Cara Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Daftar isi

1 Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat
2 Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
3 Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
4 Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC

Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Cara Menentukan atau Cara Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat. Pengertian dari akar persamaan kuadrat adalah nilai pengganti $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c$, yang biasanya dituliskan sebagai $x_1$ dan $x_2$. Akar-akar disebut juga sebagai penyelesaian atau pemecahan. Jika akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$, maka selalu berlaku hubungan $ax_1^2 + bx_1 + c = 0$ dan $ax_2^2 + bx_2 + c = 0$. Persamaan kuadrat mempunyai satu atau dua akar. Akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan tiga cara, yaitu: memfaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan rumus ABC.

Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk memfaktorkan persamaan kuadrat, tergantung bentuk persamaan kuadratnya. Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat difaktorkan jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah rasional. Secara umum bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ diubah menjadi $(x - P)(x - Q) = 0$. Bentuk-bentuk persamaan kuadrat yang mudah difaktorkan adalah:
$A.\ Bentuk\ ax^2 + bx = 0$
$B.\ Bentuk\ x^2 + bx + c = 0$
$C.\ Bentuk\ ax^2 + bx + c = 0$

A. Memfaktorkan Bentuk $ax^2 + bx = 0$

Bentuk $ax^2 + bx = 0$ dapat dirombak menjadi $x(ax + b) = 0$, sehingga akar-akarnya adalah $x_1 = 0$ dan $x_2 = \dfrac{-b}{a}$
Contoh soal 1.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 6x = 0$

Pembahasan:
$2x^2 - 6x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
$x = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = 0\ atau\ x_2 = 3$

Contoh soal 2.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2 + 4x = 0$

Pembahasan:
$3x^2 + 4x = 0$
$x(3x + 4) = 0$
$x = 0\ atau\ 3x + 4 = 0$
$x_1 = 0\ atau\ x_2 = -\dfrac{4}{3}$.

B. Memfaktorkan bentuk $x^{2} + bx + c = 0$

Jika akar-akar dari $x^2 + bx + c = 0$ adalah rasional, maka bentuk $x^2 + bx + c = 0$ dapat kita ubah menjadi bentuk $(x + P)(x + Q) = 0$. Dengan $P.Q = c$ dan $P + Q = b$. Dengan bahasa sederhana: dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah $c$ dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $b$.

Contoh soal 3.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 4x + 3 = 0$

Pembahasan:
$x^{2} - 4x + 3 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 3 dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $-4$. Tidak perlu berpikir keras untuk menemukan, karena jawabnya hanya membutuhkan sedikit nalar. Hal ini terpenuhi jika bilangannya adalah $-1\ dan\ -3$, karena $-1 + -3 = -4$ dan $(-1) \times (-3) = 3$. Secara matematis ditulis:
$P.Q = 3\ dan\ P + Q = -4$
berarti $P = -1\ dan\ Q = -3$
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x - 1)(x - 3) = 0$
$x - 1 = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = 1\ atau\ x_2 = 3$.

Contoh soal 4.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + 7x + 12 = 0$

Pembahasan:
$x^{2} + 7x + 12 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 12 dan jika dijumlahkan hasilnya adalah 7. Tentu sangat mudah untuk menentukannya bukan? Kedua bilangan tersebut pastilah 3 dan 4, karena $3 \times 4 = 12$ dan $3 + 4 = 7$. Secara matematis ditulis:
$P.Q = 12\ dan\ P + Q = 7$
berarti $P = 3\ dan\ Q = 4$.
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x + 3)(x + 4) = 0$
$x + 3 = 0\ atau\ x + 4 = 0$.
$x_1 = -3\ atau\ x_2 = -4$.

Contoh soal 5.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - x - 6 = 0$

Pembahasan:
$x^{2} - x - 6 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah $-6$ dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $-1$. So pasti bilangan tersebut adalah $2\ dan\ -3$, karena $2 \times -3 = -6$ dan $2 + (-3) = -1$. Secara matematis ditulis:
$P.Q = -6\ dan\ P + Q = -1$
$P = 2\ dan\ Q = -3$
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x + 2)(x - 3) = 0$
$x + 2 = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = -2\ atau\ x_2 = 3$.

C. Memfaktorkan bentuk $ax^{2} + bx + c = 0$

Akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat dengan mudah dicari jika akar-akarnya rasional. Misalkan faktornya adalah $\dfrac{(ax + P)(ax + Q)}{a} = 0$, dimana: $P.Q = ac\ dan\ P + Q = b$.

