0)$ dan titik $(0, -4)$ seperti gambar di bawah.
Perhatikan gambar!

Terlihat kedua garis saling berimpit, dengan demikian himpunan penyelesaian banyaknya tak terhingga.

Contoh Soal 7.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $x + 2y = 4$ dan $2x + 4y = 12$ dengan metode grafik!

Pembahasan:
Perhatikan perbandingan koefisien $x$, koefisien $y$, dan konstanta antara $x + 2y = 4$ dengan $2x + 4y = 12$.
$\dfrac12 = \dfrac24 \ne \dfrac{4}{12}$. Berarti, kedua garis saling sejajar. Dengan demikian sistem persamaan tidak memiliki himpunan penyelesaian atau $HP = \{\varnothing\}$.

=> Garis $x + 2y = 4$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$x + 2y = 4$
$x + 2.0 = 4$
$x + 0 = 4$
$x = 4$
Titik potong sumbu X adalah $(4, 0)$

Titik potong sumbu Y → $x = 0$
$x + 2y = 4$
$0 + 2y = 4$
$2y = 4$
$y = 2$
Titik potong sumbu Y adalah $(0, 2)$
Hubungkan titik $(4, 0)$ dan titik $(0, 2)$ seperti pada gambar di bawah.

=> Garis $2x + 4y = 12$:
Titik potong sumbu X → $y = 0$.
$2x + 4y = 12$
$2x + 4.0 = 12$
$2x = 12$
$x = 6$
Titik potong sumbu X adalah $(6, 0)$.

Titik potong sumbu Y → $x = 0$.
$2x + 4y = 12$
$2.0 + 4y = 12$
$0 + 4y = 12$
$4y = 12$
$y = 3$
Titik potong sumbu Y adalah $(0, 3)$.
Hubungkan titik $(6, 0)$ dan titik $(0, 3)$ seperti gambar di bawah.

Perhatikan gambar!

Tampak kedua garis tidak berpotongan atau saling sejajar. Dengan demikian sistem persamaan tidak memiliki himpunan penyelesaian atau $HP = \{\varnothing\}$

Demikianlah cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik. Semoga bermanfaat.

SHARE THIS POST

www.maretong.com

Share :