Contoh soal 6.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2} - x - 3 = 0$

Pembahasan:
$2x^{2} - x - 3 = 0$
$P.Q = 2.(-3) = -6$ dan $P + Q = -1$
berarti $P = 2\ dan\ Q = -3$.
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(2x + 2)(2x - 3)}{2} = 0$
$\dfrac{\cancel2(x + 1)(2x - 3)}{\cancel2} = 0$
$(x + 1)(2x - 3) = 0$
$x + 1 = 0\ atau\ 2x - 3 = 0$
$x_1 = -1\ atau\ x_2 = \dfrac{3}{2}$

Contoh soal 7.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - 7x + 4 = 0 $

Pembahasan:
$3x^{2} - 7x + 4 = 0 $
$P.Q = 3.4 = 12$ dan $P + Q = -7$
berarti $P = -3\ dan\ Q = -4.$
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(3x - 3)(3x - 4)}{3} = 0$
$\dfrac{\cancel3(x - 1)(3x - 4)}{\cancel3} = 0$
$(x - 1)(3x - 4) = 0$
$x - 1 = 0\ atau\ 3x - 4 = 0$
$x = 1\ atau\ x = \dfrac{4}{3}$

Contoh soal 8.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $5x^{2} + 8x - 4 = 0$

Pembahasan:
$5x^{2} + 8x - 4 = 0$
$P.Q = 5.(-4) = -20$ dan $P + Q = 8$
berarti $P = 10\ dan\ Q = -2.$
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(5x + 10)(5x - 2)}{5} = 0$
$\dfrac{\cancel5(x + 2)(5x - 2)}{\cancel5} = 0$
$(x + 2)(5x - 2) = 0$
$x + 2 = 0\ atau\ 5x - 2 = 0$
$x_1 = -2\ atau\ x_2 = \dfrac{2}{5}$.

Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Kita sering menghadapi masalah ketika memfaktorkan, karena P dan Q tidak selalu mudah didapat. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat ketika kondisi demikian bisa kita lakukan dengan cara melengkapkan bentuk-bentuk kuadrat. Jika persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, ubah sehingga koefisien dari $x^2$ bernilai satu dengan cara membagi persamaan kuadrat menjadi:

$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{ a} = 0$
$x^2 + \dfrac{b}{a}x = - \dfrac{c}{a}$
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 = - \dfrac{c}{a}$
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}$
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right) = ± \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}}$
$x = -\dfrac{b}{2a} ± \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}}$
dan seterusnya....

Supaya lebih jelas, pelajari contoh soal berikut.

Contoh soal 9.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^{2} + 5x + 3 = 0$

Pembahasan:
$2x^{2} + 5x + 3 = 0$
$2x^{2} + 5x = -3$
$x^{2} + \dfrac{5}{2}x = -\dfrac{3}{2}$
$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^{2} - \left(\dfrac{5}{4}\right)^{2} = -\dfrac{3}{2}$
$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^{2} = \left(\dfrac{25}{16}\right) - \dfrac{24}{16}$
$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^{2} = \dfrac{1}{16} $
$\left(x + \frac{5}{4}\right) = ± \dfrac{1}{4} $
$x = -\dfrac{5}{4} ± \dfrac{1}{4}$
$x = -\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4}$ atau $x = -\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4}$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = -\dfrac{3}{2}$.

Contoh soal 10.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2} + 6x + 2 = 0$

Pembahasan:
$3x^{2} + 6x + 2 = 0$
$3x^{2} + 6x = -2$
$x^{2} + 2x = -\dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} - 1 = -\dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} = 1 - \dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} = \dfrac{1}{3}$
$(x + 1) = ±\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$(x + 1) = ±\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$
$x_1 = -1 + \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ atau $x_2 = -1 - \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$.

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan menggunakan rumus yang disebut dengan Rumus ABC. Perhatikan rumus ABC berikut:

$x_{1,2} = \dfrac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

Contoh soal 11.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^{2} - 3x - 5 = 0$

Pembahasan:
$a = 2,\ b = -3,\ c = -5$
$x_{1,2} = \dfrac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
$x_{1,2} = \dfrac{-(-3) ± \sqrt{(-3)^{2} - 4.2.(-5)}}{2.2}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± \sqrt{9 + 40}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± \sqrt{49}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± 7}{4}$
$x_1 = \dfrac{3 + 7}{4}$ dan $x_2 = \dfrac{3 - 7}{4}$
$x_1 = \dfrac{5}{2}$ dan $x_2 = -1$

Contoh soal 12.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2} + 4x - 4 = 0$

Pembahasan:
$3x^{2} + 4x - 4 = 0$
$a = 3,\ b = 4,\ c = -4$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{4^{2} - 4.3.(-4)}}{2.3}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{16 + 48}}{6}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{64}}{6}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± 8}{6}$
$x_1 = \dfrac{-4 + 8}{6}$ dan $x_2 = \dfrac{-4 - 8}{6}$
$x_1 = \dfrac{4}{6}$ dan $x_2 = \dfrac{-12}{6}$
$x_1 = \dfrac{2}{3}$ dan $x_2 = -2$

Demikianlah pembahasan tentang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

SHARE THIS POST

MARETONG